江蘇省連云港市贛榆區(qū)2023年數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖所示是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中CN與BM所成角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°2．函數(shù)f(x)=4A．2kπ+π6C．2kπ+π123．黃金分割比是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，約為0.618，這一比值也可以表示為a＝2cos72°，則＝（）A． B．1 C．2 D．4．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A． B． C． D．5．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，在?nèi)任取一點(diǎn)，的概率是（）A． B． C． D．6．如圖，是水平放置的的直觀圖，則的面積是（）A．6 B． C． D．127．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．若，則下列結(jié)論成立的是（）A． B．C．的最小值為2 D．9．已知向量，滿足，，，則（）A．3 B．2 C．1 D．010．已知，若關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A． B． C．1 D．7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)向量，若，，則.12．在中，，是線段上的點(diǎn)，，若的面積為，當(dāng)取到最大值時(shí)，___________.13．__________．14．甲船在島的正南處，，甲船以每小時(shí)的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船自出發(fā)以每小時(shí)的速度向北偏東的方向駛?cè)ィ?、乙兩船相距最近的距離是_____.15．函數(shù)且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線上（其中m，n＞0），則的最小值等于__________.16．已知等差數(shù)列中，，則_______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長(zhǎng).設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款（年底余額）如下表：年份

2010

2011

2012

2013

2014

時(shí)間代號(hào)

1

2

3

4

5

儲(chǔ)蓄存款（千億元）

5

6

7

8

10

（Ⅰ）求y關(guān)于t的回歸方程（Ⅱ）用所求回歸方程預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年（）的人民幣儲(chǔ)蓄存款.附：回歸方程中18．在數(shù)列中，，.（1）分別計(jì)算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.19．記Sn為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并判斷Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差數(shù)列．20．在直角中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使得，連接.（1）若，求的值；（2）求角D的最大值.21．已知方程；（1）若，求的值；（2）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若方程在區(qū)間上有兩個(gè)相異的解、，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

把展開圖再還原成正方體如圖所示:由于BE和CN平行且相等，故∠EBM(或其補(bǔ)角)為所求.再由△BEM是等邊三角形，可得∠EBM=60°,從而得出結(jié)論.【詳解】把展開圖再還原成正方體如圖所示:由于BE和CN平行且相等，故異面直線CN與BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM(或其補(bǔ)角)為所求,再由BEM是等邊三角形，可得∠EBM=60,故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求異面直線所成的角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.2、D【解析】

解不等式4sin【詳解】因?yàn)閒(x)=4所以4sinxcos解得kπ+π故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)定義域的求法，考查解三角不等式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

根據(jù)已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式、誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求值得解．【詳解】∵a＝2cos72°，∴a2＝4cos272°，可得：4﹣a2＝4﹣4cos272°＝4sin272°，∴2sin72°，a2cos72°?2sin72°＝2sin144°＝2sin36°，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】

直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，四邊形所示，作出直線，由幾何概型的概率計(jì)算公式知的概率，故選A.6、D【解析】由直觀圖畫法規(guī)則，可得是一個(gè)直角三角形，直角邊，，故選D.7、B【解析】

不難發(fā)現(xiàn)從而可得【詳解】,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較數(shù)大?。?、D【解析】

由，根據(jù)不等式乘方性質(zhì)可判斷A不成立；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可判斷B不成立；由基本不等式可判斷C不成立，D成立．【詳解】對(duì)于A,若，則有，故A不成立；對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)遞減，，故B不成立；對(duì)于C,由基本不等式，a=b取得最小值，由不能取得最小值，故C不成立；則D能成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式、不等式的基本性質(zhì)，考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由，求出，代入計(jì)算即可．【詳解】由題意，則.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、B【解析】

由韋達(dá)定理列方程求出，即可得解．【詳解】由已知及韋達(dá)定理可得，，，即，，所以．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程和一元二次不等式的關(guān)系、韋達(dá)定理的應(yīng)用等，屬于一般基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列等式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，所以，可得，又因?yàn)?，所以，故答案?【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.12、【解析】

由三角形的面積公式得出，設(shè)，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號(hào)成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設(shè)，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，同時(shí)也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時(shí)，需要結(jié)合已知條件得出定值條件，同時(shí)要注意等號(hào)成立的條件，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.13、【解析】

在分式的分子和分母上同時(shí)除以，然后利用極限的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算.【詳解】，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，解題時(shí)要熟悉一些常見的極限，并充分利用極限的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對(duì)稱軸及可求解出最值.【詳解】假設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當(dāng)小時(shí)時(shí)甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是通過(guò)題意將示意圖畫出來(lái)，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.15、1【解析】

由題意可得定點(diǎn)，，把要求的式子化為，利用基本不等式求得結(jié)果．【詳解】解：且令解得，則即函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，把要求的式子化為，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，用與表示等式，再用與表示代數(shù)式可得出答案?！驹斀狻吭O(shè)等差數(shù)列的公差為，則，因此，，故答案為：。【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)的計(jì)算，解決等差數(shù)列有兩種方法：基本性質(zhì)法（與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)）以及基本量法（用首項(xiàng)和公差來(lái)表示相應(yīng)的量），一般利用基本量法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，此外，靈活利用與下標(biāo)有關(guān)的基本性質(zhì)進(jìn)行求解，能簡(jiǎn)化計(jì)算，屬于中等題。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ），（Ⅱ）千億元.【解析】試題分析：（Ⅰ）列表分別計(jì)算出，的值，然后代入求得，再代入求出值，從而就可得到回歸方程，（Ⅱ）將代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款．試題解析：（1）列表計(jì)算如下i

1

1

5

1

5

2

2

6

4

12

3

3

7

9

21

4

4

8

16

32

5

5

10

25

50

15

36

55

120

這里又從而.故所求回歸方程為.（2）將代入回歸方程可預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為考點(diǎn)：線性回歸方程.18、(1),；

(2),證明見解析【解析】

(1)分別令即可運(yùn)算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當(dāng)時(shí)成立,再假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,再利用推導(dǎo)出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當(dāng)時(shí),成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,且即當(dāng)時(shí),,即,化簡(jiǎn)得,,即也滿足,當(dāng)時(shí)成立,故對(duì)于任意的,有,證畢.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，其中步驟為：(1)證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立.對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1；(2)假設(shè)當(dāng)()且為自然數(shù)）時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立.

綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù),命題都成立.19、（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）由等比數(shù)列通項(xiàng)公式解得，即可求解；（2）利用等差中項(xiàng)證明Sn+1，Sn，Sn+2成等差數(shù)列．試題解析：（1）設(shè)的公比為.由題設(shè)可得，解得，.故的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得.由于，故，，成等差數(shù)列.點(diǎn)睛:等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用．但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形．在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法．20、（1）；（2）.【解析】

（1）在中，由正弦定理得，，再結(jié)合在直角中，，然后求解即可；（2）由正弦定理及兩角和的余弦可得，然后結(jié)合三角函數(shù)的有界性求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)，在中，由正弦定理得，，而在直角中，，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）設(shè)，在中，