第四章拉普拉斯變換次課

第四章拉普拉斯變換次課1第一頁，共七十六頁，2022年，8月28日

4.1引言以傅里葉變換為基礎(chǔ)的頻域分析方法的優(yōu)點在于：它給出的結(jié)果有著清楚的物理意義，但也有不足之處，傅里葉變換只能處理符合狄利克雷條件的信號，而有些信號是不滿足絕對可積條件的，因而其信號的分析受到限制；另外在求時域響應(yīng)時運用傅里葉反變換對頻率進(jìn)行的無窮積分求解困難。第二頁，共七十六頁，2022年，8月28日為了解決對不符合狄氏條件信號的分析，可利用本章要討論的拉氏變換法擴大信號變換的范圍。優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時，初始條件被自動計入，因此應(yīng)用更為普遍。本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進(jìn)行討論。本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應(yīng)，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。3第三頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.2拉普拉斯變換的定義、收斂域(一)從傅里葉變換到拉普拉斯變換若f(t)不滿足狄里赫利條件,有些不存在傅里葉變換。若f(t)乘一衰減因子e–δt,則若f(t)e–δt收斂，于是滿足狄里赫利條件,則f1(t)=f(t)e–δt存在傅里葉變換.第四頁，共七十六頁，2022年，8月28日象函數(shù)(單邊L正變換)FT:實頻率是振蕩頻率LT:復(fù)頻率S=+j

是振蕩頻率，控制衰減速度下限取0-,LT就考慮了初始條件,假設(shè)有信號f(t),且為因果信號。第五頁，共七十六頁，2022年，8月28日原函數(shù)(單邊L逆變換)雙邊拉普拉斯變換[若f(t)為非因果信號]：

用得較少以下拉普拉斯變換均指單邊拉普拉斯變換第六頁，共七十六頁，2022年，8月28日(二)單邊拉氏變換的收斂域欲F(s)存在，則必須滿足條件：解得：0j0收斂軸收斂域=Re(s)結(jié)論：單邊拉氏變換的收斂域:

>0。整個平面以為界不收斂信號除非有始有終信號，能量有限信號或等幅振蕩信號和增長信號第七頁，共七十六頁，2022年，8月28日解:

收斂域為整個s平面(-∞,+∞)

例．求下列信號拉氏變換的收斂域(1)(2)收斂域為(0,+∞)

(3)收斂域為(-Re(a),+∞)

收斂域為(0,+∞)

(4)實際工程中的信號，只要足夠大，F(xiàn)(s)一定存在。所以,收斂域問題一般不討論，除非題中特別要求去討論.

第八頁，共七十六頁，2022年，8月28日1、沖激信號2、階躍信號(三)常見信號的拉氏變換3、指數(shù)函數(shù)信號第九頁，共七十六頁，2022年，8月28日4、正冪信號斜坡信號5、余弦信號6、正弦信號一些常用因果信號的L變換見表4-1(P181)第十頁，共七十六頁，2022年，8月28日

4.3拉氏變換的基本性質(zhì)(一)線性特性：a,b為常數(shù).例求f(t)=sin(0t)的拉氏變換F(s).解因此得：同法可得：第十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日推論(二)時域的微分性證明:

例如:已知電感的電流為iL(t),且拉氏變換為IL(s),那么電感的電壓vL(t)的拉氏變換為：VL(s)=L[sIL(s)-iL(0-)]=LsIL(s)-LiL(0-)時域微分性可將f(t)微分方程化為復(fù)頻域F(s)的代數(shù)方程，而且自動引入初始狀態(tài)，因而通過復(fù)頻域分析法可求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。第十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日例題：系統(tǒng)微分方程，若激勵信號和起始狀態(tài)為:e(t)=u(t),r(0-)=1,r′(0-)=2，試分別求它們的零輸入，零狀態(tài)響應(yīng)及完全響應(yīng).解：對方程兩端分別取拉氏變換得：整理得：13第十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日(三)時域的積分性例如:已知電容的電流為iC(t),且拉氏變換為IC(s),那么電容的電壓vC(t)的拉氏變換為：證明：第十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日注意：(四)時移特性證明:第十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日【例】已知【例4】16第十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日(五)S域平移特性證明:例:求的拉氏變換.解:第十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日(六)尺度變換特性證明:例:求L[f(at-b)u(at-b)]解:第十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日(七)初值定理證明:第十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日注：初值定理應(yīng)用的條件是F(s)是真分式，若不是，則在t=0處有沖激及其導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生。F(s)可寫成多項式和真分式之和。

