高考數(shù)學(xué)真題集錦：《立體幾何》

熱點(diǎn)十九立體幾何大題

【三年真題重溫】

1.12011?新課標(biāo)全國(guó)理，18］如圖，四棱錐尸一月88中，底面為平行四邊形，Z

DAB=60°,AB=2AD,PO_L底面為BCD.

(I)證明：PAA.BD-,/\\\\

(II)若PO=N。，求二面角力一08—C的余弦值.行二——

AD

【解析】空間幾何體重點(diǎn)考查空間線線、線面、面面的平行、垂直判定與性質(zhì)，利用向量

法和幾何法求異面直線所成角、線面角、二面角問(wèn)題，難度與大綱版要求變化不大.

：I),/^DAB=60：tAB='⑺,由余弦定理得BD=&D.

/.BD-+AD:=.dB-,BDJ..4D.

又：尸。J■面.13CD,/.BDLPD.二8。J"平面R丑？，PA-BD.

HI)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線為x軸的正半軸建立空間直角

坐標(biāo)系D-.qz,則

ziiLO.O,30壽,0,P|0r0rl,

P

公工|-L帚,P3=;0：VO1-1.京=I-1Q9，/

設(shè)平面2二的法向量為"=,則?"卷=',-且==:會(huì)

即.-二-舟=:，因此可取”?

一/T、_--「

IH-P3=2—rmr

設(shè)平面pmc的法向量為iH,貝小_,可取，==?

nt3C=0

2.12011新課標(biāo)全國(guó)文，18］如圖，四棱錐。一/8co中，底面力BCD為平行四邊

形.Z￡U8=6O°,/8=2Z0,PZ)，底面力88.

(I)證明：PA工BD；

(II)設(shè)求棱錐。一P8C的高.

【解析】I因?yàn)槎﨑AB=60c,TB=1AD,由余弦定理得BD=&D.

從而3D：=a爐，故3D一ID,

又尸。一底面.基CD,可得3。一尸

所以32）一平面正山.故PA-BD.

如圖，作DE_FB,垂足為E.已知產(chǎn)D一底面一138,則勿_3C.

由：1）知3D一⑺，又BC.iD,所以3C_BD.

故8C_平面尸應(yīng)），BC-DE.

則。E_平面產(chǎn)BC.

由題設(shè)知刃=1，則=PB=2.

根據(jù)DE-PB=PDBD,得DE=§.即棱錐。一P8C的高為手.

3.[2010新課標(biāo)全國(guó)理，18]如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯

形，ABCD,AC1BD,垂足為H,PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn).

（1）證明：PEIBC

（2）若NAPB=NADB=60°,求直線PA與平面PEH所成角的正弦值

【解析】命題意圖：本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角

等知識(shí)，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角

問(wèn)題的能力.

以H為原點(diǎn)，HA^HBMP分別為工；二軸，線段丹H的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐

標(biāo)系如圖，則川工0,0),3{040)

(I)設(shè)C(w.0:0):P(0,0/)(，?？<0.>7>0)

則D(0tw,0)t￡(l^,0).

可得PE=(；f)乃C=(，％T0).

)

a^PE-5c=7---"+>o=o

所以PE-.BC.

（n）由已知條件可得

，，?=-￡故a-￡,0,0)￡>(0:10):0),P(0.0:1)

jj，.6

In-HE=0.i，

設(shè)，:=(工；x)為平面產(chǎn)EH的法向量則___即；

\n-HP=0;|z=0

因此可以取K—(1,*S))＞由尸-d=(L0：—1),

可得卜。S(衣，：)卜日，所以直線尸a與平面PEE所成角的正弦

4.[2010新課標(biāo)全國(guó)文，18]如圖，已知四棱錐尸-48CD的底面為等

腰梯形，力8〃CD,NC_L8D,垂足為〃，。”是四棱錐的高。

(I)證明：平面尸NC_L平面。8。;

(II)若Z8=C,N4PB=N/OB=60°,求四棱錐尸—48CD的體積。》

：1)因?yàn)?H是四棱錐P-A3CO的高.

所以AC_?耳又AC_3D:?H:3D都在平?HD內(nèi):且?H^BD=H.

所以RC一平面？3D.故平面?AC平面?3D....6分

因?yàn)锳3CD為等腰梯形，A5二CD：RC_31A3=興

所以HA=HB=4因?yàn)镹A?3=NADR=6＞,所以？A=?m=、/^HD=HC=l.

