高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

2009年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料一

1、題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一對集合的理解及集合思想應(yīng)用的問題

高考要求

集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基

本概念的認識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運用.本

節(jié)主要是幫助考生運用集合的觀點，不斷加深對集合概念、集合語言、集合

思想的理解與應(yīng)用.

重難點歸納：

i.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素

的三要素；對于用描述法給出的集合{x|xGP},要緊緊抓住豎線前面的代表元

素X以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀

地解決問題.

2,注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮

到空集的可能性，如AcB,則有主?；?#0兩種可能，此時應(yīng)分類討論

典型題例示范講解。

例1設(shè)A={(x,y)/一x—1=0},S={(x,y)\4x2+2x—2y+5=0},C={(x,y)\y=kx+h},

是否存在鼠&GN,使得(AUB)CIC=0,證明此結(jié)論.

命題意圖；本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從

集合符號上分辨出所考查的知識點，進而解決問題.

知識依托：解決此題的閃光點是將條件(Au8)nc=0轉(zhuǎn)化為Anc=0

且8rle=0,這樣難度就降低了.

錯解分析：此題難點在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不

能認清其實質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手.

技巧與方法：由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對

根的情況進行限制，可得到氏k的范圍，又因反AWN,進而可得值.

解：?.?(AU8)nc=0,;.Anc=0且8rle=0

.1/.k^j^+(2bk—\)x+h2—1=0

y=kx+b

VAAC=0

/.Ai=(2M-1)2-4J12(Z?2-l)<0

???4?—4尿+l〈0,此不等式有解,

其充要條件是16/?2-16>0,

即b2>\①

..4x2+2x-2y+5=0

?<

y=kx+h

???4犬2+（2-2攵）工+（5+22）=0

VBCIC=0,/./2=（1一%）2—4（5—23<0

后一2后+8。-19<0,從而8*20,

即b<2.5②

由①②及6GN,得b=2代入由41<0和z>2<0組成的不等式組，得

奴2_弘+1<0,

<

k2-2k-3<Q

...仁1,故存在自然數(shù)日力=2,使得(AUB)nC=0.

例2向50名學(xué)生調(diào)查對A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成4的

人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成4的多3人，其

余的不贊成；另外，對A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對4、8都贊成的學(xué)生數(shù)

的三分之一多1人.問對A、8都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩

圖法等，需要考生切實掌握,本題主要強化學(xué)生的這種能力，

知識依托：解答本題的閃光點是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖

直觀地表示出來.

錯解分析：本題難點在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯綜復(fù)雜，一時理不清頭

緒，不好找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.

解：贊成A的人數(shù)為50X9=30,贊成

5

B的人數(shù)為30+3=33,如上圖,記50名學(xué)生

組成的集合為U,贊成事件4的學(xué)生全體為

集合A；贊成事件8的學(xué)生全體為集合B.

設(shè)對事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,

則對A、8都不贊成的學(xué)生人數(shù)為±+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30—工

3

贊成B而不贊成A的人數(shù)為33一用

依題意(30—x)+(33—/)+/+(§+1)=50,解得R=2L

所以對A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.

例3已知集合A={(x,y)\x2+mx—y+2=0},B={(x,y)\x—)^-1=0,_@.0W/W2},

如果AA8W0,求實數(shù)〃z的取值范圍.

.x2+mx-y+2=0?

解：由《,得x~2+(y/n—l)x+l=O①

x-y+l=0(0<x<2)

'：AQB^0

方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個實數(shù)解.

首先，由/=(??—I)?—420,得〃?23或加W—1,當m\3時，由xi+'2=

一(m—1)<0及制》2=1>0知，方程①只有負根，不符合要求.

當mW—1時，由X1+X2=—("?-1)>0及X1X2=1>O知，方程①只有正根，

且必有一根在區(qū)間(0,I］內(nèi)，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［0,2］內(nèi),

故所求勿的取值范圍是戰(zhàn)一1.