即單位階躍信號的初始值為1。第二十頁，共七十六頁，2022年，8月28日注：終值定理應(yīng)用的條件是F(s)的極點必須位于左半平面，或者在s=0處的一階極點。(八)終值定理證明：對式左右兩側(cè)求s趨向0的極限得：21第二十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日例：解（1）求初值（2）求終值第二十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日(九)卷積定理時域卷積定理

證明:

第二十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日…..12345..f(t)112f0(t)112f0(t)1…..12345..f(t)124第二十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.4拉氏變換逆變換由象函數(shù)求原函數(shù)(即求拉普拉斯反變換)的方法：部分分式展開法F(s)通常為s的有理分式，一般形式為

總的思路：

有理假分式有理真分式最簡分式之和f(t)按D(s)=0的根(稱為F(s)的極點)有無重根等分別討論如下：1．當(dāng)mn且為n個單根p1,p2,…,pn

(可為實根、虛根或復(fù)根)有理真分式F(s)可展開為如下的部分分式：

通常把使D(s)=0的根稱為F(s)的極點；

通常把使N(s)=0的根稱為F(s)

的零點。第二十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日式中Kj(j=1,2,…,n)為待定系數(shù).

則有原函數(shù)第二十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日例求下示函數(shù)的逆變換解第二十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日2．當(dāng)mn且D(s)=0的根有重根時不妨設(shè)根p1為r重根，其余(n-r)個根為單根pj(j=r-1,r-2,…,n)，則有理真分式F(s)可展開為式中待定系數(shù).則有原函數(shù)第二十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日例求下示函數(shù)的逆變換解:第二十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日3．當(dāng)mn時長除法將有理假分式多項式+有理真分式(m-n)次多項式中的sl對應(yīng)的原函數(shù)為沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(l)(t).例求下示函數(shù)的逆變換解有理假分式有理真分式多項式第三十頁，共七十六頁，2022年，8月28日4．包含共軛復(fù)數(shù)極點

原則上可按第1種情況求逆變換.但一般化為正弦、余弦函數(shù)的象函數(shù)形式,再利用s域平移特性去求逆變換.第三十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日解例求下示函數(shù)的逆變換第三十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日解例求下示函數(shù)的逆變換第三十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.5線性系統(tǒng)復(fù)頻域分析法

拉普拉斯變換的線性性質(zhì)、時域微分性質(zhì)與時域卷積性質(zhì)，可使線性微分方程變?yōu)閺?fù)頻域的線性代數(shù)方程，同時將系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然反映在象函數(shù)中，所以用s域分析法可直接求解全響應(yīng)。一、系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解

例:已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程，其激勵f(t)=u(t)，0-初始條件為y(0-)=2，y'(0-)=1，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。方程：解：對微分方程兩邊取拉普拉斯變換得：

以具體的微分方程為例：第三十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日第三十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日一般的，若給出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型即高階常系數(shù)線性微分方程：

