長春市2019年中考數(shù)學(xué)試題及答案

長春市2019年中考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1．（3分）如圖，數(shù)軸上表示﹣2的點A到原點的距離是（）A．﹣2 B．2 C．﹣ D．2．（3分）2019年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發(fā)送旅客約為275000000人次，275000000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．27.5×107 B．0.275×109 C．2.75×108 D．2.75×3．（3分）如圖是由4個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）不等式﹣x+2≥0的解集為（）A．x≥﹣2 B．x≤﹣2 C．x≥2 D．x≤5．（3分）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為（）A．B． C．D．6．（3分）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子AB的長是3米．若梯子與地面的夾角為α，則梯子頂端到地面的距離C為（）A．3sinα米 B．3cosα米 C．米 D．米7．（3分）如圖，在△ABC中，∠ACB為鈍角．用直尺和圓規(guī)在邊AB上確定一點D．使∠ADC＝2∠B，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的頂點A、C的坐標分別是（0，3）、（3、0）．∠ACB＝90°，AC＝2BC，則函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點B，則k的值為（）A． B．9 C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）9．（3分）計算：3﹣＝．10．（3分）分解因式：ab+2b＝．11．（3分）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判別式的值是．12．（3分）如圖，直線MN∥PQ，點A、B分別在MN、PQ上，∠MAB＝33°．過線段AB上的點C作CD⊥AB交PQ于點D，則∠CDB的大小為度．13．（3分）如圖，有一張矩形紙片ABCD，AB＝8，AD＝6．先將矩形紙片ABCD折疊，使邊AD落在邊AB上，點D落在點E處，折痕為AF；再將△AEF沿EF翻折，AF與BC相交于點G，則△GCF的周長為．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2﹣2ax+（a＞0）與y軸交于點A，過點A作x軸的平行線交拋物線于點M．P為拋物線的頂點．若直線OP交直線AM于點B，且M為線段AB的中點，則a的值為．三、解答題（共10小題，滿分78分）15．（6分）先化簡，再求值：（2a+1）2﹣4a（a﹣1），其中a＝16．（6分）一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，分別是“家”、“家”“樂”，除漢字外其余均相同．小新同學(xué)從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字，用畫樹狀圖（或列表的）方法，求小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率．17．（6分）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務(wù)，實際每天加工彩燈的數(shù)量是原計劃的1.2倍，結(jié)果提前5天完成任務(wù)．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量．18．（7分）如圖，四邊形ABCD是正方形，以邊AB為直徑作⊙O，點E在BC邊上，連結(jié)AE交⊙O于點F，連結(jié)BF并延長交CD于點G．（1）求證：△ABE≌△BCG；（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求的長．（結(jié)果保留π）19．（7分）網(wǎng)上學(xué)習(xí)越來越受到學(xué)生的喜愛．某校信息小組為了解七年級學(xué)生網(wǎng)上學(xué)習(xí)的情況，從該校七年級隨機抽取20名學(xué)生，進行了每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)的調(diào)查．數(shù)據(jù)如下（單位：時）：32.50.61.51223.32.51.82.52.23.541.52.53.12.83.32.4整理上面的數(shù)據(jù)，得到表格如下：網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間x（時）0＜x≤11＜x≤22＜x≤33＜x≤4人數(shù)2585樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：統(tǒng)計量平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)數(shù)值2.4mn根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）上表中的中位數(shù)m的值為，眾數(shù)n的值為．