概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)剖析

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》課程論文淺談概率論的思想發(fā)展及應(yīng)用能源科學(xué)與工程學(xué)院于曉瀅1130240415哈爾濱工業(yè)大學(xué)摘要概率論是一門歷史悠久的學(xué)科，關(guān)于它的起源眾說紛紜，不過大家都承認(rèn)的是，概率論是研究偶然、隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)理論,它擁有著自己獨(dú)立的研究問題和有代表性的思想方法，并在現(xiàn)代生活的多個(gè)方面發(fā)揮著作用，擁有著不可替代的地位。本文將總結(jié)概率論中所應(yīng)用的幾種典型思想方法及演變，并陳述概率論在當(dāng)代生活中的幾種必要應(yīng)用，讓我們對(duì)這一學(xué)科有一個(gè)更深刻的了解。目錄TOC\o"1-3"\h\u14966摘要 I31295第1章概率論的誕生 1144691.1前言 1299701.2誕生與發(fā)展 128163第2章概率論的思想 2310642.1古典概型思想 2120452.2幾何概型思想 262082.3分析概率論 2187932.4分析研究的深入 332212.5公理化思想 310312第3章概率論思想的應(yīng)用 4107483.1前言 4228263.2與數(shù)學(xué)建模思想的融合 4221953.3臨床診斷的應(yīng)用 512903.4不等式的證明 527805結(jié)論 726575參考文獻(xiàn) 8第1章概率論的誕生1.1前言英國(guó)數(shù)學(xué)家格雷舍(Glaisber,1848一1928)曾經(jīng)說過:“任何企圖將一種科目和它的歷史割裂開來,我確信,沒有哪一種科目比數(shù)學(xué)的損失更大?！泵恳环N理論的產(chǎn)生都有其歷史背景與歷史淵源，了解概率論的產(chǎn)生的歷史背景，有助于了解對(duì)該學(xué)科研究對(duì)象、研究方法的深入理解，有利于總結(jié)成功和失敗的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，為后人的研究奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，方便對(duì)這一學(xué)科做出更大的貢獻(xiàn)。1.2誕生與發(fā)展人們對(duì)偶然現(xiàn)象的規(guī)律性探求，經(jīng)歷了很長(zhǎng)的時(shí)期，但因受到生產(chǎn)力水平和科技水平的限制，研究很難繼續(xù)進(jìn)行下去，速度緩慢，以至人們一直認(rèn)為偶然現(xiàn)象的規(guī)律性是“神秘且難以捉摸”的，直到唯物辯證法產(chǎn)生,人們才開始從研究偶然性與必然性這一對(duì)矛盾的對(duì)立統(tǒng)一中加深了認(rèn)識(shí)。在文藝復(fù)興時(shí)期，工業(yè)革命逐步蔓延，隨著工業(yè)、航海等事業(yè)的不斷發(fā)展，各類問題隨之出現(xiàn)，急需一門分析研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科，這時(shí)概率論應(yīng)時(shí)應(yīng)景地出現(xiàn)了。對(duì)于起源，很多人說是源于賭博其實(shí)這并不全面，以研究賭博問題著稱的惠更斯在他1657年出版的《論賭博中的計(jì)算》集子中有一段很深刻的話:“在任何場(chǎng)合我認(rèn)為如果讀者仔細(xì)研究對(duì)象,當(dāng)可注意到你所處理的不只是賭博而已,其中實(shí)際上包含著很有趣很深刻的理論的基礎(chǔ)?！睆氖呤兰o(jì)開始到現(xiàn)在，概率論一步步地發(fā)展：有貝努利在大數(shù)定律的證明及對(duì)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的研究；德莫哇佛爾在正態(tài)分布概型和中心極限定理方面的貢獻(xiàn)；法國(guó)博物學(xué)家蒲豐對(duì)于探討概率的統(tǒng)計(jì)定義和概率的幾何定義所作出的貢獻(xiàn)。雖然期間也存在著許多波折，但在如切比雪夫，馬爾科夫，李雅普諾夫等多名優(yōu)秀科學(xué)家所做的不懈研究中，概率論朝著越來越好的方向發(fā)展，直至目前，作為數(shù)學(xué)的分支,概率論的高度抽象性、廣泛應(yīng)用性、嚴(yán)謹(jǐn)性的特點(diǎn)愈來愈明顯地顯示出來，并在不同方面、不同領(lǐng)域得以廣泛應(yīng)用為人們的生產(chǎn)生活做出了巨大貢獻(xiàn)。