2023年上海市寶山區(qū)吳淞中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)向量＝（2，4）與向量＝（x，6）共線，則實(shí)數(shù)x＝（）A．2 B．3 C．4 D．62．如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為（）A． B． C． D．3．已知某數(shù)列的前項(xiàng)和（為非零實(shí)數(shù)），則此數(shù)列為（）A．等比數(shù)列 B．從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列C．當(dāng)時(shí)為等比數(shù)列 D．從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列或等差數(shù)列4．設(shè)為等比數(shù)列，給出四個(gè)數(shù)列：①，②，③，④.其中一定為等比數(shù)列的是（）A．①③ B．②④ C．②③ D．①②5．在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：，點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，分別在圓和圓上，且，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．46．若圓與圓外切，則（）A．21 B．19 C．9 D．-117．無(wú)窮數(shù)列1,3,6,10，…的通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．8．如圖，某船在A處看見(jiàn)燈塔P在南偏東方向，后來(lái)船沿南偏東的方向航行30km后，到達(dá)B處，看見(jiàn)燈塔P在船的西偏北方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是：A．10kmB．20kmC．D．9．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-210．已知點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別在線段上運(yùn)動(dòng)，則的周長(zhǎng)的最小值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等邊，為中點(diǎn)，若點(diǎn)是所在平面上一點(diǎn)，且滿足，則__________.12．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值是_____.13．函數(shù)的最大值為．14．已知函數(shù)，則______.15．已知圓Ω過(guò)點(diǎn)A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝0的距離為_____．16．將角度化為弧度：________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，點(diǎn)P，Q在單位圓上，以x軸正半軸為始邊，以射線為終邊的角為，以射線為終邊的角為，滿足.（1）若，求（2）當(dāng)點(diǎn)P在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求函數(shù)的解析式，并求的最大值.18．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．19．已知，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，且，，，求角A的大?。?0．如圖，等邊所在的平面與菱形所在的平面垂直，分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，，求三棱錐的體積21．設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，且，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式：（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】由向量平行的性質(zhì)，有2∶4＝x∶6，解得x＝3，選B考點(diǎn)：本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，向量共線的性質(zhì)，考查基本的運(yùn)算能力.2、C【解析】

試題分析：從中任取3個(gè)不同的數(shù)共有10種不同的取法，其中的勾股數(shù)只有3,4,5，故3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的取法只有1種，故所求概率為，故選C.考點(diǎn)：古典概型3、D【解析】

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，運(yùn)用數(shù)列的遞推式：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，（為非零實(shí)數(shù)）.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若，則，此時(shí)，該數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等差數(shù)列；若且，不滿足，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，該數(shù)列是從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列.綜上所述，此數(shù)列為從第二項(xiàng)起的等比數(shù)列或等差數(shù)列.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用，等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，考查分類討論思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．4、D【解析】

設(shè)，再利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)逐一分析判斷每一個(gè)選項(xiàng)得解.【詳解】設(shè)，①,,所以數(shù)列是等比數(shù)列；②，，所以數(shù)列是等比數(shù)列；③，不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列；④，不是一個(gè)常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的判定，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5、A【解析】

由得，根據(jù)向量的運(yùn)算和兩點(diǎn)間的距離公式，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設(shè)，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡(jiǎn)得，∴點(diǎn)的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M(jìn)在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應(yīng)用，以及點(diǎn)圓的最值問(wèn)題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點(diǎn)的軌跡方程，再利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．6、C【解析】試題分析：因?yàn)?所以且圓的圓心為,半徑為,根據(jù)圓與圓外切的判定(圓心距離等于半徑和)可得,故選C.考點(diǎn)：圓與圓之間的外切關(guān)系與判斷7、C【解析】試題分析：由累加法得:,分別相加得,,故選C.考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式.8、C【解析】

在中，利用正弦定理求出得長(zhǎng)，即為這時(shí)船與燈塔的距離，即可得到答案．【詳解】由題意，可得，即，在中，利用正弦定理得，即這時(shí)船與燈塔的距離是，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握正弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