可得？三=拒.等腰梯形ABCD的面積為S=ACx3D=2-#.....9分

所以四棱錐的體積為＜=!x(2-V3)x6=3-速…1;分

二J

5.[2012新課標(biāo)全國(guó)理】(本小題滿分12分)

如圖，直三棱柱NBC—N￡G中，AC=BC=-AAt,產(chǎn)

。是棱44的中點(diǎn)，DC,IBD

(1)證明：DC.1BC

(2)求二面角4—6O—G的大小。

答案：(1)詳見(jiàn)解析(1)30：

解析：⑴在中,AD=AC

得：Z.WC=45;

同理：ZJQG=4-==一CDC：=90!

得：DQ_DC,DC._5。=DC［一面BCD=DC,_BC

(2)/_BCCG_3C=BC_面ACC.LA=>BC_AC

取一士5：的中點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。作的于點(diǎn)H,連接GOGH

,1G=BC-=>C,0—一±8：,面-±&G-面A,BD=C-,0-面-&FZ)

OH_BDnC*_BD得：點(diǎn)歸與點(diǎn)Z)重合

且二GZ)。是二面角A..-BD-C,的平面角

設(shè)XC=a,則C0=￡,C.D=72s=200=>^CDO=30：

既二面角4-BD-C；的大小為30'

考點(diǎn)定位：本大題主要以直三棱柱為幾何背景考查線線垂直的判定和二面角的求法，可

以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解.突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.

6.[2012新課標(biāo)全國(guó)文】(本小題滿分12分)4

如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ZACB=90°,AC=BC=|AAI，D是棱AAI1/;

的中點(diǎn)N

(I)證明：平面BDC」平面BDCD

(II)平面BDCi分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比。’

解析：(1)由題設(shè)知8C_CG，BC-AC,cc-AC=c,

所以sc一平面ACg±又DC;平面acc：d,所以u(píng)q_sq

由題設(shè)知乙±Z)G=z.WC=45:,所以工CDC1=90：,即DC.-DC,又

DC-3C=C，所以Z)G一平面BDC,又。qu平面BDC：,故平面BZ>G一平面5DC

(二)設(shè)棱錐B—AWCC的體積為q,ac=i.由題意得G=1—xi>-i=A

———

又三棱柱.i3C-aw：G的體積廠=1,所以(廠-Q：i；=i：i

故平面3DC；分此棱柱所得兩部分體積的比為11

考點(diǎn)定位：本大題主要以直三棱柱為幾何背景考查面面垂直的判定和體積的求法.突出考查

空間想冢能力和計(jì)算能力.

【命題意圖猜想】

1.縱觀2011年和2010年高考對(duì)本熱點(diǎn)的考查，均以四棱錐為背景，并且建立空間直角坐標(biāo)

系較為容易，在第一問(wèn)中均考查線線垂直的證明，這種位置關(guān)系的證明已經(jīng)連續(xù)三年進(jìn)行了

考查.理科考查了線面角和二面角，這兩種角的考查有隔年考查的規(guī)律.兩年的文科試題考查

了體積問(wèn)題.在2012年以三棱柱為背景，考查垂直關(guān)系的證明和二面角的求解，文科考查了

面面垂直的證明和幾何體的體積求解.猜想2013年很可能以棱錐或者球相關(guān)的組合體為背景,

在建坐標(biāo)系上不會(huì)太直觀，考查線面平行位置關(guān)系，理科第二問(wèn)可能給出某個(gè)角，考查點(diǎn)的

位置或設(shè)置一問(wèn)探索性問(wèn)題，而文科第二問(wèn)仍以求體積或表面積為主.

2.從近幾年的高考試題來(lái)看，直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定是高考的

熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度為中等偏低；主要考查線面平行的判定，

考查線〃線w線〃面:面〃面的轉(zhuǎn)化思想，并且考查學(xué)生的空間想象能力以及邏輯推理能力.預(yù)

測(cè)2013年仍將以線面平行的判定為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能

力.

3.從近幾年的高考試題來(lái)看，線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角(理)等是

高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題又有解答題，難度中等偏高，客觀題主要考查線面垂

直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時(shí)

還考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.預(yù)測(cè)2013年高

考仍將以線面垂直、面面垂直、線面角為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力以及邏

輯推理能力.

4.從近幾年的理科高考試題來(lái)看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱

點(diǎn)，題型主要為解答題，難度屬于中等，主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的平行與垂直

的充要條件，如何用向量法解決空間角問(wèn)題等，同時(shí)注重考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能

力.預(yù)測(cè)2013年高考仍將以用向量證明平行與垂直，以及利用向量求空間角為主要考點(diǎn)，重

點(diǎn)考查向量的數(shù)量積及學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力等.

