第六章角動量守恒

第六章角動量守恒1第一頁，共二十九頁，2022年，8月28日第六章角動量守恒（一）角動量與力矩單位:量綱:大小:方向：由右手定則確定一、質(zhì)點的角動量OAB角動量:從給定參考點指向質(zhì)點的位矢

與質(zhì)點動量的矢積第二頁，共二十九頁，2022年，8月28日討論:⑴角動量是相對于給定的參考點定義的，且參考點在所選的參考系中必須是固定點。一般把參考點取在坐標(biāo)原點。這樣，才有⑵角動量是矢量，可用分量形式表示。在直角坐標(biāo)系中其中：OXYZABO'第六章角動量守恒第三頁，共二十九頁，2022年，8月28日二、力矩作用力F，其作用點的位矢為r，它對O點的力矩被定義為方向：由右手定則確定大小:在直角坐標(biāo)系中，其分量表示給定參考點第六章角動量守恒第四頁，共二十九頁，2022年，8月28日二、質(zhì)點的角動量定理角動量和力矩的物理意義體現(xiàn)在兩者所遵從的物理規(guī)律上.第六章角動量守恒第五頁，共二十九頁，2022年，8月28日即質(zhì)點對任一固定點的角動量的時間變化率等于外力對該點的力矩---質(zhì)點的角動量定理或表明角動量的增量等于沖量矩（角沖量）的積分⑵因在數(shù)值上等于r和v為鄰邊的平行四邊形面積，也就是r在單位時間內(nèi)所掠過的面積（掠面速度）的兩倍，故角動量與掠面速度成正比，為掠面速度的2m倍;⑶質(zhì)點角動量定理系由牛頓定律導(dǎo)出，故它僅適用于慣性系.討論:⑴各量均對同一參考點;

