高中數(shù)學(xué)1綜合法和分析法課時達(dá)標(biāo)檢測新人教A版選修

PAGEPAGE3【三維設(shè)計】2015-2016學(xué)年高中數(shù)學(xué)2.2.1綜合法和分析法課時達(dá)標(biāo)檢測新人教A版選修1-2一、選擇題1．在證明命題“對于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的過程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”中應(yīng)用了()A．分析法B．綜合法C．分析法和綜合法綜合使用D．間接證法解析：選B符合綜合法的證明思路．2．下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)解析：選A本題就是找哪一個函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，A項中，f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＜0，∴f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．3．設(shè)a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A．8 B．4C．1 D.eq\f(1,4)解析：選Beq\r(3)是3a與3b的等比中項?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，因為a＞0，b＞0，所以eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)＝eq\f(1,2)?ab≤eq\f(1,4)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,ab)≥eq\f(1,\f(1,4))＝4.4．已知f(x)＝ax＋1,0＜a＜1，若x1，x2∈R，且x1≠x2，則()A.eq\f(fx1＋fx2,2)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))B.eq\f(fx1＋fx2,2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))C.eq\f(fx1＋fx2,2)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))D.eq\f(fx1＋fx2,2)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))解析：選D因為x1≠x2，所以eq\f(fx1＋fx2,2)＝eq\f(ax1＋1＋ax2＋1,2)＞eq\r(ax1＋1·ax2＋1)＝aeq\f(x1＋x2,2)＋1＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))，所以eq\f(fx1＋fx2,2)＞feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2))).5．A，B為△ABC的內(nèi)角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選C若A>B，則a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，則由正弦定理得a>b，∴A>B.二、填空題6．命題“函數(shù)f(x)＝x－xlnx在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù)f(x)＝x－xlnx取導(dǎo)得f′(x)＝－lnx，當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)＝－lnx＞0，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)”應(yīng)用了________的證明方法．解析：該證明過程符合綜合法的特點．答案：綜合法7．如果aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)，則實數(shù)a，b應(yīng)滿足的條件是________．解析：aeq\r(a)＋beq\r(b)＞aeq\r(b)＋beq\r(a)?aeq\r(a)－aeq\r(b)＞beq\r(a)－beq\r(b)?a(eq\r(a)－eq\r(b))＞b(eq\r(a)－eq\r(b))?(a－b)(eq\r(a)－eq\r(b))＞0?(eq\r(a)＋eq\r(b))(eq\r(a)－eq\r(b))2＞0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．答案：a≥0，b≥0且a≠b8．已知sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)且eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，則cos2θ＝________.解析：因為sinθ＋cosθ＝eq\f(1,5)，所以1＋sin2θ＝eq\f(1,25)，所以sin2θ＝－eq\f(24,25).因為eq\f(π,2)≤θ≤eq\f(3π,4)，所以π≤2θ≤eq\f(3π,2).所以cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ)＝－eq\f(7,25).答案：－eq\f(7,25)三、解答題9．設(shè)x＞0，y＞0，證明不等式(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).證明：法一：(分析法)證明原不等式成立，即證(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，即證x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)＞x6＋y6＋2x3y3，即證3x2y2(x2＋y2)＞2x3y3，因為x＞0，y＞0，所以只需證x2＋y2＞eq\f(2,3)xy.又因為x＞0，y＞0，所以x2＋y2≥2xy＞eq\f(2,3)xy.所以(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).法二：(綜合法)因為x＞0，y＞0，所以(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3＞x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，所以(x2＋y2)eq\f(1,2)＞(x3＋y3)eq\f(1,3).10．設(shè)f(x)＝lnx＋eq\r(x)－1，證明：(1)當(dāng)x＞1時，f(x)＜eq\f(3,2)(x－1)；(2)當(dāng)1＜x＜3時，f(x)＜eq\f(9x－1,x＋5).證明：(1)記g(x)＝lnx＋eq\r(x)－1－eq\f(3,2)(x－1)，則當(dāng)x＞1時，g′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2\r(x))－eq\f(3,2)＜0.又g(1)＝0，故g(x)＜0，即f(x)＜eq\f(3,2)(x－1)．(2)記h(x)＝f(x)－eq\f(9x－1,x＋5)，則h′(x)＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,2\r(x))－eq\f(54,x＋52)＝eq\f(2＋\r(x),2x)－eq\f(54,x＋52)＜eq\f(x＋5,4x)－eq\f(54,x＋52)＝eq\f(x＋53－216x,4xx＋52).令p(x