則可以通過對方程兩邊同時求拉氏變換從而求出系統(tǒng)的全響應(yīng)同時可以確定零狀態(tài)及零輸入響應(yīng)。結(jié)論：第三十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日二、電路的s域模型由拉氏變換的線性特性有KCL：

i(t)=0

I(s)=0KVL：

u(t)=0

U(s)=0元件：VAR

相應(yīng)的s域形式

s域模型

1、電阻元件RR第三十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日2、電容元件C+-1/sc+-+-+-第三十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日3、電感元件+-LsL+--+sL+-s域模型中：sL稱為復(fù)頻域感抗；(1/sC)稱為復(fù)頻域容抗。第三十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日復(fù)頻域阻抗與復(fù)頻域?qū)Ъ{：N0無源、零狀態(tài)I(s)+U(s)-RsL1sCI(s)+U(s)-在零狀態(tài)下s域形式的歐姆定律

第四十頁，共七十六頁，2022年，8月28日三、線性系統(tǒng)復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法步驟

1.

求換路前電路的狀態(tài)

uC(0-)、iL(0-)；

2.畫出s域電路模型(1)將電壓源、電流源、各支路電壓、電流及受控源表示成象函數(shù)形式。(2)將各元件的參數(shù)表示成s域的阻抗或?qū)Ъ{形式。4.用s域形式的各種分析法如等效變換、獨立變量法(支路法，回路法，節(jié)點法)、疊加定理、戴維南定理等建立方程，并解出響應(yīng)變量的象函數(shù)；5.用求拉氏反變換的某種方法求出響應(yīng)的時域表達(dá)式，必要時畫出響應(yīng)的波形。第四十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日圖示電路，試求零狀態(tài)響應(yīng)uC1、uC2、u

0.2(t)A0.2F+uC1-+

uC2

-0.3F50+u-畫出零狀態(tài)s域電路模型解：由節(jié)點法：

拉氏反變換得例1:0.2+UC1(s)-+

UC2(s)-50+U(s)-s域電路模型第四十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日注意狀態(tài)變量有突變。拉氏變換積分下限取0-可方便地解決突變問題。

第四十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.6系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)

1.系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H(s)的定義

系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)的拉氏變換Y(s)與激勵f(t)的拉氏變換F(s)之比稱為系統(tǒng)函數(shù)(或網(wǎng)絡(luò)函數(shù))h(t)f(t)y(t)時域

H(s)F(s)Y(s)

復(fù)頻域

h(t)與H(s)構(gòu)成拉氏變換對第四十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日2．H(s)的求法

1)

H(s)=L

[h(t)]；

2)

H(s)=[h(

p)]p=s

3)按定義求：

第四十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日例1:求右圖電路的轉(zhuǎn)移導(dǎo)納函數(shù)解:列寫回路方程式如下:本題屬于方法3第四十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日例2:已知系統(tǒng)微分方程求該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)及h(t).解:對系統(tǒng)微分方程進(jìn)行拉氏變換本題屬于方法3第四十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t).例3:已知系統(tǒng)的激勵e(t)、響應(yīng)r(t)分別為解:第四十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.7由系統(tǒng)函數(shù)零極、點分布決定時域特性

一、H(s)的零點、極點與零、極點圖將分子、分母因式分解(設(shè)為單根情況)得

系統(tǒng)函數(shù)H0=bm(分子分母最高次項系數(shù)之比)為實常數(shù)。

E(s)=0的根pi稱為Ｈ(s)的極點，∵Ｈ(pi)→R(s)=0的根zi稱為Ｈ(s)的零點，∵Ｈ(zi)→0。

第四十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點只能是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對，可以是多重的；在s平面上，用“○”表示零點，用“×”表示極點稱為零、極點分布圖。若H0≠1時要在圖中標(biāo)出來；若具有多重的零點或極點時，則應(yīng)在“○”旁或“×”旁標(biāo)出其重數(shù)。例:解：令極點:s=-1(二階),s=j2令零點:s=0,s=1j1零、極點分布圖12-1-2j-j2j2(2)S第五十頁，共七十六頁，2022年，8月28日二、H(s)的零點、極點分布與h(t)波形特征的對應(yīng)

