20182019學(xué)年高中數(shù)學(xué)階段質(zhì)量檢測(二)(含解析)新人教A版必修4

階段質(zhì)量檢測（二）一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分，在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項切合題目要求的)1．在五邊形中(如圖)，AB＋BC－DC＝( )ABCDEA．ACB．ADC．BDD．BE分析：選B∵AB＋BC－DC＝AC＋CD＝AD.2．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，則2a＋3b＝( )A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)m分析：選B∵a∥b，∴－1＝2，∴m＝－4，∴b＝(－2，－4)，2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa＋b與a垂直，則λ的值是( )A．－1B．1C．－2D．2分析：選A由題意可知(λa＋b)·a＝λa2＋b·a＝0.|a|＝10，a·b＝1×4＋(－3)×(－2)＝10，∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4．若|a|＝2，||＝2，且(a－)⊥a，則a與b的夾角是()bbA.πB.πC.πD.π6432分析：選B因為(a－b)⊥a，因此(a－b)·a＝0，即|a|2－a·b＝0，因此a·b＝|a|2＝2，因此cos〈a，b〉＝a·b＝2＝2，即a與b的夾角是π.|a||b|2224abc5．設(shè)a，b，c為非零向量，若p＝|a|＋|b|＋|c|，則|p|的取值范圍為( )A．[0,1]B．[1,2]C．[0,3]D．[1,3]abc分析：選C|a|，|b|，|c|分別為a，b，c方向上的單位向量，∴當(dāng)a，b，c同向時，|p|獲得最大值3，且|p|的最小值為0，應(yīng)選C.6．已知角C為△ABC的一個內(nèi)角，向量m＝(2cosC－1，－2)，n＝(cosC，cosC＋1)．若m⊥n，則角C等于()ππ2π5πA.6B.3C.3D.6分析：選C∵m⊥n，∴2cos2C－3cosC－2＝0，∴(2cosC＋1)(cosC－2)＝0，∴cos12πC＝－2，又C為△ABC的一個內(nèi)角，∴C＝3.7．P是△所在平面上一點，若PA·PB＝PB·PC＝PC·PA，則P是△ABCABC的( )A．心里B．外心C．垂心D．重心分析：選C∵PA·PB＝PB·PC，PB·(PA－PC)＝0，PB·CA＝0，∴PB⊥CA.同理PC⊥AB，PA⊥BC，∴P是△ABC的垂心．8．如下圖，非零向量OA＝a，OB＝b，且BC⊥OA，垂足為C，若OC＝λa(λ≠0)，則λ＝( )|a||b|a·ba·ba·ba·b|a||b|C.D.|a|22分析：選D由題意知OC·BC＝0，∴OC·(－OB)＝OC2－OC·OB＝OC0.又∵OC＝λ，∴λ22－λ＝0，即λ2a·baa＝，∴λ＝2.aa·ba·b|a|已知AD，BE分別為△ABC的邊BC，AC上的中線，設(shè)AD＝a，BE＝b，則BC等于()4224A.3a＋3bB.3a＋3bC.2－4D．－2＋43a3b3a3b1分析：選B由題意得BE＝2(BA＋BC)，因此2BE＝BA＋BC，①同理得2AD＝AB＋AC＝－BA＋(BC－BA)＝－2BA＋BC，即2AD＝－2BA＋BC.②①×2＋②得4BE＋2AD＝3BC，即4b＋2a＝3BC，因此

BC

24＝3a＋3b.選

B.10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系

xOy中，兩個非零向量

OA，OB

與x軸正半軸的夾角分別為

π6和

2π3

，向量OC

知足

OA

＋OB

＋OC

＝0，則OC與x軸正半軸夾角取值范圍是

(

)π

π5π

π2π

2π

5πA.0，3

B.

3，

6

C.2，

3

D.

