選修21第三章空間向量與立體幾何

新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第三章空間向量與立體幾何教材分析依照課程標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計(jì)思路，對每一部分都有一個(gè)整體定位。為了更好的掌握空間向量與立體幾何這部分內(nèi)容的要求，第一需要明確整體定位。標(biāo)準(zhǔn)對空間向量與立體幾何這部分內(nèi)容的整體定位以下：“用空間向量辦理立體幾何問題，供應(yīng)了新的視角。空間向量的引入，為解決三維空間中圖形的地點(diǎn)關(guān)系與胸懷問題供應(yīng)了一個(gè)十分有效的工具。在本模塊中，學(xué)生將在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上，把平面向量及其運(yùn)算實(shí)行到空間，運(yùn)用空間向量解決有關(guān)直線、平面地點(diǎn)關(guān)系的問題，意會向量方法在研究幾何圖形中的作用，進(jìn)一步發(fā)展空間想像能力和幾何直觀能力?！币弧?nèi)容與課程學(xué)習(xí)目標(biāo)1）空間向量及其運(yùn)算經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間實(shí)行的過程。②認(rèn)識空間向量的見解，認(rèn)識空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。③掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示。④掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直。（2）空間向量的應(yīng)用①理解直線的方向向量與平面的法向量。②能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系。③能用向量方法證明有關(guān)線、面地點(diǎn)關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）④能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題，意會向量方法在研究幾何問題中的作用。二、內(nèi)容安排本章包括2節(jié)，約需9課時(shí)，詳細(xì)分派以下（僅供參照）：31空間向量及其運(yùn)算約6課時(shí)32立體幾何中的向量方法約3課時(shí)三、授課要求空間向量的授課應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比的方法，經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間實(shí)行的過程。授課過程中應(yīng)注意維數(shù)增加所帶來的影響。在授課中，能夠激勵學(xué)生靈便選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同樣角度解決立體幾何問題。比方：如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，側(cè)棱AA1＝2，D、E分別是CC1與A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．(Ⅰ)求A1B與平面ABD所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(Ⅱ)求點(diǎn)A1到平面AED的距離．本小題主要察看線面關(guān)系和直棱柱等基礎(chǔ)知識，同時(shí)察看空間想像能力和推理運(yùn)算能力．解法1：(Ⅰ)連結(jié)BG，則BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B與平面ABD所成的角．奎屯市第一高級中學(xué)第1頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞條件：①∠ACB＝90°；確定②側(cè)棱AA1＝2；直三棱柱③點(diǎn)E在平面ABD上的射影是△ABD的重心選擇適合地點(diǎn)成立坐標(biāo)系用坐標(biāo)描繪所需要的點(diǎn)∠EGBzC1A1向量BE,BGDECG重心G坐標(biāo)EG⊥DGAx以以下列圖成立坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，設(shè)CA＝2a，則A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，A1(2a，0，2)，E(a，a，1)，G(2a，2a，1)．333∴EGa，a，2，DG2a,2a,2．333333EG⊥DG，∴EGDG2a22a240，解得a＝1．99941又BE(1，－1，1)，BG(，－，)．33