第2章概率論的思想2.1古典概型思想從賭博問題開始討論的初級(jí)概率論，主要是研究有限個(gè)基本事件且每個(gè)事件出現(xiàn)的概率相等，但是通?？紤]的是一個(gè)事件反復(fù)出現(xiàn)的情況，當(dāng)N非常大的時(shí)候并不便于計(jì)算，不過大家發(fā)現(xiàn)大量重復(fù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，某一事件出現(xiàn)的頻率趨近于某一固定值，體現(xiàn)了“大數(shù)定律”的思想，該種思想由貝努利證明。繼貝努利后，棣莫弗也有了重大貢獻(xiàn)，如定義了獨(dú)立事件的乘法定理，給出了二項(xiàng)分布，斯特林公式等等。2.2幾何概型思想現(xiàn)實(shí)生活中人們必須把等可能思想應(yīng)用到含無窮多個(gè)事件的情況，就產(chǎn)生了幾何概率。其中較著名的就是“蒲豐投針試驗(yàn)”。關(guān)于這個(gè)問題不得不提到的就是“貝葉斯定理”假定A1，A2，...，Ak是兩兩不相容事件，且對(duì)一切i有P(Ai)>0，則對(duì)任意事件B，有:此時(shí)P(Ai)叫做先驗(yàn)概率，而P(Ai|B)是后驗(yàn)概率。他的方法是，在計(jì)算一個(gè)事件的概率時(shí)，使用了人們對(duì)這個(gè)事件概率的一個(gè)估計(jì)，即先驗(yàn)概率。2.3分析概率論自牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分以來,18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家對(duì)這一領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特征的數(shù)學(xué)領(lǐng)域?？梢哉f分析是統(tǒng)治18世紀(jì)數(shù)學(xué)的特殊領(lǐng)域。在這其中，最有代表性的拉普拉斯，他極大地發(fā)展了概率論,在研究概率論時(shí)他運(yùn)用了微分方程,特征函數(shù)，積分等分析工具。1812年拉普拉斯出版了他的《概率的分析理論》，開創(chuàng)了概率論發(fā)展的新階段,實(shí)現(xiàn)了概率論研究由組合技巧向分析方法的過渡?！陡怕实姆治隼碚摗访鞔_地給出了概率的古典定義(事件的概率等于有利于事件的結(jié)果數(shù)與所有可能的結(jié)果數(shù)之比);獨(dú)立事件的加法、乘法法則，推廣了伯努利在大數(shù)定律方面的工作,導(dǎo)出了二項(xiàng)分布漸近于正態(tài)分布的中心極限定理。2.4分析研究的深入法國(guó)的數(shù)學(xué)家,尤其是拉普拉斯和泊松,他們對(duì)概率論的研究很快被人們了解,而且在俄國(guó)取得了進(jìn)一步的發(fā)展。保險(xiǎn)業(yè),人口統(tǒng)計(jì),對(duì)觀測(cè)的數(shù)學(xué)處理以及數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)在邏輯的需要,這些都促進(jìn)了概率論在俄國(guó)的發(fā)展。從雅各布·伯努利到切比雪夫以及馬爾可夫等數(shù)學(xué)家,他們對(duì)大數(shù)定律的研究實(shí)質(zhì)上是對(duì)大數(shù)定律條件的推廣,即擴(kuò)大了滿足大數(shù)定律的隨機(jī)變量序列的范圍,其科學(xué)價(jià)值在于發(fā)現(xiàn)了大數(shù)定律的一般條件,而這揭示了平均值的統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定性,即隨機(jī)的規(guī)律性。2.5公理化思想最早對(duì)概率論進(jìn)行公理化嘗試的是俄國(guó)數(shù)學(xué)家伯恩斯坦和奧地利數(shù)學(xué)家米澤斯。1927年伯恩斯坦發(fā)表了一篇“論概率論的公理化基礎(chǔ)”的文章，同年的《概率論》第一版出版。該書給出了一個(gè)詳細(xì)的概率論公理體系。伯恩斯坦在這里引進(jìn)了三個(gè)公理:（1）概率的可比較性公理（2）不相容事件公理(3)事件組合公理，他們構(gòu)造了概率論的整個(gè)大廈。從20世紀(jì)20年代開始，通過對(duì)概率論基本概念—事件與概率的仔細(xì)分析，人們發(fā)現(xiàn)事件的運(yùn)算與集合的運(yùn)算完全類似概率與測(cè)度有相同的性質(zhì)。在這其中成就最卓越的是原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫戈洛夫，他通過函數(shù)論的方法和概念，建立大數(shù)定律的充分必要條件。