學(xué)生鞏固練習(xí)：

1.集合M={Mr=m+?,kGZ},N={x|x=?+W462},則()

A.M=NB.MNVCA/SVD.MAN=0

2.已知集合A={x|—2WxW7},8={x|/n+lvx〈2/w—1}且BW0,若AU

B=A,則()

A.-3W/nW4B.-3<m<4C.2<m<4D,2</nW4

3,已知集合4="61<?一3x+2=0,adR},若4中元素至多有1個，貝Ua

的取值范圍是1

4.x、yeR”={(x,y)N+y2=i},8={(x,y)亡_上=1,心0力>0},當AC8只

ab

有一個元素時，。力的關(guān)系式是

5.集合A={x\x2—ax+a2—19=0},B={x|log2(x2—5x+8)=l},C={x*+2x—

8=0},求當Q取什么實數(shù)時，ADB莖。和4GO0同時成立.

6已知{恁}是等差數(shù)列，d為公差且不為0,勾和d均為實數(shù)，它的前

C1

n項和記作5“,設(shè)集合A={(冊,*)|”eN*},B={(x,y)|—x2-7=Uj'6R).

n4

試問下列結(jié)論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例

說明,

(1)若以集合A中的元素作為點的坐標，則這些點都在同一條直線上；

(2)ACB至多有一個元素；

(3)當R#0時，一定有ACBW0.

7,已知集合A={z||z—2|W2,zeC},集合B={wM=；zi+b,bGR},當4n

B=8時，求b的值.

8.設(shè)/(x)=x2+px+g4={x|Kx)},B={減0(x)］=x}.

(1)求證：AcB;

(2)如果A={-1,3},求B

參考答案：

1.解析：對/將女分成兩類：k=2n或k=2n+\(nez),

Jr37r

M={x\x=n萬+一,〃￡Z}U{4r=〃〃+——，〃￡Z},

44

對N將Z分成四類，k=4n或Z=4〃+l,仁4〃+2,仁4〃+3(〃eZ),

3

N={x\x=n不+]￡Z}U{x\x=n冗+,〃￡Z}U{x\x=nZ}U

57r

{x\x=n"+——6￡Z}?

4

答案：C

2.解析：VAUB=A,?"6又戶0,

in+}>-2

?\?2m-1<7即2</nW4

"?+1<2m-1

答案：D

9

3.a=0或。2—

8

4.解析：由ACS只有1個交點知，圓x2+『=l與直線土-2=1相切，

ab

貝ij'=曲=即"=da?+22?

答案：ab7a2+12.

5,解：log2（f—5x+8尸1,由此得f—5x+8=2,???B={2,3},由？+21一8=0,

.?.C={2,-4},又AGC=0,，2和一4都不是關(guān)于x的方程f—or+k—19=0

的解，而AG8莖0,即4n8#0,

.*.3是關(guān)于工的方程f—QX+〃2-]9=0的解，，可得。=5或a=—2

當a=5時，得人={2,3},AAAC={2},這與AGC=0不符合，所以

〃=5（舍去）；當a=-2時，可以求得4={3,—5},符合AOC=0,AHB圣0,

?=-2.

6.解：（1）正確,在等差數(shù)列{恁}中，.=〃（％+”"），則叟=，?+%）,這

2n2

表明點（即,、Q）的坐標適合方程丫=工1。+m）,于是點（即，V、）均在直線

n2n

11.

尸5什5的」二.

11

y=-x+一。1

-22

(2)正確.設(shè)(x,y)eAC8,則(x,y)中的坐標x,y應(yīng)是方程組.

1221

—X-y=1

14?

的解，由方程組消去y得：2〃述+〃/=-4(*),當。產(chǎn)0時，方程(*)無解，此時

AC1B=0；當時，方程(*)只有一個解％=一4一%，此時,方程組也只

2〃]

/Z-f

有一解，田，故上述方程組至多有一解,

a.2-4

3,=------

4%

CB至多有一個元素.

s

(3)不正確，取。i=l,d=l,對一切的有?！?〃1+(〃-1)4=心0,」~>0,

n

這時集合A中的元素作為點的坐標，其橫、縱坐標均為正，另外，由于〃尸1

W0.如果AC8#0,那么據(jù)(2)的結(jié)論，AQB中至多有一個元素(沏,必)，

而x°=4"=_2vo,)，o=Q^=2V0,這樣的(xo,yo)eA,產(chǎn)生矛盾，

2a}524

故fl|=l,d=l時A08=0,所以〃]#0時，一定有A08#0是不正確的.