【最新考綱解讀】

1.點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

(1)理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.

(2)以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)

識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.

(3)能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.

2.空間向量及其運(yùn)算(理)

(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其

坐標(biāo)表示.

(2)掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.

(3)掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

(4)理解直線的方向向量與平面的法向量定義.

(5)能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.

(6)能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理).

(7)能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，了解向量方

法在研究幾何問(wèn)題中的作用.

【回歸課本整合】

1.直線與平面平行的判定和性質(zhì)

(1)判定：①判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的?條直線平行，那么這條直線

和這個(gè)平面平行；

②面面平行的性質(zhì)：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線與另一個(gè)平面平行.

(2)性質(zhì)：如果一條直線和一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么

這條直線和交線平行.

注意：在遇到線面平行時(shí)，常需作出過(guò)已知直線且與己知平面相交的輔助平面，以便運(yùn)用線

面平行的性質(zhì).

2.直線和平面垂直的判定和性質(zhì)

(1)判定：①如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個(gè)平面

垂直.②兩條平行線中有一條直線和一個(gè)平面垂直，那么另一條直線也和這個(gè)平面垂直.

(2)性質(zhì)：①如果?條直線和一個(gè)平面垂直，那么這條直線和這個(gè)平面內(nèi)所有直線都垂直.②

如果兩條直線都垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.

3.平面與平面平行

(1)判定：一個(gè)如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.

注意：這里必須清晰“相交”這個(gè)條件.如果兩個(gè)平面平行，那么在其中?個(gè)平面內(nèi)的所有直

線與另一個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)，即這些直線都平行于另一個(gè)平面.

(2)性質(zhì)：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行.

注意：這個(gè)定理給出了判斷兩條直線平行的方法，注意一定是第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相

交，其交線平行.

4.兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)

(1)判定：①判定定理：如果個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂

直.

②定義法：印證兩個(gè)相交平面所成的二面角為直二面角；

注意：在證明兩個(gè)平面垂直時(shí)，一般先從已知有的直線中尋找平面的垂線，若不存在這樣的

直線，則可以通過(guò)添加輔助線解決，而作輔助線應(yīng)有理論依據(jù)；如果已知面面垂直，一般先

用面面垂直的性質(zhì)定理，即在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂直，使之轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步

轉(zhuǎn)化為線線垂直.

(2)性質(zhì)：①如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平

面.

②兩個(gè)平面垂直，則經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).

注意：性質(zhì)定理中成立有兩個(gè)條件：-是線在平面內(nèi)，二是線垂直于交線，才能有線面垂直.

⑶立體幾何中平行、垂直關(guān)系的證明的基本思路是利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化，即：

線〃線＜——＞線〃面＜——＞面〃面

判定＞線，線《—＞線_1面＜—＞面,面』^

線〃線＜一＞線1.面＜一＞面〃面

5.（S）直線與平面所成的角

（1）定義：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個(gè)平面所成的

角。當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，就說(shuō)直線和平面所稱的角為直角；當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)

時(shí)，就說(shuō)直線和平面所稱的角為0°角.

（2）范圍：［0°,90°］；

（3）求法：作出直線在平面上的射影，關(guān)鍵是找到異于斜足的一點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，可根據(jù)

面面垂直的性質(zhì)定理來(lái)確定垂線。

（4）最小角定理：斜線與平面中所有直線所成角中最小的角是斜線與平面所成的角。

6.（8）二面角

（1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二

面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通過(guò)其平面角來(lái)度量的平面角，而二

面角的平面角的三要素：①頂點(diǎn)在棱上；②角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi)；③角的兩邊與棱

都垂直。

（2）作平面角的主要方法：①定義法：直接在二面角的棱上取一點(diǎn)（特殊點(diǎn)），分別在兩個(gè)

半平面內(nèi)作棱的垂線，得出平面角，用定義法時(shí)，要認(rèn)真觀察圖形的特性；②三垂線法：過(guò)

其中一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另個(gè)面的垂線，用三垂線定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面

法：過(guò)一點(diǎn)作棱的垂面，則垂面與兩個(gè)半平面的交線所成的角即為平面角；

（3）二面角的范圍：［0,萬(wàn)］;

7（理）利用向量處理平行問(wèn)題

（1）證明線線平行，找出兩條直線的方向向量，證明方向向量共線；

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面內(nèi)的某一向量是共線（平行）；②

證明直線的方向向量與平面的兩個(gè)不共線向量是共線向量，即利用共面向量定理進(jìn)行證明；

③證明直線的方向向量與該平面的法向量垂直.