3

，

6分析：選

B由題意

OC

＝－

OA－OB

，由向量加法的幾何意義得

OC

是以－

OA與－OB

為鄰邊的平行四邊形的對角線所表示的向量，

因此

OC

與

x軸正半軸夾角的取值介于－OA與－

OB

與

x軸正半軸夾角之間．由題意得－

OA，－OB

與

x軸正半軸夾角分別為5π

與π

.6

311．已知

a＝(－1，

3)，OA＝a－b，OB

＝a＋b，若△

AOB是以

O為直角極點的等腰直角三角形，則△AOB的面積是( )3B．2C．22D．4分析：選D由題意|OA|＝|OB|且OA⊥OB，22因此(a－b)＝(a＋b)且(a－b)·(a＋b)＝0，因此|a|＝|b|＝2，因此△AOB＝1|OA|·||＝1－2a＋b2＝12＋22＝4.S2OB2ab2ab12．已知向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，p＝(x，y)，定義新運算m?n＝(ac＋bd，ad＋bc)，此中等式右側(cè)是往常的加法和乘法運算．假如關(guān)于隨意愿量m都有?＝建立，則向量pmpm為( )A．(1,0)B．(－1,0)C．(0,1)D．(0，－1)分析：選A因為m?p＝m，即(a，b)?(x，y)＝(ax＋by，ay＋bx)＝(a，b)，ax＋by＝a，ax－＋by＝0，因此即ay＋bx＝b，ay＋bx－＝0.因為對隨意m＝(a，b)，都有(a，b)?(x，y)＝(a，b)建立．x－1＝0，

x＝1，因此

解得

因此

p＝(1,0)

．應(yīng)選

A.y＝0，

y＝0.二、填空題

(本大題共

4小題，每題

5分，共

20分)13．已知向量a＝(2x＋3,2－x)，b＝(－3－x,2x)(x∈R)．則|a＋b|的取值范圍為________．分析：因為a＋b＝(x，x＋2)，因此|a＋b|＝x2＋x＋2＝2x2＋4x＋4＝x＋2＋2≥2，因此|a＋b|∈[2，＋∞)．答案：[2，＋∞)14．設(shè)e1，e2為兩個不共線的向量，若a＝1＋λ2與b＝－(2e1－3e2)共線，則實數(shù)λee等于________．分析：因為a，b共線，因此由向量共線定理知，存在實數(shù)k，使得a＝kb，1＝－2k，即e1＋λe2＝－k(2e1－3e2)＝－2ke1＋3ke2又因為e1，e2不共線，因此λ＝3k，3解得λ＝－.2答案：－