7.解：由卬=工[計。得]生_也

2i

???zWA,.?.憶一2|W2,代入得生二絲一2|W2,化簡得|w—(b+i)|WL

i

???集合A、8在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是兩個圓面，集合A表示以點

(2,0)為圓心，半徑為2的圓面，集合5表示以點也1)為圓心，半徑為1

的圓面.

又A08=8,B|JBQA,二兩圓內(nèi)含.

因此53—2/+(1-0)2W2-1,即3—2)2?0,：.b=2.

8.(1)證明：設(shè)X。是集合A中的任一元素，即有

'：A={x\x=j(x)},/.xodxo>

即有/口(向)]yXo)=xo,二XoG8,故AU8.

(2)證明：'：A={~\,3}={x\x2+px+q=x},

方程?+(p-1)^=0有兩根一1和3,應(yīng)用韋達定理，得

-1+3=-(p-l),p=-1

<=>〈

(-1)x3=q[q=-3

?9?.f(x)=x1—x—3?

于是集合B的元素是方程/[/)]=x,

也即(f一1一3尸一(f一1一3)—3=x(*)的根.

將方程(*)變形，得。2一欠一3)2—工2=0

解得x=l,3,V^,一6.

故8=｛一百，—1,百，3).

課前后備注；

2、題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座—充要條件的理解及判定方法

高考要求

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題

的條件°和結(jié)論g之間的關(guān)系本節(jié)主要是通過不同的知識點來剖析充分必

要條件的意義，讓考生能準確判定給定的兩個命題的充要關(guān)系.

重難點歸納：

(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當“若p則夕”形式的命題

為真時，就記作稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，

因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“O”要熟悉它的各種同義

詞語:“等價于”，“當且僅當”，“必須并且只需”，”……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要

條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點看，若A=8,則4是B的充分條件，8是A的必要條件；

若4=8,貝IJA、B互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要

證明它的逆命題成立(即條件的必要性｝

典型題例示范講解：

例1已知p：|l—W2,q:/—2x+1—"WO(,心0),若是f的必要而

不充分條件，求實數(shù)機的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查

對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強調(diào)了知識

點的靈活性.

知識依托：本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式

進行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了.

錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實質(zhì)理解不清晰是解此題

的難點，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價命題先進行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件

與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進而使問題解決.

解;由題意知;

命題:若Lp是F的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為:p是q的

充分不必要條件.

Y1x1Y\

2n——2〈冗W10

333

q\x—2x+1—H?20=>[x—(1—〃?)][x-(1+m)]WO*

???p是9的充分不必要條件，

不等式|1-F忌2的解集是f-2r+l一/忘0(加>0)解集的子集.

又,/m>0

不等式*的解集為機

1-m<-2J/n>1

.?.機29,

1+w>10[m>9

，實數(shù)機的取值范圍是[9,+8).

例2已知數(shù)列｛斯｝的前"項S,=p"+q(pWO,p#l),求數(shù)列｛飆｝是等比數(shù)列

的充要條件，

命題意圖：本題重點考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時

的思維的嚴謹性.

知識依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點在于抓住數(shù)列前

n項和與通項之間的遞推關(guān)系，嚴格利用定義去判定.

錯解分析：因為題目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，

考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法；由斯)關(guān)系式去尋找與斯+i的比值,

電-S“T(”N2)

但同時要注意充分性的證明.

解〃i=Si=p+0

當時，an=Sn—S,l\=p"'(p—]')

?.”0,戶1,，

pi(p-l)

若｛為｝為等比數(shù)列,則竺=4iL=p

a\an

?P(P-D_

??-------p,

P+Q

?.'pWO,；.p—1=p+q,.?.行一1

這是｛““｝為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=T是｛知｝為等比數(shù)列的充分條件.