沖激響應(yīng)h(t)=L-1[H(s)]Pi為負(fù)實數(shù)h(t)變化規(guī)律非振蕩衰減負(fù)實部共軛復(fù)數(shù)故有如下結(jié)論：振蕩衰減正實數(shù)非振蕩遞增正實部共軛復(fù)數(shù)振蕩遞增共軛純虛數(shù)（單階）等幅振蕩0（單階）常數(shù)項共軛純虛數(shù)（重階）振蕩遞增0（重階）遞增第五十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日1）極點pi決定系統(tǒng)自由響應(yīng)（固有響應(yīng)）的變化的規(guī)律。取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與元件的參數(shù)，故pi稱為系統(tǒng)的自然頻率或固有頻率。

2）H(s)的零點只影響h(t)波形的幅度和相位，不影響波形模式；總結(jié):1.若H(s)極點落于s平面的左半平面,則h(t)波形為衰減形式;(系統(tǒng)穩(wěn)定)2.若H(s)極點落于s平面的右半平面,則h(t)波形為增長形式;(系統(tǒng)不穩(wěn)定)3.落于虛軸上的一階極點對應(yīng)的h(t)為等幅振蕩或階躍(臨界狀態(tài));落于虛軸上的二階極點對應(yīng)的h(t)為增長形式(系統(tǒng)不穩(wěn)定).第五十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日三、H(s)、E(s)零極點分布與自由、強迫響應(yīng)特征的對應(yīng)

設(shè)則自由響應(yīng),由H(s)的極點所形成.H(s)的極點pi稱為系統(tǒng)的固有頻率強迫響應(yīng),由E(s)的極點所形成(單極點情況)Ki,Kk則與H(s)和E(s)都有關(guān)系.注意:系統(tǒng)函數(shù)H(s)只能用于研究系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng).第五十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日例:電路如右圖.求輸出電壓u2(t)解:自由響應(yīng)強迫響應(yīng)若輸入電壓為第五十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻響特性

一、頻響特性1、頻響特性:若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域包含j，則令s=j頻響特性:2、H(jw)和正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的關(guān)系第五十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日則系統(tǒng)響應(yīng)為其中系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：56第五十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日頻響特性——幅頻特性——相頻特性（相移特性）因此可得：當(dāng)激勵為Asinwot時，正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為人r（t）=AH0sin(w0t+φ0)注意：頻響特性:指系統(tǒng)在正弦信號激勵下正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化情況.57第五十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日濾波網(wǎng)絡(luò)頻響特性示例低通高通帶通帶阻(黑虛線表示理想濾波器,紅實線表示實際濾波器)58第五十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日頻率特性繪制的方法:方法1：描點法。（注意以下關(guān)鍵點）

方法2.圖解法：每給一個ω值，由H0及其零、極點矢量因子進(jìn)行圖解得到相應(yīng)的第五十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日（）σ+jω0

jωziαiNijω-ziσ+jω0

jωpiθiMi（）jω-pi第六十頁，共七十六頁，2022年，8月28日例:研究RC低通濾波網(wǎng)絡(luò)的頻響特性解:00幅頻特性0相頻特性第六十一頁，共七十六頁，2022年，8月28日4.10全通系統(tǒng)與最小相移系統(tǒng)全通函數(shù):若系統(tǒng)函數(shù)的極點全部位于左半平面,零點位于右半平面且零點與極點對于j軸互為鏡像.Z3P1P2P3Z1Z2213312M3M1M2N1N2N3j2.相頻特性不受約束.結(jié)論:1.幅頻特性為常數(shù)在傳輸系統(tǒng)中,全通網(wǎng)絡(luò)常用于進(jìn)行相位校正(如作相位均衡器或移相器）第六十二頁，共七十六頁，2022年，8月28日例:判斷下列系統(tǒng)中哪些是全通系統(tǒng)解:(1)極點p1=-1,零點z1=1.零、極點對于j軸互為鏡像.故為全通系統(tǒng).(2)極點p1=-1,零點z1=2.零、極點對于j軸不互為鏡像.故不是全通系統(tǒng).(3)極點p1,2=-1j,零點z1=1j.零、極點對于j軸互為鏡像.故是全通系統(tǒng).第六十三頁，共七十六頁，2022年，8月28日最小相移函數(shù):零點僅位于左半平面或j軸的網(wǎng)絡(luò)函數(shù).若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在右半平面有一個或多個零點,稱為‘非最小相移函數(shù)’.