（3）平面與平面平行的證明方法：證明兩個(gè)平面的法向量平行.

8（理）利用向量處理垂直問(wèn)題

（1）證明線線垂直，可證明兩條線的方向向量的數(shù)量積為0；

（2）證明線面垂直方法：①根據(jù)線面垂直的判定定理利用向量證明直線與平面內(nèi)的兩條相交

直線垂直；②轉(zhuǎn)化為證明直線的方向向量與平面的法向量共線.

（3）證明面面垂直的方法：①根據(jù)面面垂直的判定定理利用向量證明一個(gè)平面內(nèi)的?條直線

方向向量為另一個(gè)平面的法向量；②證明一個(gè)平面的法向量與另一人平面平行；③轉(zhuǎn)化為證

明這兩個(gè)平面的法向量互相垂直.

9.（理）利用向量處理角度問(wèn)題

1.求異面直線所成的角的向量法：其基本步驟是（1）在a、b上分別取彳瓦而；或者建立空

間直角坐標(biāo)系用坐標(biāo)表示彳瓦麗;（2）由公式cos。=1型電I確定異面直線a與6所成

\AB\-\CD\

角。的大小。

2.求直線和平面所成的角的向量法：在斜線上取一方向向量并求出平面a的個(gè)法向量

n，若設(shè)斜線和平面所成的角為仇由sin6=cos<a,〃>=lrr———I.

\a\-\n\

3.求二面角的向量法：方法（1）設(shè)3,而分別是平面民&的法向量，則向量［和記的夾角

與二面角&-/一夕的平面角相等或互補(bǔ).方法（2）二面角的棱/上確定兩個(gè)點(diǎn)力、B,過(guò)

4、8分別在平面a、〃內(nèi)求出與/垂直的向量*、元，則二面角a-/-尸的大小等于向量

\n{\-\n2\

【方法技巧提煉】

1.線線平行與垂直的證明

證明線線平行的方法：（1）平行公理；（2）線面平行的性質(zhì)定理；（3）面面平行的性質(zhì)定

理；（4）向量平行.要注意線面、面面平行的性質(zhì)定理的成立條件.證明線線垂直的方法：（1）

異面直線所成的角為直角；（2）線面垂直的性質(zhì)定理；（3）曲面垂直的性質(zhì)定理；（4）三垂

線定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意線面、面面垂直的性質(zhì)定理的成立條

件.解題過(guò)程中要特別體會(huì)平行關(guān)系性質(zhì)的傳遞性，垂直關(guān)系的多樣性.

2.線面平行與垂直的證明方法

線面平行與垂直位置關(guān)系的確定，也是高考考查的熱點(diǎn)，在小題中考查關(guān)系的確定，在解

答題考查證明細(xì)節(jié).

線面平行的證明方法：（1）線面平行的定義；（2）線面平行的判斷定理；（3）面面平行的性

質(zhì)定理；（4）向量法：證明這條直線的方向向量和這個(gè)平面內(nèi)的一個(gè)向量互相平行；證明這

個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互垂直.

線面平行的證明思考途徑：線線平行。線面平行=面面平行.

線面垂直的證明方法：（1）線面垂直的定義；（2）線面垂直的判斷定理；（3）面面垂直的

性質(zhì)定理；（4）向量法：證明這個(gè)直線的方向向量和這個(gè)平面的法向量相互平行.

線面垂直的證明思考途徑：線線垂直O(jiān)線面垂直O(jiān)面面垂直.

3.面面平行與垂直的證明

（1）面面平行的證明方法：①反證法:假設(shè)兩個(gè)平面不平行，則它們必相交，在導(dǎo)出矛盾；②

面面平行的判斷定理；③利用性質(zhì):垂直于同一一直線的兩個(gè)平面平行；平行于同一平面的兩個(gè)

平面平行；④向量法：證明兩個(gè)平面的法向量平行.

（2）面面垂直的證明方法：①定義法；②面面垂直的判斷定理；③向量法：證明兩個(gè)平面的

法向量垂直.

解題時(shí)要由已知相性質(zhì)，由求證想判定，即分析法和綜合法相結(jié)合尋找證明思路，關(guān)鍵

在于對(duì)題目中的條件的思考和分析，掌握做此類題的一般技巧和方法，以及如何巧妙進(jìn)行垂

直之間的轉(zhuǎn)化.