當q=-1時，.’.5"=p"—l(/?W0,pWl),”]=Si=p—1

n

當"22時，a,,=Sn—Sn-i=p—p"'=p"'(p—1)

：.an=(p—1)p"'SW0,pNl)

(P-1"

=P為常數(shù)

(PT"-

???/一1B寸，數(shù)列3｝為等比數(shù)列,即數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列的充要條件為

q=11.

例3已知關(guān)于x的實系數(shù)二次方程x2+ax+h=0有兩個實數(shù)根。、￡,

證明：|a|<2且10V2是2\a\<4+b且步|<4的充要條件.

證明：(1)充分性:由韋達定理,得回=|。?￡|=|。|?網(wǎng)<2X2=4.

設(shè)Ax)=f+ax+b,貝I」/)的圖象是開口向上的拋物線.

又|。|<2,|￡|<2,.±2)>0,

4+2a+b>0

即有=4+h>2a>—(4+b)

4-2a+b>0

又網(wǎng)<4=4+力>0=>2同<4+/>

(2)必要性：

由2⑷<4+〃=八±2)>0且/)的圖象是開口向上的拋物線.

方程7(x尸0的兩根叫￡同在(-2,2)內(nèi)或無實根.

；。，￡是方程Ax尸0的實根，

￡同在(一2,2)內(nèi)，即|。|V2且|￡<2.

例4寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.

(1)若x、y都是奇數(shù)，貝Ux+y是偶數(shù)；

(2)若xy=O,則尸0或產(chǎn)0；

(3)若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù).

解：(1)命題的否定：X、y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，為假命題.

原命題的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題.

(2)命題的否定：9，=0則x#0且y#0,為假命題.

原命題的否命題：若xyWO,則xWO且yWO,是真命題.

(3)命題的否定：一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，是假命題.

原命題的否命題：若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，為假命題.

例5有4、B、C三個盒子，其中一個內(nèi)放有一個蘋果，在三個盒子

上各有一張紙條.

力盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)"，

8盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”，

C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內(nèi)”.

如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？

解：若蘋果在4盒內(nèi)，則A、8兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

若蘋果在B盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙

條寫的為真，符合題意，即蘋果在8盒內(nèi).

同樣，若蘋果在C盒內(nèi)，則8、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

綜上，蘋果在8盒內(nèi).

學(xué)生鞏固練習(xí):

1,函數(shù)凡r)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是()

A.ab=OB.a+b=OC.a=bD^72+/?2=0

2."a=l"是函數(shù)產(chǎn)cos2ax-sin%x的最小正周期為“衣”的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充要條件D,既非充分條件也不是必要條件

3.。=3是直線ax+2y+3a=0和直線3》+(。-1)廣。一7平行且不重合的__.

4命題A；兩曲線F(x,y)=0和GQ,y尸0相交于點尸即為),命題用曲線

尸(x,y)+XG(x,y尸0(X為常數(shù))過點2的面,則A是B的條件.

5.設(shè)a,￡是方程x?—ax+/?=0的兩個實根，試分析a>2且/是兩根

a、￡均大于1的什么條件？

6已知數(shù)列｛a,,｝,出“｝滿足+2%+…+"％,求證:數(shù)歹ij｛卬｝成等差

1+2+3+?一+九

數(shù)列的充要條件是數(shù)列｛仇J也是等差數(shù)列.

7.已知拋物線。丫=-，+〃優(yōu)一1和點A(3,0),8(0,3),求拋物線C與線

段48有兩個不同交點的充要條件.

8.p：—2<加<0,0<“<1同:關(guān)于x的方程/+加什"=0有2個小于1的正根，

試分析p是4的什么條件.(充要條件)

參考答案：

1.解析:若02+/=0,即a=b=O,

此時共一x尸(一x)|x+0|+0=—x,|x|=—(xpv+O|+b)=—(x|x+a|+b)=—/(x>

...〃2+*=0是兀v)為奇函數(shù)的充分條件，又若/(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即

A——x)=(——x)|(——x)+a|+b=——/(x),則必有q=b=O,即a2+b2=O.