vOr第六章角動量守恒第六頁，共二十九頁，2022年，8月28日三、質(zhì)點的角動量守恒定理當(dāng)時,守恒條件:⑴孤立質(zhì)點，F(xiàn)=0⑵力F通過定點O，即有心力.⑶當(dāng)外力矩對定點的某一分量為零時，則角動量的該分量守恒：第六章角動量守恒第七頁，共二十九頁，2022年，8月28日例6.1一小球沿豎直的光滑圓軌道由靜止開始下滑.求小球在B點時對環(huán)心的角動量和角速度.解:力矩分析用角動量定理：BARt=0Omg第六章角動量守恒N（1）又（2）由（1）和（2）可得第八頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題6.2擺長為l的錐擺作勻速圓周運動，擺線與鉛垂線成角，求擺球速率.解：如圖，在圓錐擺的運動過程中，擺球相對支點O的角動量為.L是一個可以繞z軸旋轉(zhuǎn)的矢量.將其分解兩個分量,其大小分別為顯然，不變，而隨時間改變.如圖,有Ozv第六章角動量守恒（１）第九頁，共二十九頁，2022年，8月28日另一方面，作用于擺球的外力有張力和重力，張力對支點O無力矩，而重力矩的方向與圓周半徑垂直，其大小為在式①兩邊都除以，并取極限，利用角動量定理及式②，得而由此解得第六章角動量守恒（２）（３）（４）（３）和（４）第十頁，共二十九頁，2022年，8月28日（二）質(zhì)點系角動量定理一、質(zhì)點系角動量定理質(zhì)點系對給定點的角動量等于各質(zhì)點對該點的角動量的矢量和：對t求導(dǎo)，利用質(zhì)點角動量定理，則得內(nèi)力對體系的總力矩為零，上式變?yōu)轶w系角動量定理的微分形式第六章角動量守恒第十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日體系角動量定理的積分形式體系對給定點角動量的增量等于外力對該點的總沖量矩二、質(zhì)點系角動量守恒當(dāng)外力對定點的總外力矩為零時，則質(zhì)點系角動量定理指出，只有外力矩才對體系的角動量變化有貢獻.內(nèi)力矩對體系角動量變化無貢獻，但對角動量在體系內(nèi)的分配是有作用的.第六章角動量守恒第十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日(3)角動量守恒定律是一個獨立的規(guī)律，并不包含在動量守恒定律或能量守恒定律中.(2)角動量守恒定律是矢量式，它有三個分量，各分量可以分別守恒.（a）若，則.（b）若,則.（c）若，則.⑴關(guān)于總外力矩M=0，有三種不同情況：（a）對于孤立系統(tǒng)，體系不受外力作用.（b）所有外力都通過定點.（c）每個外力的力矩不為零，但總外力矩M=0.討論：第六章角動量守恒第十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日(三）質(zhì)心系的角動量定理在處理問題時常采用質(zhì)心平動系去考察質(zhì)點系的動力學(xué)性質(zhì)，那么，如果采用質(zhì)心參考系，并取質(zhì)心為參考點時，質(zhì)點系相對于質(zhì)心的角動量隨時間的變化規(guī)律將如何表述呢?一、質(zhì)心系中的角動量定理質(zhì)心系若為非慣性系，則加上慣性力的力矩，角動量定理仍適用.設(shè)為質(zhì)心系中體系對質(zhì)心的總角動量，為外力對質(zhì)心力矩之和，為慣性力對質(zhì)心的力矩之和，則由于質(zhì)心平動系中，作用在各質(zhì)點的慣性力與質(zhì)量成正比，方向與質(zhì)心加速度相反，故對質(zhì)心的力矩為第六章角動量守恒第十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日即質(zhì)點系相對質(zhì)心的角動量的時間變化率等于外力相對質(zhì)心的外力矩總和.注意：質(zhì)心系角動量定理雖與質(zhì)點或質(zhì)點系的角動量定理具有完全相同的形式，但后者總被強調(diào)在慣性系中成立，而質(zhì)心即使有加速度，質(zhì)心系為非慣性系，質(zhì)心角動量定理仍成立.其中為質(zhì)心系中質(zhì)心位矢，它必為零，故質(zhì)心系角動量微分形式質(zhì)心系角動量積分形式第六章角動量守恒第十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日二、質(zhì)心系的角動量守恒當(dāng)外力相對質(zhì)心的總力矩為零時，體系相對質(zhì)心的角動量為恒量利用質(zhì)心系的角動量守恒定理，可以清楚地解釋運動員的跳水過程.三、體系角動量與質(zhì)心角動量在慣性系中，質(zhì)點系相對于定點的角動量為而，代入上式得第六章角動量守恒第十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日根據(jù)質(zhì)心的定義，上面后兩項為零.于是上式表示體系的角動量等于質(zhì)心角動量與體系相對于質(zhì)心角動量之和.質(zhì)心角動量體系相對質(zhì)心角動量第六章角動量守恒第十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日例題6.3質(zhì)量為的兩個質(zhì)點的位矢和速度分別為和，試求⑴每個質(zhì)點相對于兩質(zhì)點質(zhì)心的動量.⑵兩質(zhì)點相對于它們的質(zhì)心的角動量.解：⑴對于由兩個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點系，引入相對速度u考慮到質(zhì)心系是零動量參考系，即可得第六章角動量守恒第十八頁，共二十九頁，2022年，8月28日⑵利用質(zhì)心表達式，每個質(zhì)點相對于質(zhì)心的位矢分別為故兩個質(zhì)點相對于它們的質(zhì)心的角動量為兩質(zhì)點的約化質(zhì)量第六章角動量守恒由此可得，每個質(zhì)點相對于質(zhì)心的動量分別為第十九頁，共二十九頁，2022年，8月28日（四）對稱性與守恒定律（課外閱讀）一、自然界中的對稱性:物理學(xué)的規(guī)律是有層次的，層次越深，則規(guī)律越基本、越簡單，其適用性也越廣泛，但也越不容易被揭示出來。對稱是自然界固有的一種屬性。1.具有對稱結(jié)構(gòu)的樹葉

2.從離土星3400萬公里的太空拍攝到的土星照片3.古羅馬風(fēng)格的建筑

4.

NaCl晶體結(jié)構(gòu)

第六章角動量守恒第二十頁，共二十九頁，2022年，8月28日第六章角動量守恒二、對稱性的有關(guān)概念1.系統(tǒng)：研究物體或?qū)ο?.狀態(tài)：系統(tǒng)的性質(zhì)穩(wěn)定不變時，稱系統(tǒng)處于某種狀態(tài)；不同的狀態(tài)可以是“等價的”，也可以是“不等價的”；3.變換：使系統(tǒng)從一個狀態(tài)變到另一個狀態(tài)的過程，或稱為給了系統(tǒng)一個操作；4.對稱性：在一個操作下，系統(tǒng)從一個狀態(tài)變化到另一個與之等價的狀態(tài)，稱系統(tǒng)在這個操作下是對稱的；這個操作叫做該系統(tǒng)的一個對稱操作?；?2第二十一頁，共二十九頁，2022年，8月28日三、對稱性的種類鏡象對稱:如果將中心線設(shè)想為一個垂直于圖面的平面鏡與圖面的交線，則中心線兩邊的每一半都分別是另一半在平面鏡內(nèi)的像。鏡象對稱又稱為左右對稱，鏡象對稱操作稱為空間反演操作。平移對稱:如果一個系統(tǒng)發(fā)生一平移后，它也和原來一模一樣，那么該系統(tǒng)具有空間平移對稱性。轉(zhuǎn)動對稱:如果使一個系統(tǒng)繞某一固定軸轉(zhuǎn)動一個角度，它又和原來一模一樣。