非最小相移函數(shù)可以表示為最小相移函數(shù)與全通函數(shù)的乘積.設(shè)非最小相移函數(shù)在右半平面的零點為非最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)全通函數(shù)第六十四頁，共七十六頁，2022年，8月28日例:判斷下列系統(tǒng)中哪些是最小相移系統(tǒng).若有非最小相移系統(tǒng),用最小相移系統(tǒng)與全通系統(tǒng)進(jìn)行組合.解:(1)零點z1=-1,z2=-3.零點位于左半平面.故為最小相移系統(tǒng).(2)零點z1,2=2j.零點位于右半平面.故為非最小相移系統(tǒng).非最小相移函數(shù)最小相移函數(shù)全通函數(shù)第六十五頁，共七十六頁，2022年，8月28日1．系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義與條件4.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性

系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù),與激勵信號及初始狀態(tài)無關(guān).系統(tǒng)的h(t)或系統(tǒng)函數(shù)H(s)集中表征了系統(tǒng)的本性.它也反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:(M為有界正值)因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件:(M為有界正值)第六十六頁，共七十六頁，2022年，8月28日判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定,可從時域和s域兩方面進(jìn)行.2．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定(1)從Ｈ(s)極點的分布來判定：

系統(tǒng)穩(wěn)定：Ｈ(s)全部極點均位于s的左半平面上.

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定：在j軸上有單極點,其它極點均位于s的左半平面上.系統(tǒng)不穩(wěn)定：至少有一個極點位于s的右半平面上或在j軸上有重極點.

第六十七頁，共七十六頁，2022年，8月28日(2)用羅斯(Routh)準(zhǔn)則來判定(當(dāng)H(s)的極點不易求得時)

用羅斯準(zhǔn)則確定Ｈ(s)的分母多項式D(s)的根(即Ｈ(s)極點)是否都位于s左半平面.這里只介紹D(s)為二、三階時情況.(詳見教材下冊p302)二階多項式s2+s+的根都位于s左半平面的充分必要條件是所有系數(shù)具有相同符號.2)三階多項式s3+s2+s+的根都位于s左半平面的充分必要條件是除上述系數(shù)同號條件外,還應(yīng)滿足

>.

1)

2)

第六十八頁，共七十六頁，2022年，8月28日例:用羅斯準(zhǔn)則判斷下列系統(tǒng)是否穩(wěn)定解:(1)不穩(wěn)定(2)穩(wěn)定(3)穩(wěn)定(4)不穩(wěn)定(5)不穩(wěn)定第六十九頁，共七十六頁，2022年，8月28日穩(wěn)定系統(tǒng)的另一種定義方式(BIB0):若系統(tǒng)對任意的有界輸入其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的,則稱此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng).根據(jù)H(s)極點分布,系統(tǒng)穩(wěn)定性劃分為三個類型穩(wěn)定臨界穩(wěn)定不穩(wěn)定根據(jù)BIBO,系統(tǒng)穩(wěn)定性劃分為二個類型穩(wěn)定不穩(wěn)定(臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定類型)即(Me、Mr為有界正值)通常不含受控源的RLC電路構(gòu)成穩(wěn)定系統(tǒng);只由LC元件構(gòu)成電路,出現(xiàn)H(s)極點位于虛軸的