二次函數(shù)實(shí)根分布總結(jié)

1、 二次方程根分布問題總結(jié) 一一.函數(shù)零點(diǎn)函數(shù)零點(diǎn)一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)y=f(x)，我們把使，我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)的實(shí)數(shù)x就做函數(shù)就做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)的零點(diǎn). 由此得出以下三個(gè)結(jié)論等價(jià)：由此得出以下三個(gè)結(jié)論等價(jià)：方程方程f(x)=0有實(shí)根有實(shí)根 函數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象與的圖象與x軸有交點(diǎn)軸有交點(diǎn)函數(shù)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)有零點(diǎn) 實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題 一元二次方程一元二次方程20(0)axbxca1、當(dāng)、當(dāng)x為全體實(shí)數(shù)時(shí)的根為全體實(shí)數(shù)時(shí)的根2(1)40 bac 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根2(2)40 bac 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程有有兩兩

2、個(gè)個(gè)相相等等的的實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根2(3)40 bac 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，方方程程沒沒有有實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)根根 一元二次方程一元二次方程 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間上有實(shí)根，求其中字母系數(shù)的問題稱為上有實(shí)根，求其中字母系數(shù)的問題稱為實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題。20(0)axbxca實(shí)根分布問題一般考慮四個(gè)方面，即實(shí)根分布問題一般考慮四個(gè)方面，即： （1）開口方向）開口方向（2）判別式）判別式（3）對稱軸）對稱軸（4）端點(diǎn)值）端點(diǎn)值 的符號。的符號。 24bac 2bxa ( )f m2、當(dāng)、當(dāng)x在某個(gè)范圍內(nèi)的實(shí)根分布在某個(gè)范圍內(nèi)的實(shí)根分布221212( )(0)0(0), ()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 設(shè)設(shè)

3、一一元元二二次次方方程程的的兩兩根根為為(1)(k k方方程程兩兩根根都都小小于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k (2)(k k方方程程兩兩根根都都大大于于為為常常數(shù)數(shù)）02( )0bkaf k 12(3)(xkxk 為為常常數(shù)數(shù)）( )0f k 112212(4)(,kxxkkk 為為常常數(shù)數(shù)）121202()0()0bkkaf kf k 112212(5)(,xkkxkk 為為常常數(shù)數(shù)）12()0()0f kf k 1212(6),xxkk，有有且且只只有有一一個(gè)個(gè)根根在在（）內(nèi)內(nèi)1k2k1k2k1k2k1k2k12() ()0f kf k 1202bkka 或或1121()022

4、f kkkbka 或或2122()022f kkkbka 或或12(7) (, ,mxnpxqm n p q 為為常常數(shù)數(shù)）()0( )0( )0( )0f mf nf pf q (8)方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的正正根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件002(0)0baf 也可也可( )f xx1x2x01212000 xxx x ( )f xx1x2x0(9)方方程程有有兩兩個(gè)個(gè)不不相相等等的的負(fù)負(fù)根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫條件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一負(fù)負(fù)根根可用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫：可

5、用韋達(dá)定理表達(dá)式來書寫：ac0也可也可f(0)0即或解2(2) (2)(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的兩根分別屬于（， ）和（， ）求的取值范圍21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1) (0)()() 解：由題(1(4 ) (2) 例例3.就實(shí)數(shù)就實(shí)數(shù)k的取值，討論下列關(guān)于的取值，討論下列關(guān)于x的方的方程解的情況：程解的情況：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ： 將方程視為兩曲線 與相交，其交點(diǎn)橫坐標(biāo)便是方程的解，由圖知：時(shí)， 無解；或時(shí)，有兩解；時(shí)有四個(gè)解；時(shí)有三個(gè)解解34yx24.1(0,3)

6、,(3,0).yxmxABABm 例 若二次函數(shù)的圖像與兩端點(diǎn)為 的線段有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求 的取值范圍223(03)3(03)1(1)400,3.0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm 解：線段的方程為 由題意得： 有兩組實(shí)數(shù)解 整理得 在上有兩個(gè)不同的實(shí)根 故 解得 故 的取值范圍是結(jié)論結(jié)論：21 , (2), ( ) ( )0. 40 ( )0 02 ( )m nm nf m f nbaca f ma f nbmna （） 一元二次方程有且僅有一個(gè)實(shí)根屬于（）的充要條件是： 一元二次方程兩個(gè)實(shí)根都屬于（）的充要條件是：20(0) axbxca一元二次方程一元二次方程 在區(qū)間上的在區(qū)間上的實(shí)根分布問題實(shí)根分布問題. 22(3) , 4 , , ()0 ( )040 ( )0240 ()02 ,a f ma f nbaca f nbnabaca fm nm nm nmmbmn 一元二次方程兩個(gè)實(shí)根分別在（）兩側(cè)的充要條件是： （ ）一元二次方程兩個(gè)實(shí)根分別在（）同一側(cè)的充要條件是：分兩類：（ ）在（）右側(cè)（ ）在（）左側(cè)a注：前提注：前提 m,n不是方程不是方程（1）的根的根.課時(shí)小結(jié)課時(shí)小結(jié)： 緊緊以函數(shù)圖像為中心，將緊緊以函數(shù)圖像為中心，將方程的根方程的根用用圖像圖像直觀的畫出