專題06對數(shù)函數(shù)（考點通關(guān)）（解析版）

專題06對數(shù)函數(shù)考點通關(guān)【題型解讀】【知識儲備】1．對數(shù)的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x＝logaN，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)對數(shù)的性質(zhì)①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推廣logab·logbc·logcd＝logad.3．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0(4)當x>1時，y>0當0<x<1時，y<0(5)當x>1時，y<0當0<x<1時，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)【題型精講】【題型一對數(shù)的運算】必備技巧解決對數(shù)運算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進行化簡．(2)將同底對數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．(4)利用常用對數(shù)中的lg2＋lg5＝1.例1（濟南市歷城·月考）計算：（1）_________．（2）_________．（3）_________．（4）__________．（5）__________．【答案】1【解析】（1）原式（2）原式（3）原式（4）原式（5）所以原式故答案為：1，，，，例2設(shè)，且，則（）A． B．10 C．20 D．100【答案】A【解析】由，可得，，由換底公式得，，所以，又因為，可得．故選：A.【題型精練】1．（浙江高一課時練習(xí)）化簡求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．【答案】（1）5（2）3（3）0（4）3（5）【解析】（1）．（2）.（3）.（4（5）．2.（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知，，則（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用對數(shù)的運算法則及性質(zhì)進行運算可得答案．【詳解】因為，，所以．故選：D.【題型二對數(shù)函數(shù)的圖象】必備技巧對數(shù)型函數(shù)的圖象問題對于有關(guān)對數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時應(yīng)注意分類討論．例3（2022四川高一開學(xué)考試）函數(shù)（，且）的圖象一定經(jīng)過的點是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，則，即函數(shù)圖象過定點．故選：B．例4（浙江高一課時練習(xí)）如圖所示，曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則相應(yīng)于c1、c2、c3、c4的a值依次為()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)【答案】A【解析】方法一觀察在(1，＋∞)上的圖象，先排c1、c2底的順序，底都大于1，當x＞1時圖象靠近x軸的底大，c1、c2對應(yīng)的a分別為eq\r(3)、eq\f(4,3).然后考慮c3、c4底的順序，底都小于1，當x＜1時圖象靠近x軸的底小，c3、c4對應(yīng)的a分別為eq\f(3,5)、eq\f(1,10).綜合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10).故選A.方法二作直線y＝1與四條曲線交于四點，由y＝logax＝1，得x＝a(即交點的橫坐標等于底數(shù))，所以橫坐標小的底數(shù)小，所以c1、c2、c3、c4對應(yīng)的a值分別為eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，故選A.例5函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的圖象與軸的交點是結(jié)合函數(shù)的平移變換得函數(shù)的圖象與軸的公共點是，即可求解.【詳解】由于函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)的圖象與軸的交點是，故函數(shù)的圖象與軸的交點是，即函數(shù)的圖象與軸的公共點是，顯然四個選項只有A選項滿足.故選：A.【題型精練】1.（廣東廣州·高一期末）已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由圖,當時,,當時,又冪函數(shù)為增函數(shù)且上凸,故.故.故選：A2.（2022鎮(zhèn)遠縣文德民族中高一月考）函數(shù)的圖象過定點（）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于函數(shù)，令，可得，則，因此，函數(shù)的圖象過定點.故選：C.【題型三對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)】必備技巧對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)(1)利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原則，比較大小還可以借助中間量．(2)求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題，要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷．例6已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，所以，所以．故選：D.例7（1）（上海高一課時練習(xí)）函數(shù)的值域為_________．（2）（重慶高一期末）已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮浚?）（2）【解析】（1）因為，所以，，因此，，故函數(shù)的值域為.故答案為：.（2）當時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，.例8（1）（新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二高一期末）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．（2）（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C．或 D．或（3）（運城市新康國際實驗高一開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】（1）D（2）C（3）A【解析】（1）對于函數(shù)，有，解得或，故函數(shù)的定義域為，內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)為減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D.（2）函數(shù)是由與復(fù)合而成，①當時，因為為減函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，結(jié)合的圖像可得，解得②當時，因為為增函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又因為此時，結(jié)合的圖像可知此時符合題意綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為或.故選：C（3）定義在上的函數(shù)滿足，所以為偶函數(shù)，當時，為增函數(shù)，由結(jié)合偶函數(shù)圖象的對稱性可知，兩邊平方并化簡得，解得.所以不等式的解集為.故選：A【題型精練】1．（安徽省亳州市第一高一月考）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】由可得，解得，函數(shù)是由和復(fù)合而成，又對稱軸為，開口向下，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為為減函數(shù)，所以的單調(diào)增區(qū)間為，因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為，故答案為：．2.（云南高一期末）若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知能取到所有大于0的實數(shù)，所以當時，，所以的值域為，滿足題意，當時，，即，解得，綜上可知3.已知函數(shù)，若，則（）A． B．C． D．以上選項均有可能【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象結(jié)合可得到a,b的取值范圍以及a,b之間的關(guān)系式，整理變形即可判斷出答案.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：由題意可知，，且由圖象可知，，所以即，所以，即，，即，故選：C【題型四對數(shù)函數(shù)綜合問題】必備技巧對數(shù)函數(shù)的綜合問題(1)有關(guān)對數(shù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域問題．(2)有關(guān)對數(shù)型函數(shù)對應(yīng)的不等式恒成立及能成立問題．(3)有關(guān)對數(shù)型函數(shù)對應(yīng)的方程有解問題．例9（濰坊高一期末）已知函數(shù)，當時，恒有．（1）求的表達式及定義域；（2）若方程有解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），定義域為：；（2）．【解析】（1）由得，所以①，因為當時，恒有，所以時，有，所以，所以，化簡得②，聯(lián)立①②，解得，所以，由得，解得或，所以的定義域為.（2）因為方程有解，所以有解，所以在內(nèi)有解，因為，因為，所以，所以，所以，所以，即【題型精練】1．（淄博高一期末）函數(shù)的定義域為，若，滿足，則稱為的不動點．已知函數(shù)．（1）試判斷不動點的個數(shù)，并給予證明；（2）若“”是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1），若，則，所以，，因為函數(shù)在是單調(diào)遞增的，，所以在內(nèi)存在唯一零點；若，則，所以，，解得；若，則，所以，；在是單調(diào)遞增的，，所以在內(nèi)有唯一零點；綜上所述，有3個不動點．（2）由（1）可知，當，若“”是真命題就是，使不等式成立等價于成立，即，不等式組成立，，解得，因為，保證，所以因為，，所以所以，解得：．所以實數(shù)的取值范圍是解法2：由（1）可知，當，若“”是真命題就是，使不等式成立等價于成立