法國(guó)數(shù)學(xué)家萊維(1886-1971)，原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家辛欽，日本數(shù)學(xué)家伊藤清(1915-)等又在公理化基礎(chǔ)上取得了一系列理論突破。如，萊維從樣本函數(shù)角度研究隨機(jī)過程的思想，辛欽證明了重對(duì)數(shù)律，20世紀(jì)40年代伊藤清率先對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)引進(jìn)隨機(jī)積分由此建立了概率論的一個(gè)新分支—隨機(jī)分析學(xué)。簡(jiǎn)言之，公理化就是將概率概念從具體頻率解釋抽象出來，然后再?gòu)墓砘到y(tǒng)回到現(xiàn)實(shí)世界之中。這樣，概率論的應(yīng)用范圍大大拓寬了。第3章概率論思想的應(yīng)用3.1前言概率論現(xiàn)在是一門應(yīng)用相當(dāng)廣泛的學(xué)科，其思想方法滲透到自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等多個(gè)方面，因?yàn)樗鼘儆跀?shù)學(xué)的一門重要分支，所以與數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系相當(dāng)緊密，所以接下來將簡(jiǎn)單介紹概率論在醫(yī)學(xué)，不等式證明，數(shù)學(xué)公式及定理的推導(dǎo)中的妙用。3.2與數(shù)學(xué)建模思想的融合數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來的一個(gè)或一組數(shù)學(xué)表達(dá)式，以及圖表、圖像、圖示等，描述現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)特征及其內(nèi)在聯(lián)系的一種抽象工具其中包括問題的簡(jiǎn)化與假設(shè)，模型的建立與求解，模型的分析與評(píng)價(jià)及模型的檢驗(yàn)與應(yīng)用。而在現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)踐中，模型的應(yīng)用無處不在，而這些模型中有很多是概率模型，可以說，概率模型是來源于實(shí)踐又最快地應(yīng)用于實(shí)踐。概率論的出現(xiàn)主要與賭資分配有關(guān)，舉一個(gè)簡(jiǎn)單的情形:甲、乙兩個(gè)人賭博，投擲一枚均勻硬幣，猜正反面.兩人各拿出100元，共200元，約定誰(shuí)先勝3局，則甲贏得全部賭注200元.因?yàn)槟撤N原因，在賭完3局之后，賭局被中斷，此時(shí)甲2勝1負(fù)，問這200元賭資該如何分配，才算公平.這個(gè)問題可以在第一次課時(shí)留給大家思考，而在學(xué)完等可能概型及全概率公式之后，給出兩種計(jì)算方法.對(duì)于等可能概型，甲、乙兩人只要賭完5局，一定有人可以贏得賭資.已賭3局，后2局有4種可能結(jié)果，這些結(jié)果中甲贏的有3種，乙贏只有1種，所以賭注的公平分配應(yīng)按3:1的比例，即甲得150元，乙得50元.對(duì)于全概率公式，若甲、乙進(jìn)行第4局，甲勝和甲負(fù)構(gòu)成完備事件組，甲勝則贏得全部賭資，若負(fù)，甲在第5局勝的概率也為勝，所以甲贏得全部賭資的概率為，結(jié)果與使用等可能概型的方法一致.3.3臨床診斷的應(yīng)用問題：常用檢測(cè)手段用于人群普查時(shí)為什么失靈”對(duì)一些病人的診斷中，醫(yī)生根據(jù)病人的口述及表現(xiàn)，再加上臨床經(jīng)驗(yàn)，作出大體的判斷，再進(jìn)一步做化驗(yàn)或檢查，依據(jù)結(jié)果，就能做出較準(zhǔn)確的判斷。此時(shí)，化驗(yàn)或檢查的準(zhǔn)確率相當(dāng)高。但是在人群普查時(shí)，這些化驗(yàn)或檢查手段往往失靈”，增加患者心理負(fù)擔(dān)，也使人懷疑這些檢測(cè)手段是否可靠。事實(shí)上，由貝葉斯公式，這些問題都能得到圓滿解答。例：假如患肺結(jié)核的人通過胸透能被診斷出患肺結(jié)核病的概率是0.95，而沒有患肺結(jié)核的人通過胸透被誤診為患肺結(jié)核的概率是0.002。又設(shè)某人群患肺結(jié)核的概率是0.001,現(xiàn)在對(duì)該人群進(jìn)行普查，若有一人進(jìn)行胸透檢查被診斷為患肺結(jié)核，試問他確實(shí)患肺結(jié)核的概率是多少?解:設(shè)事件D表示事實(shí)上確患肺結(jié)核”，事件T表示駒透檢查診斷他患肺結(jié)核”。