4.探索性問(wèn)題

探求某些點(diǎn)的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關(guān)系，是一類逆向思維的題目.一般可采

用兩個(gè)方法：一是先假設(shè)存在，再去推理，下結(jié)論；二是運(yùn)用推理證明計(jì)算得出結(jié)論，或先

利用條件特例得出結(jié)論，然后再根據(jù)條件給出證明或計(jì)算.

5.如何求線面角

（1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就

為線面角中的垂足的確定提供了捷徑。

（2）利用三棱錐的等體積，省去垂足

在構(gòu)成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關(guān)鍵。確定垂足，是常規(guī)方法?？墒侨绻?/p>

垂足位置不好確定，此忖可以利用求點(diǎn)面距常用方法一-等體積法。從而不用確定垂足的位置,

照樣可以求出線面角。因?yàn)榇咕€段的長(zhǎng)度實(shí)際就是點(diǎn)面距h!利用三棱錐的等體積，只需求出

h

h,然后利用sin。=進(jìn)行求解。

斜線段長(zhǎng)

（4）秒用公式，直接得到線面角

課本習(xí)題出現(xiàn)過(guò)這個(gè)公式：cos6=cosqcos%,如圖所示：

ZABC=6,ZABO=,NOBC=2.其中仇為直線AB與平面所成的線面角。這個(gè)公式在求

解一些選擇填空題時(shí)，可直接應(yīng)用。但是??定要注意三個(gè)角的位置，不能張冠李戴。

（5）萬(wàn)能方法，空間向量求解不用找角

設(shè)AB是平面a的斜線，B0是平面a的垂線，AB與平面a所成的角/胡0=9,向量彳方與

〃的夾角=則sin6=kos〃|=J。

H-w

6.如何求二面角

（1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計(jì)算.即先作（找）出表示

二面角大小的平面角，并證明這個(gè)角就是所求二面角的平面角，然后再計(jì)算這個(gè)角的大小.用

直接法求二面角的大小,其關(guān)鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角，可從以下

幾個(gè)方面著手:①利用三垂線定理（或三垂線定理的逆定理）確定平面角；②利用與二面角的棱

垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角；

S'

（2）射影面積法.利用射影面積公式cos。=—;此方法常用于無(wú)棱二面角大小的計(jì)算；對(duì)

S

于無(wú)棱二面角問(wèn)題還有一條途徑是設(shè)法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等。

法二：設(shè)后是二面角a-/一"的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向內(nèi)

\a

側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)（同等異補(bǔ)），

〃Yl

則二面角a-l-B的平面角a=arccos_12.

In{IIn21

7.如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

根據(jù)幾何體本身的幾何性質(zhì)，恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系最為關(guān)鍵，如果坐標(biāo)系引入的恰

當(dāng)，合理，即能夠容易確定點(diǎn)的坐標(biāo)，需要總結(jié)一些建系方法.常見(jiàn)建系方法：

（1）借助三條兩兩相交且垂直的棱為坐標(biāo)軸，如正方體，長(zhǎng)方體等規(guī)則幾何體，一般選擇三

條線為三個(gè)坐標(biāo)軸，如圖1、2；

（2）借助面面垂直的性質(zhì)定理建系，若題目中出現(xiàn)側(cè)面和底面垂線的條件，一般利用此條件

添加輔助線，確定z軸，如圖3；

（3）借助棱錐的高線建系等.對(duì)于正極錐，利用定點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，可確定z軸,

然后在底面確定互相垂直的直線分別為X,y軸.如圖4.

8.如何確定平面的法向量

（1）首先觀察是否與存在于面垂直的法向量，若有可直接確定，若不存在，轉(zhuǎn)化為待定系數(shù)

法；

（2）待定系數(shù)法：由于法向量沒(méi)有規(guī)定長(zhǎng)度，僅規(guī)定了方向，所以有?個(gè)自由度，于是可把

法向量的某個(gè)坐標(biāo)設(shè)為1,再求另兩個(gè)坐標(biāo)。由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平

—

面的兩條相交向量，設(shè)〃-=（x,y,z）,由＜na=0解方程組求得.

n-b-0

9.向量為謀求解立體幾何的探索性問(wèn)題

空間向量最合適于解決立體幾何中探索性問(wèn)題，它無(wú)需進(jìn)行復(fù)雜繁難的作圖、論證、推理,

只需通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行判斷，在解題過(guò)程中，往往把“是否存在”問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)

是否有解，是否有規(guī)定范圍的解”等，所以使問(wèn)題的解集更加簡(jiǎn)單、有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一

方法解題.

