點(diǎn)差法弦長公式

1.過點(diǎn)(1，0)的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為2的2橢圓C訂交于A、B兩點(diǎn)，直線y=1x過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C2上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)對(duì)于直線l對(duì)稱，試求直線l與橢圓C的方程.命題企圖：此題利用對(duì)稱問題來觀察用待定系數(shù)法求曲線方程的方法，設(shè)計(jì)新奇，基礎(chǔ)性強(qiáng)，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依靠：待定系數(shù)法求曲線方程，怎樣辦理直線與圓錐曲線問題，對(duì)稱問題.錯(cuò)解剖析：不可以適合地利用離心率設(shè)出方程是學(xué)生簡單犯的錯(cuò)誤.適合地利用好對(duì)稱問題是解決好此題的重點(diǎn).技巧與方法：此題是典型的求圓錐曲線方程的問題，解法一，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式相減得對(duì)于直線AB斜率的等式.解法二，用韋達(dá)定理.解法一：由e=c2,得a2b21,進(jìn)而a2=2b2,c=b.a2a22設(shè)橢圓方程為x222y),B(x,y)在橢圓上.+2y=2b,A(x,1122222222兩式相減得，(x2－x2)+2(y2－則x+2y=2b,x+2y=2b,11112222)=0,y1y2x1x2.y2x1x22(y1y2)設(shè)AB中點(diǎn)為(x,y),則kAB=－x0,又(x,y)在直線y=1x上，002y0002y=1x,于是－x0=0202y01,kAB=－1,設(shè)l的方程為y=－x+1.右焦點(diǎn)(b,0)對(duì)于l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為(x′,y′),y1x1則xb解得yxby1b212由點(diǎn)(1,1－b)在橢圓上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=9,a29.∴所求橢圓C的方程為8x216y1682=1,l的方程為－x+1.99y=解法二：由e=c2,得a2b21,進(jìn)而a2=2b2,c=b.a2a22設(shè)橢圓C的方程為x2+2y2=2b2,l的方程為y=k(x－1),將l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,則x1+x2=4k2,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－2k.12k212k2直線l：y=1x過AB的中點(diǎn)(x12x2,y1y2),則k2112k22,解2212k22k得k=0，或k=－1.若k=0,則l的方程為y=0,焦點(diǎn)F(c,0)對(duì)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)就是F點(diǎn)自己，不可以在橢圓C上，所以k=0舍去，進(jìn)而k=－1，直線l的方程為y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.2.(★★★★★)已知圓C的方程為(x－2)2220,橢圓C132的方程為x2y2＞＞，2的離心率為2，假如C1與C2訂交于a2b2=1(ab0)C2A、B兩點(diǎn)，且線段AB恰為圓C的直徑，求直線AB的方程和橢圓C12的方程.解：由e=2,可設(shè)橢圓方程為x2y2=1,22b2b2又設(shè)A(x,y)、B(x,y),則x+x=4,y+y=2,11221212又x12y121,x22y22=1,兩式相減，得x12x22y12y22=0,2b2b22b2b22b2b2即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化簡得y1y2x1x2

=－1,故直線AB的方程為y=－x+3,代入橢圓方程得3x2－12x+18－2b2=0.有=24b2－72＞0,又|AB|=2(x1x2)24x1x220,3得224b27220，解得b2=8.93故所求橢圓方程為x2y2=1.168橢圓x2y2（）的離心率e2，、是橢圓上對(duì)于坐標(biāo)不對(duì)稱的a2b23兩點(diǎn)，線段的中垂線與軸交于點(diǎn)（，）。ABxP10（）設(shè)中點(diǎn)為（，），求的值。1ABCx0y0x0（2）若F是橢圓的右焦點(diǎn)，且AFBF3，求橢圓的方程。（1）令A(yù)（x1，y1）、B（x2，y2）則x1x22x0，y1y22y0y1y21x0x1x2y0由e2c2a2b24b253a3a29a29又A、B在橢圓x2y21上a2b2b2x2a2y2a2b211b2x22a2y22a2b22x）（xx）a2y）（yy）0b（x1（y1212212（x1x2）b2x0a2y（0y1y2）0y1y2b2x05x0x1x2a2y09y05x01x05x099x09y0y0904（2）AFBF3AFcBFAFaex1又a2x1aa2BFaex2cx2caex1aex232a2x）3（x312x1x22x0922a33a3b2c2c25a3所求橢圓方程為x2y2195（2006年江西卷）如圖，橢圓Q：（ab0）的右焦點(diǎn)F（c，0），過點(diǎn)F的一動(dòng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)，而且交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)求點(diǎn)P的軌跡H的方程在Q的方程中，令a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0），確立的值，使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線l最遠(yuǎn)，此時(shí)，設(shè)l與x軸交點(diǎn)為D，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)動(dòng)到什么地點(diǎn)時(shí)，三角形ABD的面積最大？解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（ab0）上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1x2，由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0b2x2＋a2y2－b2cx＝0（3）2當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，知足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：22222bx＋ay－bcx＝0（2）因?yàn)椋瑱E圓Q右準(zhǔn)線l方程是x＝，原點(diǎn)距l(xiāng)的距離為，因?yàn)閏2＝a2－b2，a2＝1＋cos＋sin，b2＝sin（0）則＝＝2sin（＋）當(dāng)＝時(shí)，上式達(dá)到最大值。此時(shí)a2＝2，b2＝1，c＝1，D（2，0），|DF|＝1設(shè)橢圓Q：上的點(diǎn)A（x，y）、B（x，y），三角形ABD的面積1122S＝|y|＋|y|＝|y－y|1212設(shè)直線m的方程為x＝ky＋1，代入中，得（2＋k2）y2＋2ky－1＝0由韋達(dá)定理得y1＋y2＝，y1y2＝，4S2＝（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝令t＝k2＋11，得4S2＝，當(dāng)t＝1，k＝0時(shí)取等號(hào)。所以，當(dāng)直線m繞點(diǎn)F轉(zhuǎn)到垂直x軸地點(diǎn)時(shí)，三角形ABD的面積最大。(2006年湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).(Ⅰ)當(dāng)AB⊥軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)能否在直線AB上；(Ⅱ)能否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出切合條件的、的值；若不存在，請說明原因.45．(Ⅰ)=0，；(Ⅱ)，或，。解（Ⅰ）當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，點(diǎn)A、B對(duì)于x軸對(duì)稱，所以m＝0，直線AB的方程為x=1，進(jìn)而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，－）.