底面邊長B1ByzC1B1241A1∴BA1BG3337．cosDA1BG213E|BA||BG|23K3CyBA1B與平面ABD所成角是arccos7．xA3(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2，0，0)，A1(2，0，2)，E(1，1，1)，D(0，0，1)．AEED(1，1，1)(1，1，0)0，AA1ED(0，0，2)(1，1，0)0，ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，平面AED⊥平面AA1E，又面AED面AA1E＝AE，點(diǎn)A1在平面AED的射影K在AE上．設(shè)AKAE，奎屯市第一高級中學(xué)第2頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞則A1KA1AAK(，，2)．垂足K在哪兒？垂足在AE上由AKAE0，即++－2＝0，1條件怎樣確定K2解得AK1AE0．3∴A1K(2，2，4)．怎樣設(shè)定K設(shè)K的坐標(biāo)33326．故A1到平面AED的距離為26．AKAE∴|A1K|33四、重、難點(diǎn)的分析授課重點(diǎn)是：①經(jīng)歷向量及其運(yùn)算由平面向空間實(shí)行的過程，使學(xué)生認(rèn)識空間向量的見解，掌握空間向量的幾何表示法和字母表示法，掌握空間向量的加減運(yùn)算及其運(yùn)算律.②掌握空間向量數(shù)乘運(yùn)算的定義和運(yùn)算律，認(rèn)識共線（平行）向量、共面向量的意義，掌握它們的表示方法，并能理解共線向量定理（不要修業(yè)生會證明此定理）和共面向量定理及其推論并能運(yùn)用它們證明空間向量的共線和共面的問題.③認(rèn)識兩個(gè)向量的數(shù)量積（或稱內(nèi)積、點(diǎn)積）的計(jì)算方法及其應(yīng)用.④認(rèn)識空間向量基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示，并會在簡單問題中采用空間三個(gè)不同樣向量作為基底表示其他向量.⑤掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，理解直線的方向向量與平面的法向量，理解平行、共線向量坐標(biāo)間的關(guān)系式，會依照向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直，掌握向量長度公式、兩向量的夾角公式、空間兩點(diǎn)間的距離公式，并會用這些知識解決解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問題及簡單立體幾何問題.⑥理解并掌握向量方法解決立體幾何問題的一般方法，意會向量方法在研究幾何問題中的作用.授課的難點(diǎn)是：①空間向量的基本定理②怎樣將立體幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康挠?jì)算問題奎屯市第一高級中學(xué)第3頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第1課時(shí)§空間向量及其加減與數(shù)乘運(yùn)算授課要求：理解空間向量的見解，掌握其表示方法；會用圖形說明空間向量加法、減法、數(shù)乘向量及它們的運(yùn)算律；能用空間向量的運(yùn)算意義及運(yùn)算律解決簡單的立體幾何中的問題．授課重點(diǎn)：空間向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律．授課難點(diǎn)：由平面向量類比學(xué)習(xí)空間向量．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入1、有關(guān)平面向量的一些知識：什么叫做向量？向量是怎樣表示的呢？既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：用有向線段表示；用字母a、b等表示；用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB．長度相等且方向同樣的向量叫相等向量.2.向量的加減以及數(shù)乘向量運(yùn)算：向量的加法：向量的減法：實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定以下：|λa|＝|λ||a|(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a同向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a反向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.3.向量的運(yùn)算運(yùn)算律：加法互換律：a＋b＝b＋a三個(gè)力都是200N，互相間夾角為60°，可否提起一塊重500N的鋼板？二、新課解說1.定義：我們把空間中擁有大小和方向的量叫做空間向量．向量的大小叫做向量的長度或模.→舉例？表示？（用有向線段表示）記法？→零向量？單位向量？相反向量？→討論：相等向量？同向且等長的有向線段表示同向來量或相等的向量．→討論：空間隨意兩個(gè)向量可否共面？空間向量的加法、減法、數(shù)乘向量的定義與平面向量的運(yùn)算同樣：OBOAAB=a+b，ABOBOA（指向被減向量），OPλa(R)（請學(xué)生說說數(shù)乘運(yùn)算的定義？）空間向量的加法與數(shù)乘向量的運(yùn)算律．⑴加法互換律：a+b=b+a；⑵加法聯(lián)合律：(a+b)+c=a+(b+c)；⑶數(shù)乘分派律：λ(a+b)=λa+λb；⑶數(shù)乘聯(lián)合律：λ(ua)=(λu)a．4.實(shí)行：⑴A1A2A2A3A3A4An1AnA1An；⑵A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；⑶空間平行四邊形法例．5.出示例：已知平行六面體（底面是平行四邊形的四棱柱）ABCDA'B'C'D'（如圖），化簡以下向量表達(dá)式，并標(biāo)出化簡結(jié)果的向量：⑴ABBC；⑵ABADAA'；(3)ABAD1CC'；⑷1(ABADAA')．23師生共練→變式訓(xùn)練6.練習(xí)：課本P927.小結(jié)：見解、運(yùn)算、思想（由平面向量類比學(xué)習(xí)空間向量）三、堅(jiān)固練習(xí)：作業(yè)：P106A組1、2題.