根據(jù)f（x）是R上的奇函數(shù)，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時(shí)，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數(shù)，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數(shù)，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時(shí)，；∴由奇函數(shù)性質(zhì)可得；∴；∴時(shí)，；∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性和周期性求值，此類問(wèn)題一般根據(jù)條件先推導(dǎo)出周期，利用函數(shù)的周期變換來(lái)求解，考查理解能力和計(jì)算能力，屬于中等題.10、C【解析】

分別求出設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值，為，利用兩點(diǎn)間的距離公式，求出答案.【詳解】過(guò)兩點(diǎn)的直線方程為設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則，解得即，同理可求關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)，當(dāng)共線時(shí)的周長(zhǎng)取得最小值為.故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱性的簡(jiǎn)單應(yīng)用，試題的技巧性較強(qiáng)，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、0【解析】

利用向量加、減法的幾何意義可得，再利用向量數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】根據(jù)向量減法的幾何意義可得：,即,所以.故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加、減法的幾何意義以及向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.12、4【解析】試題分析：由于根據(jù)題意x,y滿足的關(guān)系式，作出可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y在邊界點(diǎn)（2，0）處取到最小值z(mì)=2×2+3×0=4，故答案為4.考點(diǎn)：本試題主要考查了線性規(guī)劃的最優(yōu)解的運(yùn)用．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是解決線性規(guī)劃的小題時(shí)，常用“角點(diǎn)法”，其步驟為：①由約束條件畫出可行域?②求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)?③將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)?④驗(yàn)證，求出最優(yōu)解.13、【解析】略14、【解析】

根據(jù)題意令f（x）＝，求出x的值，即可得出f﹣1（）的值．【詳解】令f（x）＝+arcsin（2x）＝，得arcsin（2x）＝﹣，∴2x＝﹣，解得x＝﹣，∴f﹣1（）＝﹣．故答案為：﹣．【點(diǎn)睛】本題考查了反函數(shù)以及反正弦函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

求得線段和線段的垂直平分線，求這兩條垂直平分線的交點(diǎn)即求得圓的圓心，在求的圓心到直線的距離.【詳解】∵A（5，1），B（5，3），C（﹣1，1），∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（5，2），則AB的垂直平分線方程為y＝2；BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），，則BC的垂直平分線方程為y﹣2＝﹣3（x﹣2），即3x+y﹣8＝1．聯(lián)立，得．∴圓Ω的圓心為Ω（2，2），則圓Ω的圓心到直線l：x﹣2y+1＝1的距離為d．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)求圓心坐標(biāo)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

根據(jù)角度和弧度的互化公式求解即可.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查角度和弧度的互化公式，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），最大值.【解析】

（1）由角的定義求出，再由數(shù)量積定義計(jì)算；（2）由三角函數(shù)定義寫出坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，計(jì)算出，利用兩角和的正弦公式可化函數(shù)為一個(gè)三角函數(shù)形式，由正弦函數(shù)性質(zhì)可求得最大值．【詳解】（1）由圖可知，，..（2）由題意可知，.因?yàn)?，，所?所以，.所以.當(dāng)（）時(shí)，取得最大值.【點(diǎn)睛】本題考查任意角的定義，平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)．本題解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義，表示出坐標(biāo)．18、（1）；（2）【解析】

（1）分別求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到數(shù)量積為0，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，再求的值.【詳解】(1)，，，∴.(2)．若，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用及兩向量垂直求參數(shù)的值，考查基本的運(yùn)算求解能力.19、【解析】

由正弦定理得，即得，再利用余弦定理求解.【詳解】因?yàn)樵谌切蜛BC中，由正弦定理得．又因?yàn)?，所以得，由余弦定理得．又三角形?nèi)角在．故角A為．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

解法一：（1）取中點(diǎn)，連接，，證出，利用線面平行的判定定理即可證出.（2）取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，過(guò)作于，可得平面，由即可求解.解法二：（1）取中點(diǎn)，連接，證出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證出平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)定理即可證出.（2）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由，利用三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】解法一：（1）取中點(diǎn)，連接，.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）取中點(diǎn)，連接，則，且，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面同理，在平面?nèi)，過(guò)作于，則平面，且，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，.解法二：（1）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)椋?，所以四邊形為平行四邊形，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）取中點(diǎn)，連接，依題意，為等邊三角形，所以，且.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體的體積及、直線與直線