（2）用樣本中的平均數(shù)估計該校七年級學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時間．（3）已知該校七年級學(xué)生有200名，估計每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間超過2小時的學(xué)生人數(shù)．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D、E、F均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以線段AB為邊畫一個△ABM，使其面積為6．（2）在圖②中以線段CD為邊畫一個△CDN，使其面積為6．（3）在圖③中以線段EF為邊畫一個四邊形EFGH，使其面積為9，且∠EFG＝90°．21．（8分）已知A、B兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60千米/時的速度沿此公路從A地勻速開往B地，乙車從B地沿此公路勻速開往A地，兩車分別到達目的地后停止．甲、乙兩車相距的路程y（千米）與甲車的行駛時間x（時）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．（1）乙車的速度為千米/時，a＝，b＝．（2）求甲、乙兩車相遇后y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）當甲車到達距B地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．22．（9分）教材呈現(xiàn)：如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第78頁的部分內(nèi)容．例2如圖，在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，AD，CE相交于點G，求證：＝＝證明：連結(jié)ED．請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖①，寫出完整的證明過程．結(jié)論應(yīng)用：在?ABCD中，對角線AC、BD交于點O，E為邊BC的中點，AE、BD交于點F．（1）如圖②，若?ABCD為正方形，且AB＝6，則OF的長為．（2）如圖③，連結(jié)DE交AC于點G，若四邊形OFEG的面積為，則?ABCD的面積為．23．（10分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．點P從點A出發(fā)，沿AC向終點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿射線CB運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點P到達終點時，P、Q同時停止運動．當點P不與點A、C重合時，過點P作PN⊥AB于點N，連結(jié)PQ，以PN、PQ為鄰邊作?PQMN．設(shè)?PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為S，點P的運動時間為t秒．（1）①AB的長為；②PN的長用含t的代數(shù)式表示為．（2）當?PQMN為矩形時，求t的值；（3）當?PQMN與△ABC重疊部分圖形為四邊形時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（4）當過點P且平行于BC的直線經(jīng)過?PQMN一邊中點時，直接寫出t的值．24．（12分）已知函數(shù)y＝（n為常數(shù)）（1）當n＝5，①點P（4，b）在此函數(shù)圖象上，求b的值；②求此函數(shù)的最大值．（2）已知線段AB的兩個端點坐標分別為A（2，2）、B（4，2），當此函數(shù)的圖象與線段AB只有一個交點時，直接寫出n的取值范圍．（3）當此函數(shù)圖象上有4個點到x軸的距離等于4，求n的取值范圍．參考答案一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1．B2.C3.A4.D5.D6.A7.B8.D二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）9．2．10．b（a+2）．11．5．12．57．13．4+2．14．2．三、解答題（共10小題，滿分78分）15．解：原式＝4a2+4a+1﹣4a＝8a當a＝時，原式＝8a+1＝2．16．解：畫樹狀圖如圖：共有9個等可能的結(jié)果，小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的結(jié)果有5個，∴小新同學(xué)兩次摸出小球上的漢字相同的概率為．17．解：該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為x套，則實際每天加工彩燈的數(shù)量為1.2x套，由題意得：﹣＝5，解得：x＝300，經(jīng)檢驗，x＝300是原方程的解，且符合題意；答：該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數(shù)量為300套．18．（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，AB為⊙O的直徑，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，∴∠EBF＝∠BAF，在△ABE與△BCG中，，∴△ABE≌△BCG（ASA）；（2）解：連接OF，∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，∵OA＝3，∴的長＝＝．