高一數(shù)學(xué)直線與平面垂直的性質(zhì)

高一數(shù)學(xué)直線與平面垂直的性質(zhì)第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日要點(diǎn)一證明直線與直線平行性質(zhì)定理可用來(lái)判定兩直線是否平行，定理揭示了“平行”與“垂直”這兩種特殊位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化．第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例1如右圖所示，已知異面直線a、b與AB垂直相交于A、B，且a、b分別垂直于平面α、β，α∩β＝c，求證：AB∥c.第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日【分析】

由題目可獲取以下主要信息：①AB⊥a，AB⊥b，a、b異面；②a⊥α，b⊥β.解答本題可先利用線⊥面的性質(zhì)得線⊥線，再證平行．第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日完全免費(fèi),無(wú)需注冊(cè),天天更新！第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日【證明】

過(guò)點(diǎn)B引直線a′∥a，a′與b確定的平面設(shè)為γ，因?yàn)锳B⊥b，a′∥a，AB⊥a，所以AB⊥a′，又a′∩b＝B，所以AB⊥γ.因?yàn)閎⊥β，c?β，所以b⊥c①因?yàn)閍⊥α，c?α，所以a⊥c，又a′∥a，所以a′⊥c②由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，所以AB∥c.第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日【規(guī)律方法】判斷線線、線面的平行或垂直關(guān)系，一般依賴于判定定理和性質(zhì)定理，有時(shí)候也可以放到特征幾何體(如正方體，長(zhǎng)方體，正棱柱等)中，判斷它們的位置關(guān)系．第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日變式1如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日證明：如圖所示，連接AB1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1，第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日又BD1?平面BDD1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C.∴EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日要點(diǎn)二證明直線與直線垂直要證線線垂直，只需證線面垂直，只需考慮應(yīng)用線面垂直的定義或判定進(jìn)行證明，從而得出所需結(jié)論．即：第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日因此在解題時(shí)應(yīng)充分體會(huì)線面位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解題過(guò)程中的靈活應(yīng)用．第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例2空間四面體ABCD中，若AB⊥CD，AD⊥BC，求證：AC⊥BD.【分析】

作AO⊥平面BCD，將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直來(lái)證明．第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日【證明】

如圖，作AO⊥平面BCD于O，O為垂足．∵AO⊥平面BCD，∴AO⊥CD.又AB⊥CD且AB∩AO＝A，∴CD⊥平面ABO，∴BO⊥CD.同理得BC⊥DO.第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日∵BO⊥CD，DO⊥BC，∴O為△ABC的垂心，∴CO⊥BD，又AO⊥平面BCD，∴AO⊥BD.又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面ACO，∴BD⊥AC.【規(guī)律方法】欲證線線垂直，先證線面垂直，進(jìn)而由線面垂直的性質(zhì)得出線線垂直．第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日變式2如右圖，PA⊥平面ABC，△ABC是以角C為直角的三角形，現(xiàn)在過(guò)P點(diǎn)作平面PBC的垂線應(yīng)如何作？第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日解：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.過(guò)A作AE⊥PC，則BC⊥AE，而PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.在平面PAC中，過(guò)P作PQ∥AE，則PQ⊥平面PBC.第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日要點(diǎn)三線面垂直性質(zhì)的綜合應(yīng)用直線與平面垂直實(shí)質(zhì)上取決于線與線的垂直，反過(guò)來(lái)，線面的垂直又得到線線的垂直，這是線面垂直的實(shí)質(zhì)．垂直于同一平面的兩條直線平行，它與“如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面”相互結(jié)合，在證明線面垂直的問(wèn)題中發(fā)揮著重要作用．第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日例3如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC.求證：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中點(diǎn)．【分析】

要證明線線平行，要先證線面垂直，即證AD1⊥平面A1DC.第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日三星學(xué)科,教師助手,學(xué)生幫手,家長(zhǎng)朋友！第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日【證明】

(1)∵四邊形ADD1A1為正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵M(jìn)N⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日【規(guī)律方法】若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日變式3如圖所示，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)C的直線VC垂直于圓O所在平面，E是VC的中點(diǎn)，D是VA上的點(diǎn)，若DE⊥平面VBC，試確定D點(diǎn)的位置．第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，2022年，8月28日解：∵VC⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴VC⊥AC，又∵AB是圓O的直徑，∴AC⊥BC，而BC∩VC＝C，∴AC⊥平面V