：.a2+b2=0是兀v)為奇函數(shù)的必要條件.

答案：D

2.解析:若。=1,則y=cos4—siiAiosZx,此時y的最小正周期為見故a=\

是充分條件，反過來，由ykos%—sin%x=cos2ax,故函數(shù)y的最小正周期為

再則a=±1,故0=1不是必要條件.

答案：A

3.解析:當”=3時，直線左3k2肘9=0;直線/2：3x+2y+4=。

與，2的4：A2=BI：&=1：1,而G：C2=9：4W1,

即GWC2,，a=3=/|〃/2，

答案：充要條件

4解析:若「的而是F(x,y)=O和G(x,y)=O的交點，

貝ijF(x(),yo)+八G(xo,yo)=O,即F(x,y)+久G(x,))=O,過P(xo?o);

反之不成立.

答案:充分不必要

5.解;根據(jù)韋達定理得a=a+j3,b=a￡.

判定的條件是P：>之，結(jié)論是％>1

[b>\[/7>1

(注意〃中〃、人滿足的前提是4=/—4b，0)

(1)由J。，得d=a十￡>2,b=a￡>1,；?qnp

(2)為證明p分見可以舉出反例:取。=4,￡=g,它滿足。=。+￡

=4+g>2,/?=Q8=4義—=2>1,(0q不成立.

綜上討論可知a>2,b>\是的必要但不充分條件.

6證明:①必要性：

設(shè)｛4｝成等差數(shù)列,公差為d,???｛〃〃｝成等差數(shù)列.

.+2。)+,,?+na_q(1+2+…+〃)+磯1?2+2?3+…+(〃-l)n］

b=2——n

"1+2+3+???+〃1+〃+???+〃

=%+(〃一］)-d

222

從而bn+i—bn+n,—d―〃］一(〃-1)—d=—d為常數(shù).

333

故｛兒｝是等差數(shù)列，公差為2:d.

②充分性：

設(shè)也,｝是等差數(shù)列，公差為小，則b=(〃一1)/

bn[\+2+???+〃)=。]+2〃2+，,?+”①

bn-\(1+2+?,?+〃—1)=〃]+2敢+…+(〃—1)即②

①一②得:“廿駕\_42乩」

/1+1n—\〃+1n—\3

4,=虧4一虧%=虧也+(n-lX]--+(〃-2)(/']=々+(n-V)~d'

乙乙乙乙4

3

從而得斯+i—斯為常數(shù)，故｛斯｝是等差數(shù)列.

綜上所述，數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列｛兒｝也是等差數(shù)列.

7,解：①必要性：

由已知得，線段AB的方程為產(chǎn)一x+3(0WxW3)

由于拋物線C和線段4B有兩個不同的交點，

所以方程組,)'二一尸+'如一|*有兩個不同的實數(shù)解.

y--x+3(0<x<3)

消元得V—(〃?+1)X+4=0(0WXW3)

設(shè)外)=/一(機+1M+4,則有

△=("2+1)2-4x4>0

/(0)=4>01()

'/(3)=9-3(/n+l)+4>0=^3<m<—

.m+\,

0<-------<3

I2

②充分性：

當3V/wW時，

3

〃?+]_J(in+1)2-16〃？+]—J(m+1)2

x\=---------------------------->------------..............>0

22

I___________10.L10

丫=優(yōu)++6V3++'3+)―14=3

“2-2-2-

，方程/一(團+1)工+4=0有兩個不等的實根x.2,且0<為VMW3,方程組

*有兩組不同的實數(shù)解.

因此，拋物線產(chǎn)一d+mx—l和線段A8有兩個不同交點的充要條件是

3<3

3

8?解：若關(guān)于x的方程f+〃吠+〃=0有2個小于1的正根，設(shè)為修巧

則0<為<1,0<%2<1,有O<X1+X2<2且0<%也<1,

匹+々=一加得0<-m<2

根據(jù)韋達定理；

xxx2=n0<n<1

有一2<m<0;0<n<1即有g(shù)np，

反之，—,n=—,x2-—X+—=0,A=--4x—<0

323292

方程x2+mx+n=0無實根，所以pi>q

綜上所述，p是q的必要不充分條件.