奎屯市第一高級中學(xué)第4頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第2課時(shí)§3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（二）授課要求：認(rèn)識共線或平行向量的見解，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；掌握空間直線的向量參數(shù)方程；會運(yùn)用上述知識解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題．授課重點(diǎn)：空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點(diǎn)的向量公式．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入1.回首平面向量向量知識：平行向量或共線向量？怎樣判斷向量b與非零向量a可否共線？方向同樣或許相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一組平行向量都能夠平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.稱平面向量共線定理，二、新課解說1.定義：與平面向量同樣，若是表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．a(chǎn)平行于b記作a//b．2．對于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間隨意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.a∥b（a≠0），則有b＝a，其理解：⑴上述定理包括兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判判斷理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使b＝a（a≠0），則有a∥b（若用此結(jié)論判斷a、b所在直線平行，還需a（或b）上有一點(diǎn)不在b（或a）上）.⑵對于確定的和a，b＝a表示空間與a平行或共線，長度為|a|，當(dāng)>0時(shí)與a同向，當(dāng)<0時(shí)與a反向的所有向量.3.推論：若是l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對于隨意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t知足等式OPOAta．其中向量a叫做直線l的方向向量.推論證明以下：∵l//a，∴對于l上隨意一點(diǎn)P，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得APta．(*)又∵對于空間隨意一點(diǎn)O，有APOPOA，∴OPOAta，OPOAta．①若在l上取ABa，則有OPOAtAB．()又∵ABOBOA∴OPOAt(OBOA)(1t)OAtO．B②當(dāng)t1時(shí)，OP1(OAOB)．③22理解：⑴表達(dá)式①和②都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段的中點(diǎn)公式．事實(shí)上，表達(dá)式(*)和()既是表達(dá)式①和②的基礎(chǔ)，也是直線參數(shù)方程的表達(dá)形式．⑵表達(dá)式①和②三角形法例得出的，能夠據(jù)此記憶這兩個(gè)公式．⑶推論一般用于解決空間中的三點(diǎn)共線問題的表示或判斷．A空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完好同樣，是平面向量有關(guān)知識的實(shí)行．C4.出示例1：用向量方法證明按次連結(jié)空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形是平D行四邊形.（分析：怎樣用向量方法來證明？）5.出示例2：如圖O是空間隨意一點(diǎn)，C、D是線段AB的三均分點(diǎn)，分B別用OA、OB表示OC、OD.O三、堅(jiān)固練習(xí)：作業(yè)：奎屯市第一高級中學(xué)第5頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第3課時(shí)§空間向量的數(shù)乘運(yùn)算（三）授課要求：認(rèn)識向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推論；掌握點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件；會用上述知識解決立幾中有關(guān)的簡單問題．授課重點(diǎn)：點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件．授課難點(diǎn)：對點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運(yùn)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入空間向量的有關(guān)知識——共線或平行向量的見解、共線向量定理及其推論以及空間直線的向量表示式、中點(diǎn)公式．2.必修④《平面向量》，平面向量的一個(gè)重要定理——平面向量基本定理：若是e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)的隨意一個(gè)向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ、1λ，使a＝λ＋λe1、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．