如果一個形體對通過某一定點的任意軸都具有轉(zhuǎn)動對稱性，此系統(tǒng)就具有球?qū)ΨQ性，這個定點是對稱中心。具有球?qū)ΨQ的系統(tǒng)，從對稱中心出發(fā)，具有各向同性。第六章角動量守恒第二十二頁，共二十九頁，2022年，8月28日四、物理定律的對稱性

時空操作：空間操作：平移、轉(zhuǎn)動、鏡象反射、空間反演等；時間操作：時間平移、時間反演等。相應(yīng)的對稱性稱為時空對稱性。物理定律的對稱性與空間平移對稱性、時間平移對稱性、空間轉(zhuǎn)動對稱性、鏡象對稱性等密切相關(guān)。第六章角動量守恒物理定律的空間平移不變性

在空間某處做一個物理實驗，然后將該套實驗儀器（連同影響實險的一切外部因素）平移到另一處，給予同樣的起始條件，實驗將會以完全相同的形式進行，這就是物理定律的空間平移不變性，又叫空間的均勻性。第二十三頁，共二十九頁，2022年，8月28日物理定律時間平移不變性

一個實驗只要不改變原始的條件和所使用的儀器，不管是今天去做還是明天去做。都會得到相同的結(jié)果。這事實稱為物理定律的時間平移不變性，又稱為時間的均勻性。

物理定律的空間轉(zhuǎn)動不變性

物理實驗儀器不管在空間如何轉(zhuǎn)向，只要實驗條件相同，那未物理實驗會以完全相同的方式進行，其物理實體在空間所有方向上都是相同的，這稱為物理定律的空間轉(zhuǎn)動不變性，又叫空間的各向同性。第六章角動量守恒第二十四頁，共二十九頁，2022年，8月28日物理定律的鏡像不變性

假定一只鐘在滴答滴答的走著?，F(xiàn)在從一面鏡子中來看這只鐘，鏡子中出現(xiàn)一只與原來鐘左右對調(diào)過來的鐘。若能實際制造出同鏡子中鐘的像完全相同的鐘，這樣就制成了兩只實際存在的鐘，而且一只鐘是另一只鐘的“像”。如果兩只鐘發(fā)條上得一樣緊，并在相同的條件下開始走動。那么事實會證明這兩只鐘將永遠以相同的速率走動，亦即它們遵從相同的力學(xué)定律.物理定律的對稱性有著深刻的含義。通常我們從運動方程出發(fā)討論守恒律，然后說明對稱性。而在理論物理中，往往以對稱性為出發(fā)點。1905年人們理解了麥克斯韋方程中的對稱性，1909年愛因斯坦就設(shè)想：“為什么我們不能將這樣的過程倒過來，為什么我們不能從對稱性出發(fā)建立符合對稱性原則的基本方程，并由此得到和方程符合的實驗結(jié)果？”1954年楊—米爾斯(Yang—Mills)提出的非阿貝耳規(guī)范對稱理論是這方面的典范。第六章角動量守恒第二十五頁，共二十九頁，2022年，8月28日五、對稱性與守恒定律對應(yīng)于每一種對稱性，都存在一個守恒定律。下表列出了物理學(xué)中常見的對稱性和相應(yīng)的守恒定律:對稱性（不變性）守恒律空間平移動量時間平移能量轉(zhuǎn)動角動量空間反演宇稱時間反演——電荷規(guī)范變換電荷重子規(guī)范變換重子數(shù)輕子規(guī)范變換輕子數(shù)電荷共軛電荷宇稱第六章角動量守恒第二十六頁，共二十九頁，2022年，8月28日下面討論時空對稱性與動量守恒定律：為簡單起見，假設(shè)一個體系由兩個相互作用著的粒子組成，它們只限于在具有平移對稱性的x軸上運動，如圖所示。設(shè)兩粒子的坐標(biāo)分別為，體系的勢能為當(dāng)體系發(fā)生一平移時，兩粒子的坐標(biāo)分別為但兩粒子間的距離未變，即第六章角動量守恒第二十七頁，共二十九頁，2022年，8月28日空間的平移對稱性意味著勢能與之無關(guān)，即空間平移操作下勢能保持不