課前后備注:

1.已知0是r的充分不必要條件,s是r的必要條件，q是s的必要條件,

那么p是q成立的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：依題意有p=>r,r=>s,snq,，p=>r=>s=>q.但由于'冷p,

答案：A

2.“cos2a=一豆”是"a=kn+—,kGZ”的

212

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件

解析：cos2a=—o2。=2k"+—oa=kn+—.

2612

答案：A

3.在△ABC中，“A>8”是“cosAVcosB”的

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：在△ABC中，A>B^>cosA<cosB(余弦函數(shù)單調(diào)性).

答案：C

4.命題A：兩曲線尸(x,y)=0和G(x,y)=0相交于點尸(x(),y0),

命題B：曲線F(x,y)+AG(x,y)=0(4為常數(shù))過點P(x0,y0),

則4是B的條件.

答案：充分不必要

5.函數(shù)/(x)=x2-2ax-3在區(qū)間［1,2］上存在反函數(shù)的充分必要條

件是

A.ize(—8,1]B.ae[2,+8)

C.aG[1,2]D.aF(-<?,1]U[2,

+8)

解析：?:/(x)=f—2ox—3的對稱軸為尸a,.?.)可(x)在[1,2]上

存在反函數(shù)的充要條件為[1,2]c(—8,或[1,2]c[a,+°°),

即a22或aWl.

答案：D

6.已知數(shù)列&｝的前“項和Sn=p+q(pr0且pKl),求數(shù)列｛斯｝成等比

數(shù)列的充要條件.

分析：先根據(jù)前〃項和公式，導(dǎo)出使｛對｝為等比數(shù)列的必要條件，再證

明其充分條件.

解：當”=1時,a\=St=p+q；

當”22時,S“-1=(p—1),p"

由于p￥0,0r1,二當心2時，｛?。堑缺葦?shù)列.要使3｝(nGN,)

則”

是等比數(shù)列,=P，即(p-1),p=p(p+g),?'-q=-1,即｛““｝是等比

a\

數(shù)列的必要條件是pWO且p￥l且“=-1.

再證充分性：

當pW0且pW1且看一1時，S?=pn-1,

a

an=(p-1),p"\"=p("22),

”,i

???｛對｝是等比數(shù)列.

3、題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一運用向量法解題

高考要求：

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高

考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運用

向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.

重難點歸納：

1.解決關(guān)于向量問題時，-要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分

解等變換，正確地進行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認識,二是

向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.

2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問

題中.常用向量的直角坐標運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的

夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題.

3,用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量

直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用己知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分

別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何

關(guān)系？

(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進行運算，才能得到需要的結(jié)論？

典型題例示范講解；

例1如圖，已知平行六面體ABCmCS的底面ABCD是菱形,

且/CiC8=NGC￡>=NBCDD

Di

⑴求證：GC_LBDr

(2)當JCD的值為多少時，能使4CJL平面C|8。？請

給出證明,口口

命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以

及對立體兒何圖形的解讀能力.

知識依托：解答本題的閃光點是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，

這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單，

錯解分析：本題難點是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系

的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系.

技巧與方法：利用不，BB=0來證明兩直線垂直，只要證明

兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.

(1)證明：設(shè)而=G,麗=B,西=5,依題意，\a\^\b\,CD.CB.

B

D

CC,中兩兩所成夾角為9,于是

DB=a-b,

CCjBD=c(a~b)=c'a—c'b=\c\'\a|cos|c|?|^|cos，=0,

(2)解：若使AC_L平面GBD,只須證A|C_LB￡),A1C±DCt，

由西用=0+而)?(麗-西)

={a+b+c)?(a—c)=|5|2+a?b—b?c—|c|2

=|a|2—|c|2+|h\,\a|cos|b|,|c|?cos，=0,得

當m=Q|時,AiCLDCi，同理可證當|I|=|C時,AyCLBD,

CD

：.——=1時，4C1■平面G8D

CC

例2如圖，直三棱柱ABC-4&G，底面/XABC中，

CA=CB=\,NBC4=90°,AA\=2,M、N分別是4|囪、

AM的中點.