21e12e2.其中不共線向量2二、新課解說1.定義：若是表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面α平行或在平面α內(nèi)，則稱向量a平行于平面α，記作a//α．向量與平面平行，向量所在的直線能夠在平面內(nèi)，而直線與平面平行時(shí)兩者是沒有公共點(diǎn)的．2.定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不用然是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．討論：空間中隨意三個(gè)向量必然是共面向量嗎？請舉例說明．結(jié)論：空間中的隨意三個(gè)向量不用然是共面向量．比方：對于空間四邊形ABCD，AB、AC、AD這三個(gè)向量就不是共面向量．討論：空間三個(gè)向量具備怎樣的條件時(shí)才是共面向量呢？5.得出共面向量定理：若是兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對x，y，使得p=xa+yb．證明：必要性：由已知，兩個(gè)向量a、b不共線．∵向量p與向量a、b共面∴由平面向量基本定理得：存在一對有序?qū)崝?shù)對x，y，使得p=xa+yb．充分性：如圖，∵xa，yb分別與a、b共線，∴xa，yb都在a、b確定的平面內(nèi)．又∵xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對角線所表示的向量，并且此平行四邊形在a、b確定的平面內(nèi)，∴p=xa+yb在a、b確定的平面內(nèi)，即向量p與向量a、b共面．說明：當(dāng)p、a、b都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)質(zhì)上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判準(zhǔn)時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)．6.共面向量定理的推論是：空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使得MPxMAyMB，①或?qū)τ诳臻g隨意必然點(diǎn)O，有OPOMxMAy．M②分析：⑴推論中的x、y是唯一的一對有序?qū)崝?shù)；⑵由OPOMxMAyMB得：OPOMx(OAOM)y(OBOM)，∴OP(1xy)OMxOAyOB③公式①②③都是P、M、A、B四點(diǎn)共面的充要條件．例題：課本P95例1，解略．→小結(jié)：向量方法證明四點(diǎn)共面三、堅(jiān)固練習(xí)1.練習(xí)：課本P96練習(xí)3題.2.作業(yè)：課本P96練習(xí)2題.奎屯市第一高級中學(xué)第6頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第4課時(shí)§3.1.3空間向量的數(shù)量積運(yùn)算授課要求：掌握空間向量夾角和模的見解及表示方法；掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的見解、性質(zhì)和計(jì)算方法及運(yùn)算律；掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題.授課重點(diǎn)：兩個(gè)向量的數(shù)量積的計(jì)算方法及其應(yīng)用．授課難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入1.復(fù)習(xí)平面向量數(shù)量積定義：2.平面向量中有兩個(gè)平面向量的數(shù)量積，與其近似，空間兩個(gè)向量也有數(shù)量積.二、新課解說1.兩個(gè)非零向量夾角的見解：已知兩個(gè)非零向量a與b，在空間中任取一點(diǎn)O，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB叫做向量a與b的夾角，記作＜a,b＞．說明：⑴規(guī)定：0＜a，b＞．當(dāng)＜a、b＞＝０時(shí)，a與b同向；當(dāng)＜a、b＞＝π時(shí)，a與b反向；當(dāng)＜a、b＞＝時(shí)，稱a與b垂直，記a⊥b．2a,b＞＝＜b,a＞．⑵兩個(gè)向量的夾角唯一確定且＜⑶注意：①在兩向量的夾角定義中，兩向量必定是同起點(diǎn)的．②＜a,b＞(a,b)兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知空間兩個(gè)向量a與b，|a||b|cos＜a、b＞叫做向量a、b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos＜a,b＞.說明：⑴零向量與任向來量的數(shù)量積為0，即0·a＝０；⑵符號“·”在向量運(yùn)算中不是乘號，既不能夠省略，也不能夠用“×”代替.幾何意義：已知向量AB＝a和軸l，e是l上和l同方向的單位向量．作點(diǎn)A在l上的射影A′，點(diǎn)B在l上的射影B′，則A'B'叫做向量AB在軸l上或在e方向上的正射影，簡稱射影．能夠證明：A'B'＝｜AB｜c(diǎn)os＜a,e＞＝a·e．說明：一個(gè)向量在軸上的投影的見解，就是a·e的幾何意義．