32如下圖，在正方形ABCD中，已知|AB|＝2，若點N為正方形內(nèi)(含界限)隨意一點，則AB·AN的最大值是________．分析：AB·AN＝|AB||AN|·cos∠BAN，|AN|·cos∠BAN表示AN在AB方向上的投影，又|AB|＝2，∴AB·AN的最大值是4.答案：42π16．設(shè)a，b，c都是單位向量，且a與b的夾角為3，則(c－a)·(c－b)的最小值為________．分析：(c－a)·(c－b)＝c2－c·b－a·c＋a·b＝|c|2－c·(a＋b)＋|a|·|b|·cos2π1＝2－c·(a＋b)，要使(c－a)·(c－b)最小，則只要c與a＋b同向共線即可．∵a與b2π1都是單位向量，且a與b的夾角為，∴|a＋b|＝1，故最小值為－.321答案：－2三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.(1)若a⊥b，求x的值；若a∥b，求|a－b|.解：(1)若a⊥b，則a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.若a∥b，則有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.當(dāng)x＝0時，a＝(1,0)，b＝(3,0)，∴a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2；當(dāng)x＝－2時，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，∴－＝(2，－4)，∴|－|＝4＋16＝25.abab綜上所述，|a－b|為2或25.1318．(12分)設(shè)向量a＝(cosα，sinα)(0≤α＜2π)，b＝－2，2，且a與b不共線．求證：(a＋b)⊥(a－b)；(2)若向量3a＋b與a－3b的模相等，求角α.解：(1)a＋b＝cos13證明：由題意，得α－2，sinα＋2，－＝cos1α－3，222123因為(a＋b)·(a－b)＝cosα－4＋sinα－4＝1－1＝0，因此(a＋b)⊥(a－b)．(2)因為向量3a＋b與a－3b的模相等，因此(3a＋b)2＝(a－3b)2，221232因此|a|－|b|＋23a·b＝0，因為|a|＝1，|b|＝－＋2＝1，2因此|a|2＝|b|2，因此a·b＝0，13因此－2cosα＋2sinα＝0，因此tan3α＝3，又因為0≤α＜2π，π7π因此α＝6或α＝6.19.(12分)如下圖，在△ABC中，已知CA＝2，CB＝3，∠ACB＝60°，CH為AB邊上的高．求AB·BC；設(shè)CH＝mCB＋nCA，此中m，n∈R，求m，n的值．解：設(shè)CB＝a，CA＝b.因為AB＝CB－CA＝a－b，因此AB·BC＝(a－b)·(－a)＝－a2＋a·b＝－93×2×cos60°＝－6.因為A，H，B三點共線，因此設(shè)AH＝λAB＝λ(a－b)，因此CH＝CA＋AH＝b＋λ(a－b)＝λa＋(1－λ)b.因為CH⊥AB，因此CH·AB＝0，因此[λa＋(1－λ)b]·(a－b)＝0，即λa2－(1－λ)b2＋(1－2λ)a·b＝0.又a2＝9，b2＝4，a·b＝3，代入上式，116解得λ＝7，因此CH＝7a＋7b，6即m＝7，n＝7.20.(12分)在邊長為1的正△ABC中，BC＝2BD，AC＝3EC，AD與BE訂交于點F.求AD·BE的值；若AF＝λFD，務(wù)實數(shù)λ的值．解：(1)由題意，D為邊的中點，而△是正三角形，因此⊥，BCABCADBC設(shè)AB＝a，AC＝b，1則AD·BE＝(AB＋AC)·(AE－AB)2122(a＋b)·3b－a121213b－2a－6a·b111113－2－6×1×1×2＝－4.λAD＝－AB＋2λ(2)依據(jù)題意：BF＝BA＋AF＝－AB＋λ＋1λ＋1(AB＋AC)＝－λ－2AB＋λAC.2λ＋1λ＋12記BF＝μBE，則BF＝μBE＝μ(－AB＋AE)＝－μAB＋2μ3AC.－λ－2＝－μ，2λ＋1依據(jù)平面向量的基本定理有λ2μ2λ＋1＝3，解得λ＝4.21．(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量a＝(－1,2)，又點A(8,0)，πB(n，t)，C(ksinθ，t)0≤θ≤2.(1)若AB⊥a，且|AB|＝5|OA|，求向量OB；(2)若向量AC與向量a共線，當(dāng)k＞4，且tsinθ取最大值為4時，求OA·OC.解：(1)AB＝(n－8，t)，∵AB⊥a，∴8－n＋2t＝0.又∵5|OA|＝|AB|，5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8，OB＝(24,8)或OB＝(－8，－8)．AC＝(ksinθ－8，t)．∵AC與a共線，t＝－2ksinθ＋16.∵tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2ksin4232θ－k＋k，4∵k＞4，∴1＞k＞0，4

32當(dāng)

sin

θ＝k時，tsin

θ取最大值為

k.32由k＝4，得k＝8，此時θ＝π6，OC＝(4,8)，OA·OC＝(8,0)·(4,8)＝32.22．(12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b知足關(guān)系式|ka＋b|＝3|a－kb|(k>0)．求向量a與b的數(shù)目積(用k表示)．(2)a可否和b垂直？a可否和b平行？若不可以，則說明原因；若能，則求出相應(yīng)的k值．求向量a與b夾角的最大值．解：(1)由已知得|a|＝|b|＝1.∵|ka＋b|＝3|a－kb|，(ka＋b)2＝3(a－kb)2，2222222∴k|a|＋2ka·b＋|b|＝3(|a|－2ka·b＋k|b|)，∴8ka·