(1)求麗的長；

(2)求cos<BA{,CBy>的值；

(3)求證：A,B±C,M

命題意圖：本題主要考查考生運用向量法中的坐

標運算的方法來解決立體幾何問題.

知識依托：解答本題的閃光點是建立恰當?shù)目臻g直角坐標系。一孫z,

進而找到點的坐標和求出向量的坐標

錯解分析：本題的難點是建系后，考生不能正確找到點的坐標.

技巧與方法：可以先找到底面坐標面X。)，內(nèi)的A、8、C點坐標，然

后利用向量的模及方向來找出其他的點的坐標.

(1)解：如圖，以C為原點建立空間直角坐標系。一町z.

依題意得：8(0,1,0),N(l,0,1)

|BN|=J(l—O,+(0—1)2+(>0)2=后.

⑵解:依題意得:4(1,0,2),C(0,0,0),B,(0,1,2>

/.BA1=(1,—l,2),CBj=(0,1,2)

=1X0+(-1)X1+2X2=3

222

|兩|=A/(1-0)+(0-1)+(2-0)=V6

|函1=J(0-0)2+(1-0)2+(2-0)2=y/5

底西3而

cos<BAj,CB]>=-

\'BC,\-\CB}\~V6-V510

(3)證明：依題意得：G(0,0,2),M(；，g，2)

——■11—-

GM=(5,5,O)，4B=(—I,I,-2)

—?——?ii———.

?.\BC,M=(-l)x-+lx-+(-2)x0=0,.1./ll/?±C1M,

例3三角形胸中，J(5,一1)、8(—1,7)、<7(1,2),求：⑴比邊

上的中線4V的長；⑵/。夕的平分線/〃的長；(3)cos4?C的值.

解；⑴點M的坐標為知=三口■=();)%=手=:,

?.IAM|=^(5-0)2+(-1-1)2二警.

(2)|AB|=J(5+以+(7-7)2=I0,函卜J(5-1>+(-1-2)2=5

。點分前的比為2,

.-1+2x117+2x211

IADH^(5-1)2+(-i-y)2V2.

(3)/4BC是而與前的夾角，而麗=(6,8),BC=(2,-5).

BABC_6x2+(—8)x(—5)52_2629

cosABC=

I而|.|前「擊2+(—8產(chǎn),加2+(；5)210>/29-145

學(xué)生鞏固練習(xí)；

1.設(shè)A、B、C、。四點坐標依次是(-1,0),(0,2),(4,3),(3,1),

則四邊形ABC。為()

A.正方形B,矩形C.菱形D.平行四邊形

..—?—?15

2.已知△ABC中，AB=a,AC=b,a?b<0,S&ABC=一,|51=3,|

4

b|=5,則1與B的夾角是()

A.30°B~150°G150°D30°或150°

3,將二次函數(shù)產(chǎn)f的圖象按向量2平移后得到的圖象與一次函數(shù)產(chǎn)2x

-5的圖象只有一個公共點(3,1),則向量2=.

4,等腰zMBC和等腰Rt^ABD有公共的底邊AB,它們所在的兩個平

面成60°角，若A8=16cm/C=17cm,則CD=

5.如圖，在△ABC中，AB=d，AC=b,AP=c,AD=4a,(0<

A<\\AE=Pb(0v〃〈l),試用向量2,B表示人

6,正三棱柱"C—的底面邊長為a,側(cè)棱長為V2

(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，并寫出A、B、Ai、。的坐標；

⑵求AC\與側(cè)面A881Al所成的角.

7,已知兩點例(-1,0),%(1，0)，且點月使而?礪,而一麗,兩?而

成公差小于零的等差數(shù)列.

⑴點P的軌跡是什么曲線?

(2)若點P坐標為(打,州),。為麗與麗的夾角，求tan0.