因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即.此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.（Ⅱ）解法一當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得.①設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,（x2,y2）,12是方程①的兩根，12則x,xx＋x＝.因?yàn)锳B既是過C的右焦點(diǎn)的弦，又是過C的焦點(diǎn)的弦，y12所以，且A.Ox進(jìn)而.B所以，即.解得.2因?yàn)镃的焦點(diǎn)在直線上，所以.即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.解法二當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得.①因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以，即.代入①有.即.②設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,（x2,y2）,則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝.由消去y得.③因?yàn)閤1,x2也是方程③的兩根，所以x1＋x2＝.進(jìn)而＝.解得.因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.解法三設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,（x2,y2）,因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)，又是過C2的焦點(diǎn)，所以.即.①由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，②且直線AB的方程是,所以.③又因?yàn)椋?④將①、②、③代入④得，即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.弦長公式已知橢圓的中心在座標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)焦點(diǎn)為F，M是橢圓上的隨意點(diǎn)，|MF|的最大值和最小值的幾何均勻數(shù)為2，橢圓上存在著以y=x為軸的對(duì)稱點(diǎn)M和M，且|MM|=410，試求橢圓12123的方程.解：|MF|max=a+c,|MF|min=a－c,則(a+c)(a－c)=a2－c2=b2,∴b2=4,設(shè)橢圓方程為x2y21①a24設(shè)過M1和M2的直線方程為y=－x+m②222222③將②代入①得：(4+a)x－2amx+am－4a=0設(shè)M1(x1,y1)、M2(x2,y2),M1M2的中點(diǎn)為(x0,y0),則x0=1(x1+x2)=a2m2,y0=－x0+m=4m2.24a4a代入y=x,得a2m4m2,4a24a因?yàn)閍2＞4,∴m=0,∴由③知x1+x2=0,x1x2=－4a22,4a又|MM|=2(x1x2)2410,123代入x1+x2,x1x2可解a2=5,故所求橢圓方程為：x2y2=1.542.（2008全國一21）．（本小題滿分12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1uuuruuuruuuruuuruuur的直線分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)．已知OA、、成等差數(shù)列，且BF與FA同向．ABOB（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．解：（Ⅰ）設(shè)OAmd，ABm，OBmd由勾股定理可得：(md)2m2(md)21m，tanAOFbAOBtan2AB4得：d，tanAOF34aOA2b4b15由倍角公式a2，解得則離心率eb3a,．122a（Ⅱ）過F直線方程為ya(xc),與雙曲線方程x2y21聯(lián)立ba2b2將a2b，c5b代入，化簡有152x285x2104bb2241ax1x21a(x1x2)24x1x2bb2將數(shù)值代入，有45325b428b2,解得b3155故所求的雙曲線方程為x2y2。3619（山東卷）設(shè)直線對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線為，若與橢圓的交點(diǎn)為A、B、，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（B）（A）1（B）2（C）3（D）4（福建卷）已知方向向量為的直線l過點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心對(duì)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）能否存在過點(diǎn)E（－2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，知足cot∠MON≠0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明原因.（I）解法一：直線，①過原點(diǎn)垂直的直線方程為，②解①②得∵橢圓中心（0，0）對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.故橢圓C的方程為③解法二：直線.設(shè)原點(diǎn)對(duì)于直線對(duì)稱點(diǎn)為（p，q），則解得p=3.∵橢圓中心（0，0）對(duì)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，∵直線過橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）.故橢圓C的方程為③（II）解法一：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得點(diǎn)O到直線MN的距離即即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也知足.故直線m的方程為或或經(jīng)查驗(yàn)上述直線均知足.所以所求直線方程為或或解法二：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入③，整理得E（－2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，∴|MN|=|ME|+|NE|=以下與解法一同樣.解法三：設(shè)M（），N（）.設(shè)直線，代入③，整理得即∴=，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)查驗(yàn)上述直線均知足所以所求直線方程為或或（廣東卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ的兩不一樣動(dòng)點(diǎn)Ａ、Ｂ知足（如圖４所示）．（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三條中線的交點(diǎn)）的軌跡方程；（Ⅱ）的面積能否存在最小值？若存在，懇求出最小值；若不存在，請說明原因．yABxO解：（I）設(shè)△AOB的重心為G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),則（1）∵OA⊥OB∴,即，(2)又點(diǎn)A，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得∴所以重心為G的軌跡方程為II）由（I）得當(dāng)且僅立即時(shí)，等號(hào)成立。所以△AOB的面積蓄在最小值，存在時(shí)求最小值1；2006年安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。y（Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；HM（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且平行于OP的直線交雙曲線于PA、xB點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程。OF第22題圖解：∵四邊形是，∴，作雙曲線的右準(zhǔn)線交PM于H，則，又，。（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，，雙曲線為四邊形是菱形，所以直線OP的斜率為，則直線AB的方程為，代入到雙曲線方程得：，又，由得：，解得，則，所認(rèn)為所求。2006年四川卷）已知兩定