【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】

1.在推證線面平行時(shí)，一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

2.可以考慮向量的工具性作用，能用向量解決的盡可能應(yīng)用向量解決，可使問(wèn)題簡(jiǎn)化.

3.在解決直線與平面垂直的問(wèn)題過(guò)程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理

的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.

4.面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條垂線，通常是

先找這個(gè)平面的一個(gè)垂面，在這個(gè)垂面中，作交線的垂線即可.

5.用向量知識(shí)證明立體幾何問(wèn)題，仍然離不開(kāi)立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需

要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的條直線平行，即化歸為證明線線平行，用向量方法證

直線?！╞,只需證明它們的方向向量滿足。=劫（26即即可.若用直線的方向向量與平面的法

向量垂直來(lái)證明線面平行，仍需強(qiáng)調(diào)直線在平面外.

6.利用向量求角，一定要注意將向量夾角轉(zhuǎn)化為各空間角.因?yàn)橄蛄繆A角與各空間角的定義、

范圍不同.

【新題預(yù)測(cè)演練】第一部分理科

1.（廣州市2013屆高三3月畢業(yè)班綜合測(cè)試試題（一））如圖4,在三棱柱N8C-44G中,

△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

AA｝，平面/8C,D,E分別是C￡,48的中點(diǎn).

（1）求證：CE〃平面4/。；

（2）若〃為48上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)由與平面4/8所成最大角的正

切值為---時(shí)，

2

求平面與平面48C所成二面角（銳角）的余弦值.

解法一：

(D證明：延長(zhǎng)飛〃交HC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接BF.

CD//A4,,且CD=1,—;

。為一#的中點(diǎn).

?；E為的中點(diǎn)，

：.CE//BF.

,/BF;平面斗82),Ct

一

：.CE〃平面ABD.4分

(二)解：：曰4_平面一宓c,CEu平面一1SC,

/..14,-CE.5分

,.?△-EC是邊長(zhǎng)為:的等邊三角形，E是as的中點(diǎn)，

="—=咫.

/.CE_AB,CE

'：AB二平面.±43,L二平1面3a8,.131jj,=A,

/.CE一平面aas6分

，二EHC為CH與斗z面j1aB所成的角...........7分

?C上二71，

L"_CE_#

在RSCEN中，tz3njbHQ----------,

EHEH

???當(dāng)EH最短時(shí)，t￡n_EHC的值最大，則-EHC最大.........8分

:.當(dāng)EH_一&3時(shí),一EHC最大.此時(shí)，tan_EHC=—=—=-

EHEH

??EH=------.9分

VCE//BF,CE一平面3*5,

:.BF.平面aa310分

ABU平面4平,.iBU平面a.dB,

BF_AB<BF_AB.....................11分

；.一?￡§.：!?為平面X3Z＞與平面一1SC所成二面角（銳角）.........12分

在RtZiE郎中，BH=在爐-EH：=—,cosZ.1S.1=—=—.-13

51E35

分

平面a如與平面所成二面角（銳角）的余弦值為裂.......M分

解法二:

(1)證明：取$8的中點(diǎn)產(chǎn)，連接DF、EF

；E為的中點(diǎn)，

EF〃-il9且EF——W&.....................1分

,/CDH.li,且8=-.11,

1，-

：.EF//CD,EF=CD.....................2分

四邊形EEOC是平行四邊形.

.\CE//DF.....................3分

DFu平面一CRD,CE;平面a&D,

二CE〃平面..........4分

（2）解：?「JJ：_平面.BC,CEu平面.13C,

一瑪_CZ.5分

???△-RC.是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，E是H3的中點(diǎn),

小廠

CE-AB,CE=—.-LB=J3.

?；二平面WHB,A七二平面一毛18,一13c=A,

.,.CE一平面.*13..................6分

.■?^EHC為CH與平面J1a8所成的角...........7分

?Ct=7=9

在MSCEN中，tm_EHC===工，

EHEH

...當(dāng)EH最短時(shí)，tan_EM2的值最大，則一ENC最大..........8分

.?.當(dāng)EH_43時(shí)，-EHC最大此時(shí)，tan一EHC=—=

?EHEH

.'.EH=言...................9分

在MtAEHB中,BH=JZS：-EH：=

?：“赳EHBTx匕3一蛤，

.??里=里，即工

即一1S.11,

?'..11=4.10分

以a為原點(diǎn)，與ac垂直的直線為“軸，ac所在的直線為.1軸，.1土所在的直線為二

軸，建立空間直角坐標(biāo)系a-Xi-.