19．解：（1）從小到大排列為：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，∴中位數(shù)m的值為＝2.5，眾數(shù)n為2.5；故答案為：2.5，2.5；（2）2.4×18＝43.2（小時），答：估計該校七年級學(xué)生平均每人一學(xué)期（按18周計算）網(wǎng)上學(xué)習(xí)的時間為43.2小時．（3）200×＝130（人），答：該校七年級學(xué)生有200名，估計每周網(wǎng)上學(xué)習(xí)時間超過2小時的學(xué)生人數(shù)為130人．20．解：（1）如圖①所示，△ABM即為所求；（2）如圖②所示，△CDN即為所求；（3）如圖③所示，四邊形EFGH即為所求；21．解：（1）乙車的速度為：（270﹣60×2）÷2＝75千米/時，a＝270÷75＝3.6，b＝270÷60＝4.5．故答案為：75；3.6；4.5；（2）60×3.6＝216（千米），當2＜x≤3.6時，設(shè)y＝k1x+b1，根據(jù)題意得：，解得，∴y＝135x﹣270（2＜x≤3.6）；當3.6＜x≤4.6時，設(shè)y＝60x，∴；（3）甲車到達距B地70千米處時行駛的時間為：（270﹣70）÷60＝（小時），此時甲、乙兩車之間的路程為：135×﹣270＝180（千米）．答：當甲車到達距B地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程為180千米．22．教材呈現(xiàn)：證明：如圖①，連結(jié)ED．∵在△ABC中，D，E分別是邊BC，AB的中點，∴DE∥AC，DE＝AC，∴△DEG∽△ACG，∴＝＝＝2，∴＝＝3，∴＝＝；結(jié)論應(yīng)用：（1）解：如圖②．∵四邊形ABCD為正方形，E為邊BC的中點，對角線AC、BD交于點O，∴AD∥BC，BE＝BC＝AD，BO＝BD，∴△BEF∽△DAF，∴＝＝，∴BF＝DF，∴BF＝BD，∵BO＝BD，∴OF＝OB﹣BF＝BD﹣BD＝BD，∵正方形ABCD中，AB＝6，∴BD＝6，∴OF＝．故答案為；（2）解：如圖③，連接OE．由（1）知，BF＝BD，OF＝BD，∴＝2．∵△BEF與△OEF的高相同，∴△BEF與△OEF的面積比＝＝2，同理，△CEG與△OEG的面積比＝2，∴△CEG的面積+△BEF的面積＝2（△OEG的面積+△OEF的面積）＝2×＝1，∴△BOC的面積＝，∴?ABCD的面積＝4×＝6．故答案為6．23．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．∴AB＝＝＝25．∴，由題可知AP＝5t，∴PN＝AP?sin∠CAB＝＝3t．故答案為：①25；②3t．（2）當?PQMN為矩形時，∠NPQ＝90°，∵PN⊥AB，∴PQ∥AB，∴，由題意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，∴，解得t＝，即當?PQMN為矩形時t＝．（3）當?PQMN△ABC重疊部分圖形為四邊形時，有兩種情況，Ⅰ．如解圖（3）1所示．?PQMN在三角形內(nèi)部時．延長QM交AB于G點，由（1）題可知：cosA＝sinB＝，cosB＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．∴AN＝AP?cosA＝4t，BG＝BQ?cosB＝9﹣3t，QG＝BQ?sinB＝12﹣4t，∵．?PQMN在三角形內(nèi)部時．有0＜QM≤QG，∴0＜3t≤12﹣4t，∴0＜t．∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．∴當0＜t時，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為?PQMN，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S＝PN?NG＝3t?（16﹣t）＝﹣3t2+48t．Ⅱ．如解圖（3）2所示．當0＜QG＜QM，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQMG時，即：0＜12﹣4t＜3t，解得：，?PQMN與△ABC重疊部分圖形為梯形PQMG的面積S＝＝＝．綜上所述：當0＜t時，S＝﹣3t2+48t．當，S＝．（4）當過點P且平行于BC的直線經(jīng)過?PQMN一邊中點時，有兩種情況，Ⅰ．如解題圖（4）1，PR∥BC，PR與AB交于K點，R為MN中點，過R點作RH⊥AB，∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，NK＝PN?cot∠PKN＝3t＝，∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，∴NH＝GH＝，HR＝，∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t）＝7t﹣12．HR＝．∴KH＝HR?cot∠HKR＝＝，∵NK+KH＝NH，∴，解得：t＝，Ⅱ．如解題圖（4）2，PR∥BC，PR與AB交于K點，R為MQ中點，過Q點作QH⊥PR，∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四邊形PCQH為矩形，∴HQ＝QR?sin∠QRH＝∵PC＝20﹣5t，∴20﹣5t＝，解得t＝．綜上所述：當t＝或時，點P且平行于BC的直線經(jīng)過?PQMN一邊中點時，24．解：（1）當n＝5時，y＝，①將P（4，b）代入y＝﹣x2+x+，∴