北京平谷區(qū)第八中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

北京平谷區(qū)第八中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中,tanA是以為第3項(xiàng),4為第7項(xiàng)的等差數(shù)列的公差;tanB是以為第3項(xiàng),9為第6項(xiàng)的等比數(shù)列的公比,則該三角形為（

）A．等腰三角形

B．銳角三角形C．直角三角形

D．鈍角三角形參考答案：B略2.一個(gè)錐體的主視圖和左視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是（

）參考答案：C略3.下列說(shuō)法正確的是

（

）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“已知，若，則或”是真命題C．“在上恒成立”“在上恒成立”D．命題“若，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)”的逆命題為真命題參考答案：B略4.已知a∈（，），sinα=，則tan2α=

（

）A. B. C. D.參考答案：C略5.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性B4B3C和是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，為奇函數(shù)，故選C.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)之奇偶和增減的定義可求.6.設(shè)函數(shù)則=（

）A.2

B.1

C.-2

D.-1參考答案：D略7.已知，，，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.復(fù)數(shù)z=i2(1+i)的虛部為（

）A.

1

B.

i

C.

-1

D.

–i參考答案：C略9.某公司準(zhǔn)備招聘了一批員工．有20人經(jīng)過(guò)初試，其中有5人是與公司所需專(zhuān)業(yè)不對(duì)口，其余都是對(duì)口專(zhuān)業(yè)，在不知道面試者專(zhuān)業(yè)情況下，現(xiàn)依次選取2人進(jìn)行第二次面試，第一個(gè)人已面試后，則第二次選到與公司所需專(zhuān)業(yè)不對(duì)口的概率是（

）A． B． C． D．參考答案：C．因?yàn)橛?人是與公司所需專(zhuān)業(yè)不對(duì)口，第二次選到與公司所需專(zhuān)業(yè)不對(duì)口有5種可能，有20人經(jīng)過(guò)初試有20種可能，所以．故選C．10.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an﹣3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（）A．a(chǎn)n=2（n2+n+1） B．a(chǎn)n=3×2n C．a(chǎn)n=3n+1 D．a(chǎn)n=2×3n參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的函數(shù)特性．【分析】利用數(shù)列中an與Sn關(guān)系，得出，且a1=6，由此判定數(shù)列為等比數(shù)列，通項(xiàng)公式可求．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，，解得a1=6．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=，化簡(jiǎn)整理，所以數(shù)列{an}是以6為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列．通項(xiàng)公式an=6×3n﹣1=2×3n．故選D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.空氣質(zhì)量指數(shù)（AirQualityIndex，簡(jiǎn)稱(chēng)AQI）是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士當(dāng)?shù)啬衬甑腁QI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10個(gè)，用莖葉圖記錄如圖．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為為

．（該年為365天）參考答案：146【考點(diǎn)】莖葉圖．【分析】根據(jù)該樣本中AQI大于100的頻數(shù)求出頻率，由此估計(jì)該地全年AQI大于100的頻率與頻數(shù)．【解答】解：該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為，由此估計(jì)該地全年AQI大于100的頻率為，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為365×=146（天）．故答案為：146．12.在正方體中，與所成角的大小為_(kāi)________________.參考答案：13.如圖是一個(gè)算法流程圖，則輸出的的值為

．參考答案：12514.（6分）設(shè)n∈N*，圓的面積為Sn，則=．參考答案：4π考點(diǎn)： 極限及其運(yùn)算；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．專(zhuān)題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 利用圓的面積計(jì)算公式可得Sn=．再利用數(shù)列極限運(yùn)算性質(zhì)即可得出．解答： 解：∵圓的面積為Sn，∴Sn=．∴==4π．故答案為：4π．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了圓的面積計(jì)算公式、數(shù)列極限運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

，最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為

．參考答案：8，【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專(zhuān)題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體是側(cè)面垂直于底面的三棱錐，畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形求出它的體積與最長(zhǎng)的棱長(zhǎng)即可．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是側(cè)面PAB⊥底面ABC的三棱錐，如圖所示；過(guò)點(diǎn)P作PO⊥AB，垂足為O，則PO=4，三棱錐P﹣ABC的體積為××6×2×4=8；三棱錐P﹣ABC的各條棱長(zhǎng)為AB=6，BC=2，AC==2，PA==2，PB==4，PC==6；所以最長(zhǎng)的棱是AC=2．故答案為：8，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題目．16.觀察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…，根據(jù)上述規(guī)律，第五個(gè)等式為