依題意可知:用全概率公式得：用貝葉斯公式得:通過實(shí)驗(yàn)表明，即使檢查手段的靈敏度和特異度都較高，檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確率也只有32%。其實(shí)，許多有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)師其實(shí)都是不自覺的概率統(tǒng)計(jì)學(xué)者。臨床醫(yī)學(xué)的特點(diǎn)決定了它與概率統(tǒng)計(jì)的關(guān)系。所以，如果一位青年醫(yī)務(wù)工作者或者醫(yī)學(xué)科學(xué)工作者能夠掌握概率統(tǒng)計(jì)的方法，并把它作為工具來分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果或臨床中遇到的一些問題，那么他一定可以在短時(shí)間內(nèi)成為較有經(jīng)驗(yàn)的醫(yī)師或醫(yī)學(xué)科學(xué)家。3.4不等式的證明證明不等式是初等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，如果能靈活運(yùn)用概率的概念、公式和性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造事件或者隨機(jī)變量，就可以證明一些不等式，達(dá)到意想不到的效果。下面舉一個(gè)實(shí)例來說明這個(gè)問題。利用概率論的思想方法證明等式、不等式等數(shù)學(xué)公式有一定的優(yōu)越性，其關(guān)鍵問題是根據(jù)式子的具體形式如何構(gòu)造出概率模型，再利用概率的有關(guān)概率分布、性質(zhì)、中心極限定律、大數(shù)定律等來解決問題，同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用概率論思想來證明問題時(shí)其方法的簡(jiǎn)捷、獨(dú)特，值得我們恰當(dāng)利用概率思想分析以前的數(shù)學(xué)問題，尋求解法創(chuàng)新，有助于加深對(duì)概率知識(shí)的理解和掌握。結(jié)論概率論是數(shù)學(xué)學(xué)科的一門重要分支，憑借獨(dú)特的思想性和廣泛的應(yīng)用性越來越受到人們的青睞，隨著科技的發(fā)展和社會(huì)的進(jìn)步，概率論不僅僅局限于數(shù)學(xué)方面的單一應(yīng)用，它的作用在更多的方面得到了發(fā)揮，如臨床診斷，統(tǒng)計(jì)學(xué)，大數(shù)據(jù)等，從數(shù)據(jù)中挖掘出更多值得利用的東西，更大的程度上給人們的生活帶來了更多方便。在日常教學(xué)中，概率論這門課一般在大學(xué)里開設(shè)，有了高等數(shù)學(xué)的工具，概率論的計(jì)算有了解決方法，而在這門課的學(xué)習(xí)中，最重要的是思想的理解與應(yīng)用，所以對(duì)于學(xué)生來說想學(xué)好這門課，重中之重是思想方法的掌握，這樣才算是找到進(jìn)入概率論的最好捷徑，切記不要單純地背公式，最后根本沒有掌握概率論的核心，最后只是徒勞；因此對(duì)于老師來說較重要的也是將教學(xué)重點(diǎn)放在思想的傳授，在課堂教學(xué)中較重要的是所用定理的證明的“推導(dǎo)”在推導(dǎo)中讓學(xué)生更好地領(lǐng)會(huì)所用的思想方法，這樣才能使學(xué)生更好地理解。參考文獻(xiàn)[1]徐國(guó)君.例談概率論方法之應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2010,02:23-25.[2]杜卓勛.概率論思想的發(fā)展歷程淺述[J].考試周刊,2011,63:64-65.[3]馬發(fā)強(qiáng),李建,郭曉敏.概率論中的數(shù)學(xué)分析思想[J].才智,2008,19:215.[4]張宏廣.概率論思想的妙用[J].承德民族師專學(xué)報(bào),2008,02:10-11.[5]余宏旺.概率論思想方法在代數(shù)中的應(yīng)用[J].安徽農(nóng)業(yè)技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2001,01:54-56.[6]阮丹,徐賜文.概率論方法證明數(shù)學(xué)公式的若干實(shí)例[J].中央民族大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013,S1:94-97.[7]侯嫚丹.數(shù)學(xué)建模思想融入概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的研究[J].高師理科學(xué)刊,2013,03:76-79.[8]張艷娥,孫建平,曹艷霞.臨床診斷中的概率思想[J