8,已知E、F、G、”分別是空間四邊形A8CD的邊AB、BC、CD、DA

的中點.

(1)用向量法證明E、F、G、〃四點共面；

(2)用向量法證明：BD〃平面EFGH；

(3)設(shè)M是EG和尸〃的交點，

求證：對空間任一點O,有麗'=」(刀+而+反+而).

參考答案:

1.解析：AB=(1,2),DC=(1?2),AB=DC,AB//DC,

又線段AB與線段DC無公共點，且|AB|=|DC|,

.??A8C。是平行四邊形，又|麗|=石，AC=(5,3),|AC|=V34，

：.\AB\^\AC},.'.ABC。不是菱形，更不是正方形；

又團=(4,1),A1?4+2?1=6^0,.\AB不垂直于BC,

...A8C。也不是矩形，故選D.

答案：D

2.解析：,3?5sin。得sina=L則。=30°或<7=150°.

422

又；6?b<0,.\<7=150°.

答案：C

3.(2,0)4,13cm

5.解：*.*BP與BE共線，BP—mBE=tn{AE-AB)=tn(Ph—

??AP=AB+BP=aPb—a)=(1—m)a-^mPb①

又麗與麗共線，?,.麗=〃而=〃(而一衣尸〃(XM-B),

AP=AC+CP=b+M(a—b)=n5+(1—w)b②

由①②，得(1—m)a+Pmb=^na+(l—n)b.

一\-m=Aa+/7i-1=0…

???2與。不共線，???（即《③

/urn=\-n[〃+/am-1=0

解方程組③得：m=上3,〃=上J

1-X//1-A//

一1一

代入①式得干=（1—機）a+mPb=--------M+

1-7T/J

6解：（1）以點A為坐標原點。，以A8所在直線為0），軸，以A4所

在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且與平面ABBXAX垂直的直線為Ox軸，建立空

間直角坐標系.

由已知，得A(0,0,0),B(0,a,0)A(0,0,忘a),G(一立血“>

22

(2)取4B1的中點用，于是有“(0,pV2a),連力M,MC\,

有.欣71=(一^^。,0,0)，且48=(0,a,O'),AAt=(0,0V2a)

由于砒?AB=0,MCi?羽=0,所以MGL面4B8A，

：.ACi與AM所成的角就是4cl與側(cè)面ABBXA?所成的角.

,ZAC}=(—三a,會缶)，赤=(0,pV2a),

:.JC,-AM=0+—+2a2=-a

144

而|AC1|=J,a*+2a，-y/ia,\AM|=J^~+2^

TJiT4a百

?.cos<AC]，AM>=-----=——

y[3ax、。一

2

所以蒲與畫7所成的角，即AG與側(cè)面A88A所成的角為30°?

7.解：(1)設(shè)尸(x,y)，由M(—l,0),N(l，0)得，

PM=—MP=(—1—x,—y),

~PN=^NP=(l-x,-y),

MN=-'NM=(2,0),

:?MP?例N=2(l+x),PM?PN=x2+y2—1,NM-NP=2(1一現(xiàn)

于是，講?麗，麗?麗，麗7?標是公差小于零的等差數(shù)列，

等價于

x2+y2-]=^[2(1+x)+2(1-x)]卜2+卜=3

2叫

2(1-x)-2(l+x)<0

所以，點戶的軌跡是以原點為圓心，厲為半徑的右半圓.

(2)點P的坐標為3),州)

22222

^-PN=x0+y0-1=2,\PM\-\PN\=yl(l+x)+y0-yl(l-x0)+y^

=/4+2%)(4_2%)=25-/2

八麗麗1

COS0=?一-=7=/

2

|PM|.PN74-x0

[―1jr

vO<xo<v3,/.—<COS^<l,0<^<y,

22

sin0=V1-cos0—1----------,tan0—=J3—x0=|y01

2

\4-x0cos。

8.證明：(1)連結(jié)8G,則

EG=~EB+BG=~EB+^(BC+~BD)=EB+~BF+EH=~EF+EH

由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點共面，(其中1