▲

．參考答案：13+23+33+43+53+63=212

略17.將一枚骰子拋擲兩次，記先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為，則方程有實(shí)根的概率為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與軸交于點(diǎn)，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上的任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求的最大值．參考答案：（1）由題設(shè)知，，

由，得．……3分解得．所以橢圓的方程為．…………4分（2）方法1：設(shè)圓的圓心為，則

………………6分

……Ks5u……………7分．………………8分從而求的最大值轉(zhuǎn)化為求的最大值．………………9分因?yàn)槭菣E圓上的任意一點(diǎn)，設(shè)，…………………10分所以，即．…………11分因?yàn)辄c(diǎn)，所以．……………12分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值12．……………13分所以的最大值為11．………………………14分方法2：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)坐標(biāo)為，所以

………………6分所以……………7分

．…………………9分因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即．………10分因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即．…………………11分所以．……………12分因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，．………………14分

方法3：①若直線的斜率存在，設(shè)的方程為，………………6分由，解得．………7分因?yàn)槭菣E圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即．…………8分所以，

……………………9分所以．

……………………10分因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值11．…………11分②若直線的斜率不存在，此時(shí)的方程為，由，解得或．不妨設(shè)，，．…………………Ks5u…12分因?yàn)槭菣E圓上的任一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，所以，即．所以，．所以．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值11．…………13分綜上可知，的最大值為11．………………14分19.設(shè)函數(shù)（1）求f(x)的最小正周期及值域；（2）已知△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，求△ABC的面積．參考答案：（1）=，……………3分所以的最小正周期為，∵∴，故的值域?yàn)椋?/p>

………7分（2）由，得，、又，得，………………9分在中，由余弦定理，得=，又，，…………………11分所以，解得所以，的面積.

……………15分20.2014年“雙節(jié)”期間，高速公路車(chē)輛較多．某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車(chē)中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查，將他們?cè)谀扯胃咚俟返能?chē)速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求這40輛小型車(chē)輛車(chē)速的眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)的估計(jì)值；（2）若從車(chē)速在[60，70）的車(chē)輛中任抽取2輛，求車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛恰有一輛的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；散點(diǎn)圖．【專(zhuān)題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，由此能求出眾數(shù)的估計(jì)值；設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車(chē)速為x，由頻率分布直方圖能求出中位數(shù)的估計(jì)值和平均數(shù)的估計(jì)值．（2）從頻率分布直方圖求出車(chē)速在[60，65）的車(chē)輛數(shù)、車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛數(shù)，設(shè)車(chē)速在[60，65）的車(chē)輛設(shè)為a，b，車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛設(shè)為c，d，e，f，利用列舉法能求出車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛恰有一輛的概率．【解答】解：（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高的矩形的中點(diǎn)，即眾數(shù)的估計(jì)值等于77.5，設(shè)圖中虛線所對(duì)應(yīng)的車(chē)速為x，則中位數(shù)的估計(jì)值為：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×（x﹣75）=0.5，解得x=77.5，即中位數(shù)的估計(jì)值為77.5，平均數(shù)的估計(jì)值為：5×（62.5×0.01+67.5×0.02+72.5×0.04+77.5×0.06+82.5×0.05+87.5×0.02）=77．（2）從圖中可知，車(chē)速在[60，65）的車(chē)輛數(shù)為：m1=0.01×5×40=2（輛），車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛數(shù)為：m2=0.02×5×40=4（輛）設(shè)車(chē)速在[60，65）的車(chē)輛設(shè)為a，b，車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛設(shè)為c，d，e，f，則所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15種其中車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛恰有一輛的事件有：（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f）共8種∴車(chē)速在[65，70）的車(chē)輛恰有一輛的概率為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意列舉法的合理運(yùn)用．21.（本小題滿分14分）設(shè)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)，滿足，且，，（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：（Ⅰ）取，得，取，故數(shù)列是首項(xiàng)是1，公比為的等比數(shù)列，所以取，，得，即，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以（Ⅱ），兩式相減得所以22.已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，它的前n項(xiàng)和為Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：≤Tn