則a(o,0,0),二(Q0,4),B(y/3.1,0),D?2,2).

-￡1=(0,0,4),AB-L?4)，AD=(0,2,-二).

設(shè)平面.-LBD的法向量為n=|x,J,二|,

由n2150?n1A：D0,

得…4z=0

t2y-=

令j=1,則三=1,.v=#.

，平面-150的一個(gè)法向量為"=（611）.........12分

,li一平面.4C,...耳=（0,0,4）是平面.15C的一個(gè)法向量.

二平面35。與平面生所成二面角（銳角）的余弦值為手.......14分

2.【北京市海淀區(qū)2013年四月高三一?！?/p>

在四棱錐P-力8。＞中，P4J_平面N3CD,A43C是正

三角形，4c與8。的交點(diǎn)M恰好是ZC中點(diǎn)，又

PA=AB=4,/CD4=120°,點(diǎn)N在線段尸8上，且

PN=0.

（I）求證：BD1PC；

（H）求證：MN”平面PDC;

（III）求二面角N—PC—8的余弦值.

證明：⑴因?yàn)镾ABC是正三角形，一"是XC中點(diǎn),

所以5"_,即5D_AC............1分

又因?yàn)槠皆猅3CD，應(yīng)）U平面H50D,

PA-BD............2分

又PA"AC=A,所以3D-平面PAC............3分

又PC.=平面PAC,所以3D_PC...........4分（II）

在正三角形.450中，BSI=2y/3...........5分

在中，因?yàn)橐?為中點(diǎn)，DM-AC,所以4D=CD

Z.CDA=120s>所以DM=-，所以BM:.UP=3:1...........6分

在等腰直角三角形E13中，PJ=J3=4.產(chǎn)5=40，

所以5X:XP=3:1,BN:SP=BM：MD,所以MVPD...........8分

又一UV=平面FDC,PD二平面PDC,所以WX平面PDC..........9分

（Hi）因?yàn)閦B*Q=uac+NCaz）=903

所以￡D，分別以X瓦一犯a尸為丫軸，）軸，二軸建

立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

1F

所以0”工C（2二0）,0（0：￥,0）,P（0:0,4）

由（II）可知，

麗=（4,一及,0）為平面R4C的法向量............10分

定=（二］忑「4），麗=（4兒-4）

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為，:=（x.x.r）,

則I>7-一PC=0，即|2X+2-"7^V-4-=0，

［萬(wàn)?產(chǎn)5=0|4x-4r=0

令二=3,則平面PBC的一個(gè)法向量為n=（3/3）..........12分

設(shè)二面角a-PC-6的大小為6,^005g=--|—=j=—

叫|叫

所以二面角A-PC-B余弦值為父...........14分

3.【江西師大附中、鷹潭一中2013屆高三數(shù)學(xué)（理）四月聯(lián)考】

如圖，在正三棱柱48。一N￡G中，AA、=2AB,N是CQ的中點(diǎn)，兒f是線段4月上的動(dòng)

點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且/〃=/U6「

（1）若；1=1,求證:M?V_L441；

2

（2）若直線MN與平面ABN所成角的大小為6,求sin。的最大值.

解析：如圖建立空間直角系.則5n.i11,m,.5I1J10l..Vil,11.1（0,os2）-（1

分）

⑴當(dāng)/=:時(shí)J/d。1），此時(shí)毋=◎￡＜）；益=30二）,…（3分）

因?yàn)榫?石=0,所以............6分）

f卜”AB=0

㈡設(shè)平面A3、的法向量＞：=（-）,則；,,

k-JV=0

,x=0

即＞取，:=而

|亍.1-二=0

Z............（?分）

3￡\=（1-ZS^:1-2Z）.

分）

（11分）

當(dāng)且僅當(dāng)±1=二。，即時(shí)4，等號(hào)-成立..................................（1二分）

z45

4.【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯(lián)合模擬考試】（本小題滿分12分）

如圖，三棱柱49C—/181cl的側(cè)棱底面Z8C,//C8=90°,E是棱CG上動(dòng)點(diǎn),

產(chǎn)是48中點(diǎn)，AC=1,BC=2,441=4。

（1）當(dāng)E是棱CG中點(diǎn)時(shí)，求證：CA?〃平面/￡81；

（2）在棱CG上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A—EB,

—8的余弦值是必7,若存在，求CE的長(zhǎng)，若不存在,

17

請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：(1)證明：取33.的中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)三G,FG

■F、G分別是棱H3、.43.中點(diǎn)，

:.FGBB1；FG=\BB.

