計算凝聚態(tài)物理

計算凝聚態(tài)物理第一頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型Molecularsystems:Inmostcasestheinteractionpartcanbeapproximatedbypairinteractions:OnefamousexampleistheLennard-Jonespotential第二頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型Averyimportantquantityinstatisticalmechanicsisthepaircorrelationfunctiong(r,r0

),definedaswhereItmayalsobewrittenas第三頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型Forahomogeneoussystemthepaircorrelationfunctiondependsonlyonthedistancebetweenrandr0

.Inthiscasewedenoteitasg(r).Theg(r,r0

)isproportionaltotheprobabilitythatgivenaparticleatpointrandfindanotherparticleatpointr0

.Atlargedistanceg(r)tendsto1,wemaydefinethetotalcorrelationfunctionTheFouriertransformoftheabovefunctiongivesthestaticstructurefunction(orstructurefactor)第四頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型ThestructurefunctionisdefinedasthecorrelationfunctionofFouriercomponentofdensityfluctuations[

Thedensityisdefinedas:,andthedensityfluctuationis:,anditsFouriercomponentis:

]第五頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型當(dāng)體積趨于無限時,紅顏色的部分可以略去.第六頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型Thestructurefactorcanbemeasureddirectlybyscatteringexperimentsandcanalsobecalculatedbysimulations.Manyphysicalquantitiescanbeexpressedintermsofthepaircorrelationfunctions,forexampletheenergyinNVTensembleisThepressureis第七頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型ThecompressibilityThisexpressioncanbederivedfromthefluctuationsofparticlenumbersSinceso第八頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型Ontheotherhand,itcanbeprovedthatWehavethefinalresult.Thetimecorrelationfunctionisthecorrelationsoftwophysicalquantitiesatdifferenttimes,Forsystemsatequilibriumthetimecorrelationfunctionisafunctionofthetimedifferenceonlyandcanbewrittenas第九頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型ThevelocityautocorrelationfunctionoftheithparticleisThiscanbederivedfromthedefinitionrelation(wewillbacktothispoint)Whichisrelatedtothediffusionconstantoftheparticle.whichholdsforlarget.第十頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型Ingeneral,transportcoefficientisdefinedintermsoftheresponseofasystemtoaperturbation.whereisthetransportcoefficient,andAisaphysicalvariableappearingintheperturbationHamiltonian.ThereisalsoanEinsteinrelationassociatedwiththiskindofexpressionwhichholdsforlarget,(tà

,whereistherelaxationtimeof).第十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子模型TheshearviscosityisgivenbyorHereThenegativeofPisoftencalledstresstensor.第十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺MonteCarlo模擬MonteCarlosimulationofParticleSystems粒子系統(tǒng)的MonteCarlo模擬和自旋系統(tǒng)原則上是一樣的。Metropolis算法為：1，隨機或順序選取一個粒子，其位置矢量為，對此粒子做移動2，計算前后的能量差，決定是否接受移動。3，在達到平衡后，收集數(shù)據(jù)，計算物理量。第十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬MoleculardynamicssimulationsMDmethodisessentiallytheintegrationoftheequationofmotionoftheclassicalmany-particlesysteminaperiodoftime.Thetrajectoriesofthesysteminthephasespacearethusobtainedandaveragesofthetrajectoriesgivevariousphysicalproperties.SinceweworkonrealdynamicsinMDsimulationswecanalsostudythedynamicpropertiesofthesystemsuchasrelaxationtoequilibrium,transportetc.第十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬ConsiderarectangularvolumeofL1￡L2￡L3,withNclassicalparticlesputin.Theparticlesareinteractwitheachother.Inprinciple,theinteractionincludepairinteractions,threebodyinteractionsaswellasmanybodyinteractions.Forsimplicitywewillconsiderhereonlypairinteractions.Inthiscaseeachparticlefeelaforcebyallotherparticlesandwefurtherassumetheforceisdependonlyondistancesfromotherparticlesandforeachpairtheforcedirectedalongthelinejointhepairofparticles.Sotheforceontheithparticleiswhereisanunitvectoralongrj-ri.第十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Periodicboundarycondition(PBC)whereL