空間數(shù)量積的性質(zhì)：依照定義，空間向量的數(shù)量積和平面向量的數(shù)量積同樣，擁有以下性質(zhì)：⑴a·e＝｜a｜·cos＜a,e＞；⑵a⊥ba·b＝０⑶當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝｜a｜·｜b｜；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－｜a｜·｜b｜.特別地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝aaa2.cos＜a,b＞＝ab;⑸｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜.ab空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律：與平面向量的數(shù)量積同樣，空間向量的數(shù)量積有以下運(yùn)算律：⑴(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘聯(lián)合律)；⑵a·b＝b·a(互換律)；⑶a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分派律)a2＝｜a｜2，(a＋b)2＝a2＋２a·b＋b2說明：⑴(a·b)c≠a（b·с）；⑵有以下常用性質(zhì)：5.授課例題：課本P98例2、例3（略）三、堅(jiān)固練習(xí)作業(yè)：課本P101例4奎屯市第一高級中學(xué)第7頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第5課時(shí)§3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示授課要求：掌握空間向量的正交分解及空間向量基本定理和坐標(biāo)表示；掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算的規(guī)律；會依照向量的坐標(biāo)，判斷兩個(gè)向量共線或垂直．授課重點(diǎn)：空間向量基本定理、向量的坐標(biāo)運(yùn)算．授課難點(diǎn)：理解空間向量基本定理．授課過程：一、新課引入1.回首：平面向量的加減與數(shù)乘運(yùn)算以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，2.復(fù)習(xí)：平面向量基本定理.二、解說新課1.類比：由平面向量的基本定理，對平面內(nèi)的隨意愿量a，均可分解為不共線的兩個(gè)向量1a1和2a2，使a1a12a2.若是a1a2時(shí)，這種分解就是平面向量的正交分解.若是取a1,a2為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸方向的兩個(gè)單位向量i,j，則存在一對實(shí)數(shù)x、y，使得axiyj，即獲得平面向量的坐標(biāo)表示a(x,y).實(shí)行到空間向量，結(jié)論會怎樣呢？(1)空間向量的正交分解：對空間的隨意愿量a，均可分解為不共面的三個(gè)向量1a1、2a2、3a3，使a1a12a23a3.若是a1,a2,a3兩兩垂直，這種分解就是空間向量的正交分解.(2)空間向量基本定理：若是三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對空間任向來量p，存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z}，使得pxaybzc.把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底（base），a,b,c都叫做基向量.2.單位正交基底：若是空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長度都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，平常用｛i,j,k｝表示．單位——三個(gè)基向量的長度都為1；正交——三個(gè)基向量互相垂直．采用空間一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底｛i,j,k｝，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i,j,k的方向?yàn)檎较虺闪⑷龡l坐標(biāo)軸：x軸、y軸、z軸，獲得空間直角坐標(biāo)系O-xyz，3.空間向量的坐標(biāo)表示：給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系和向量a，且設(shè)i、j、k為坐標(biāo)向量，則存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(a,a,a3)，使a＝a＋a2j＋a．121i3k空間中相等的向量其坐標(biāo)是同樣的．→討論：向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系？向量在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)的求法：設(shè)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB＝OB－OA＝(x2,y2,z2)－(x1,y1,z1)＝(x2x1,y2y1,z2z1)．4.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；⑷·＝a1b1a2b2a3b3ab證明方法：與平面向量同樣，將a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可．5.