又???FG〃三0,￡C=-CG,5G=￡C

二?四邊形FGEC是平行四邊形，

CFEG...4

???。5;平面.==5.,EG二平面.一$.

：.CF平面AI3....6,

(2)解：以。為至標(biāo)原點(diǎn)，射線U￡C3,CC.為x;二軸正半軸，

建立加圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-甲二

則。(0,口，0),A(1,0>口)，3.(0?2.4)

設(shè)EQ0/?)(0W"[W4),平面延方:的法向量”：=J：

,?*/?：.;

UUULIL1U?：/

則一四=(一1二=4)J￡=[-LO.,”)；■，.X

___■?..

由.13,一正y

4-X+2X-+4J=0

付n

-x+r>TZ=0

=...S分

CA_平面C\CBB.

二5是平面三55.的法向量則平面三55一的法向量”：=曰=@0：0)……分

?.?二面角.J-S3-S的平面角余弦值為獨(dú)二，

17

2^/1^n,”、2w

貝II-----=cos<n-./r>=,\',

|?:||?:|/"38-4)：+4

解得w=l(0<w<4)

二在棱CC：上存在點(diǎn)E,符合題意，此時(shí)CE=1……12分

5.【2013年天津市濱海新區(qū)五所重點(diǎn)學(xué)校高三畢業(yè)班聯(lián)考](本題滿分13分)

如圖在四棱錐尸—/8CD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD1底面ABCD,

石

且尸/=尸。=設(shè)E、F分別為PC、8。的中點(diǎn).

2P

(I)求證：EF〃平面PND；

(II)求證：面尸Z8_L平面PDC；

(III)求二面角3-尸。一。的正切值.

法一：(I)證明：.13C。為平行四邊形

連結(jié)=F為中點(diǎn)，

￡為尸。中點(diǎn),在ACPA中EF//PA......................................2分

且PA~平面PAD,EF;平面P-iD

EF平面尸.也4分

(H)證明：因?yàn)槊鍾1D一面-18CD平面

PAD-面一BCD=AD

,18CZ)為正方形，CD_.iD,CDc平面

ABCD

所以CD一平面FAD/.

CDPA.............

............5分

PA=PD==AD,所以1PAD是等腰直角三角形,

又?

且,上d￡>=三WPA-PD...........................6分

?

CD^PD=D,且CD、?Z)三面.BCD

XT一面尸DC.....................7分

又XT二面尸a3面工15_面尸DC.............8分

(III)【解】：設(shè)PD的中點(diǎn)為〕/，連結(jié)E",J/F,

則EM_產(chǎn)￡>由(II)知EF一面PDC,

EF-PD,PD一面EKI,PDSIF,

HIF是二面角B-PD-C的平面角..........12分

1c11

義fAFZ〕/中，EF=-PA=—aEM=-CD=-a

2422

而。產(chǎn)分別為一捫那。的中點(diǎn),...OFAB,

又ABCD是正方形,依OF_AD.

a

?;PA=PD=—*>.-iD,.-.PA_PD,OP=OA=~、.

以O(shè)為原點(diǎn),直線OA;OF;OP為v：3：二軸建立空間直線坐標(biāo)系，

則有Fgfo）,“一：60）,「（0?令，5隼&0）,C（-￡&0）.

???E為產(chǎn)C的中點(diǎn)，...................3分

（I）證明:易知平面E-的法向量為存=電（0）而喬=（10「》

且赤石=（0三0）.（：4一*=0,；.EF〃平面上紅）..............6分

（H）證明：*..可=（，0「令，而=（040）.".PJCD=（^:0:-^）-（05as0）=0,

...再一詬，從而PA_CD,又PA_PD,PDYD=D,

,Rd_平面如C,而2!二平面RTB,

二平面PJB一平面產(chǎn)DC................9分

（III）【解臬由（H）知平面尸。C的法向量為可=（：0「3）.

設(shè)平面PBD的法向量為匕=（x,i\二）.：DP=（三:0；4）=BD=（-q&0）,

——_——-X-O'V——'Z=0

.,.由",>DP=0：〃，BD=0可得，22，令x=l,則j=l：z=-l

,