arevectorsalongtheedgesoftherectangularsystemvolumeandthesumoverniswithallintegersn.Usuallythissumisthemosttimeconsumingpartinasimulation.第十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬GeneralprocedureofMD(NVEensemble)1.Initialize;2.Startsimulationandletthesystemreachequilibrium;3.Continuesimulationandstoreresults.第十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Initialize:

1,Specifythenumberofparticlesandinteraction;2,Setupthesimulationbox;3,Specifythetotalenergyofthesystem;4,Assignpositionandmomentaofeachparticle.

a,InmanycasesweassignparticlesinaFCClattice,IfweusecubicunitcellandcubeBOXthenthenumberofparticlesperunitcellis4,andthetotalnumberofparticlesarea4M3,M=1,2,3,.ThatiswemaysimulationsystemswithtotalnumberofparticlesN=108,256,500,864,.b,ThevelocitiesofparticlesaredrawfromaMaxwelldistributionwiththespecifiedtemperature.ThisisaccomplishedbydrawingthethreecomponentsofthevelocityfromtheGaussiandistribution.第十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Thedistributionofthex-componentofvelocityisDrawnumbersfromaGaussian:Consider:Thenwherev2=vx2+vy2and第十九頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Sothedistributionofvxandvymaybeobtainedfromvand.Thedistributionofv:Thedistributionofisuniformintheinterval[0,2].第二十頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬GeneraterandomnumbersforagivendistributionForagivendistributionP(y)weconsiderhowtogetarandomnumberydrawfromP(y)fromarandomnumberxdrawfromuniform[0,1],i.e.,wearegoingtofindafunctionf(x),fromwhichforaseriesofrandomnumbersxdistributeduniformlyintheinterval[0,1],y=f(x)willdistributedaccordingtoP(y).第二十一頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬thenSinceExponentialdistribution第二十二頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Thedistributionofv:第二十三頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Drawrandomnumbersuniformlydistributedintheinterval[0,2].AnothermethodofdrawrandomnumbersintheGaussiandistributionisthroughthefollowingempiricalmethods.Considerthedistribution第二十四頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Accordingtothecentrallimittheorem,ifwedrawuniformrandomnumbersriininterval[0,1],anddefineavariablewhenn!

1thedistributionofistheGaussiandistributionIfwetaken=12,weget第二十五頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Afterthegenerationofthevelocityofeachparticle,wemayshiftthevelocitysothatthetotalmomentumiszero.ThestandardVerletalgorithmisthefirstsuccessfulmethodinhistoryandstillwideusedtodayindifferentforms.ItisTostarttheintegrationweneedr(h),givenby第二十六頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬VariationsofthismethodareAndBothofthesevariationsaremathematicallyequivalenttotheoriginalonebutmorestableunderfiniteprecisionarithmetic.第二十七頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Thetemperatureofthesystemisgivenbytheequalpartitiontheorem,thatistheaverageofkineticenergyofeachdegreeoffreedomishalfkBT,TheN-1isduetotheconservationofthetotalmomentumwhichreducethedegreeoffreedomby3.Toreachthedesiredtemperaturewemayscalethevelocityateveryfewstepsofintegration第二十八頁，共三十二頁，2022年，8月28日2003-10-21上海交通大學(xué)理論物理研究所馬紅孺分子動力學(xué)模擬Afterthesystemreachtoequilibriumtheintegrationcontinueinthesamemethodasabovewithoutscalingofvelocity.Thedataarestoredoraccumulatedforthecalculatingphysicalproperties.ThestaticpropertiesofphysicalquantityAisgivenbytimeaverage第二十九頁，共三十二頁，20