兩個(gè)向量共線或垂直的判斷：設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則⑴a//ba＝λba1b1,a2b2,a3b3，(R)a1a2a3；b1b2b3⑵a⊥ba·b=0a1b1a2b2a3b30．6.練習(xí)：已知a＝(2,3,5)，b＝(3,1,4)，求a＋b，a－b，8a，a·b．解：略．出示例：課本P101例4.（解略）三、堅(jiān)固練習(xí)作業(yè)：課本P102練習(xí)2、3題.奎屯市第一高級中學(xué)第8頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第6課時(shí)§空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示（夾角和距離公式）授課要求：掌握空間向量的長度公式、夾角公式、兩點(diǎn)間距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并會用這些公式解決有關(guān)問題．授課重點(diǎn)：夾角公式、距離公式．授課難點(diǎn)：夾角公式、距離公式的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算法例：設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，則⑴a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑵a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)；⑶λa＝(a1,a2,a3)(R)；⑷a·b＝a1b1a2b2a3b3上述運(yùn)算法例怎樣證明呢？（將a＝a1i＋a2j＋a3k和b＝b1i＋b2j＋b3k代入即可）怎樣求一個(gè)空間向量的坐標(biāo)呢？（表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)．）二、新課解說⒈向量的模：設(shè)a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，求這兩個(gè)向量的模.｜a｜＝a12a22a32，｜b｜＝b12b22b32．這兩個(gè)式子我們稱為向量的長度公式．這個(gè)公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度．2.夾角公式推導(dǎo)：∵a·b＝|a||b|cos＜a,b＞∴a1b1a2b2＝aba12a22a32·b12b22b32·cos＜a,b＞由此能夠得出：cos＜a,b＞＝a1b1a2b2a3b3a12a22a32b12b22b32這個(gè)公式成為兩個(gè)向量的夾角公式．利用這個(gè)共鳴，我們能夠求出兩個(gè)向量的夾角，并能夠進(jìn)一步得出兩個(gè)向量的某些特別地點(diǎn)關(guān)系：當(dāng)cos＜a、b＞＝1時(shí)，a與b同向；當(dāng)cos＜a、b＞＝－1時(shí)，a與b反向；當(dāng)cos＜a、b＞＝0時(shí)，a⊥b．3.兩點(diǎn)間距離共鳴：利用向量的長度公式，我們還能夠得出空間兩點(diǎn)間的距離公式：在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則、222，其中d、B表示A與B兩點(diǎn)間的距離．dAB(x2x1)(y1y2)(z1z2)A3.練習(xí)：已知A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：⑴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)和長度；⑵到A、B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)P(x,y,z)的坐標(biāo)x、y、z知足的條件．（答案：(2,3,3)；29；4x6y8z70）2說明：⑴中點(diǎn)坐標(biāo)公式：OM1(OAOB)＝(x1x2,y1y2,z1z2)；2222⑵中點(diǎn)p的軌跡是線段AB的垂直均分平面．在空間中，對于x、y、z的三元一次方程的圖形是平面．4.出示例5：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，1111A1B1，求BE1BEDF4與DF1所成的角的余弦值．分析：怎樣建系？→點(diǎn)的坐標(biāo)？→怎樣用向量運(yùn)算求夾角？→變式：課本P104、例65.用向量方法證明：若是兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行．三.堅(jiān)固練習(xí)作業(yè)：課本P105練習(xí)3題.奎屯市第一高級中學(xué)第9頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第7課時(shí)：§3.2立體幾何中的向量方法（一）授課要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．授課難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入1.用向量解決立體幾何中的一些典型問題的基本思慮方法是：⑴怎樣把已知的幾何條件（如線段、角度等）轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄勘硎?；⑵考慮一些未知的向量可否用基向量或其他已知向量表式；⑶怎樣對已經(jīng)表示出來的向量進(jìn)行運(yùn)算，才能獲得需要的結(jié)論？通法分析：利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)能夠解決哪些問題呢？