數(shù)值分析試卷及其答案

----字則2故22、(本題6分)用列主元Gauss消去法解線性方程組.(3x+x_x=1323解:|B|B1343333|——r)2r13143300|)74437_4345]74(4(4即)-3474337-4]「]「-34033-]](((1分)，，3、(本題6分)已知A=|L-解:33，2w21(1分)w(3分)122--(1分)4、(本題7分)給定線性方程組32]「x]「4](1)試分別寫出Jacobi迭代格式和Gauss-Seidel迭代格式；(2)分析Gauss-Seidel迭代格式的收斂性.解：(1)Jacobi迭代格式為：(x(k+1)=(4+3x(k)-2x(k))/15(x(k+1)=(4+3x(k)-2x(k))/15-32入-入812418-32故Gauss-Seidel迭代格式發(fā)(3分)--001k222故(2)弦截法的迭代公式為1計(jì)算得2222故(4分)6、(本題8分)給定數(shù)據(jù)如下xxf(x)232(1)寫出f(x)的3次Lagrange插值多項(xiàng)式L(x)3--1(x1(xx)(xx)(xx)101213(xx)(xx)(xx)3x=0f(x)=10x=2f(x)=311x=3f(x)=422x=5f(x)=233由于n次Lagrange插值多項(xiàng)式的基函數(shù)為(xx)(xx)...(xx)(xx)...(xx)l=01k1k+1nk(xx)...(xxl=01k1k+1nk0kk1kk+1knl(x)=1230(xxl(x)=1230(xx)(xx)(xx)010203(xx)(xx)(x(xx)(xx)(xx)6l(x)=0132(xx)(xx)(xx)2021236----l(x)=(xx)(xx)(xx)0123(xx)(xx)(xx)303132==(3分)故所求三次Lagrange插值多項(xiàng)式L(x)=f(x)l(x)+f(x)l(x)+f(x)l(x)+f(x)l(x)3001122333066315(2)由題中所給數(shù)據(jù),構(gòu)造下列差商表三階差三階差商15二階差商1343一階差商-13f(x)1-32x----N(x)=f(x)+f[x,x](xx)+f[x,x,x](xx)(xx)001001201+f[x,x,x,x](xx)(xx)(xx)012故所求三次Newton插值多項(xiàng)式3357、(本題8分)設(shè)f(x)=1，且a,x,x,...,x互不相同，證明ax01n01knk(ax)jj=0并寫出f(x)的n次Newton插值多項(xiàng)式．來(lái)證明f[x,x]=f(x)f(x)10=axax10=1ax0a+x1=101xxxxxx(ax)(ax)(ax)(ax)10101010即當(dāng)k=1時(shí)公式成立.(2分)即f[x,x,...,x]=101mnm(ax)ii=0f[x,x,...,x]=11(a1(axi)那么當(dāng)k=m+1時(shí)----01m+1x-x12m+101mm+10() 1|11|1(a-x)-(a-x)i=0i=0i=01ikn成立我們以x,x,...,x為插值節(jié)點(diǎn)來(lái)求n次Newton插值多項(xiàng)式01nN(x)=f(x)+f[x,x](x-x)+f[x,x,x](x-x)(x-x)+...3001001201+f[x,x,...,x](x-x)(x-x)...(x-x)01n01n-1故所求插值多項(xiàng)式為kio(x)=(x-x)(x-x)...(x-x)k-101k(4分)xxiyii23x01----30x一x0000001103(3分)nx0101101000010210300421042l203142〈(1分)爪爪022--R[f]1e1dx并估計(jì)各種方法的誤差(要求小數(shù)點(diǎn)后至少保留5位).2(1分)06 (2分)其誤差(1分)900(2(1----1．006．0xf(x)x4則422則2611kkk=0其中x是P(x)的零點(diǎn)kn+1令x=t+2則x[1,3]時(shí)t[1,1](1分)而11(2分)--(1(1(211(2分)11--223332234234(2分)112233