⑴利用定義a·b＝|a||b|cos＜a,b＞或cos＜a,b＞＝ab，可求兩個(gè)向量的數(shù)量積或夾角ab問題；⑵利用性質(zhì)a⊥ba·b＝０能夠解決線段或直線的垂直問題；⑶利用性質(zhì)a·a＝｜a｜2，能夠解決線段的長或兩點(diǎn)間的距離問題．二、例題解說1.出示例1：已知空間四邊形OABC中，OABC，OBAC．求證：OCAB．證明：OC·AB＝OC·(OBOA)＝OC·OB－OC·OA．∵OABC，OBAC，∴OA·BC0，OB·AC0，OA·(OCOB)0，OB·(OCOA)0．∴OA·OCOA·OB，OB·OCOB·OA．∴OC·OB＝OC·OA，OC·AB＝0．∴OCAB2.出示例2：如圖，已知線段AB在平面α內(nèi)，線段AC，線段BD⊥AB，線段DD'，DBD'30，若是AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D間的距離．解：由AC，可知ACAB．由DBD'30可知，＜CA,BD＞＝120，∴|CD|2＝(CAABBD)2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2(CA·AB＋CA·BD＋AB·BD)＝b2a2b22b2cos120＝a2b2．∴CDa2b2．3.出示例3：如圖，M、N分別是棱長為1的正方體ABCDA'B'C'D'的棱BB'、B'C'的中點(diǎn)．求異面直線MN與CD'所成的角．解：∵M(jìn)N＝1(CC'BC)，CD'＝CC'CD，2∴MN·CD'＝1(CC'BC)·(CC'CD)＝1(|CC'|2＋CC'CD＋BC·CC'＋22BC·CD)．∵CC'CD，CC'BC，BCCD，∴CC'CD0，BC·CC'0，BC·CD0，∴MN·CD'＝1|CC'|2＝1．求得cos＜MN,CD'＞1，∴＜MN,CD'＞＝60.222小結(jié)：利用向量解幾何題的一般方法：把線段或角度轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄勘硎臼?，并用已知向量表示未知向量，爾后?jīng)過向量的運(yùn)算去計(jì)算或證明．三、堅(jiān)固練習(xí)作業(yè)：課本P116練習(xí)1、2題.奎屯市第一高級中學(xué)第10頁新課標(biāo)人教版高中數(shù)學(xué)選修2-1第三章空間向量與立體幾何王新敞第8課時(shí)：§3.2立體幾何中的向量方法（二）授課要求：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．掌握利用向量運(yùn)算解幾何題的方法，并能解簡單的立體幾何問題．授課重點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．授課難點(diǎn)：向量運(yùn)算在幾何證明與計(jì)算中的應(yīng)用．授課過程：一、復(fù)習(xí)引入討論：將立體幾何問題轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄繂栴}的路子？1）經(jīng)過一組基向量研究的向量法，它利用向量的見解及其運(yùn)算解決問題；2）經(jīng)過空間直角坐標(biāo)系研究的坐標(biāo)法，它經(jīng)過坐標(biāo)把向量轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)及其運(yùn)算來解決問題.二、例題解說1.出示例1：如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD的中點(diǎn)，求證：D1F平面ADE．證明：不如設(shè)已知正方體的棱長為１個(gè)單位長度，且設(shè)DA＝i，DC＝j(luò)，DD1＝k．以i、j、k為坐標(biāo)向量成立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則11∵AD＝(-1,0,0)，D1F＝(0,,-1)，∴AD·D1F＝(-1,0,0)·(0,,-1)＝0，∴D1FAD．12112又AE＝(0,1,)，∴AE·D1F＝(0,1,)·(0,,-1)＝0，∴D1FAE．222又ADAEA，∴D1F平面ADE．說明：⑴“不如設(shè)”是我們在解題中常用的小技巧，平?？捎糜谠O(shè)定某些與題目要求沒關(guān)的一些數(shù)據(jù)，以使問題的解決簡單化．如在立體幾何中求角的大小、判斷直線與直線或直線與平面的地點(diǎn)關(guān)系時(shí)，能夠約定一些基本的長度．⑵空間直角坐標(biāo)些成立，能夠采用隨意一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底，但詳細(xì)設(shè)置時(shí)仍應(yīng)注意幾何體中的點(diǎn)、線、面的特點(diǎn)，把它們放在適合的地點(diǎn)，才能方便計(jì)算和證明．出示例2：課本P116例3分析：怎樣轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄繂栴}？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？出示例3：課本P118例4分析：怎樣轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄繂栴}？進(jìn)行怎樣的向量運(yùn)算？出示例4：證：若是兩條直線同垂直于一個(gè)平面，則這兩條直線平行．改寫為：已知：直線OA⊥平面α，直線BD⊥平面α，O、B為垂足．求證：OA//BD．證明：以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線OA為非負(fù)z軸，