蘇教版九年級下冊數(shù)學《二次函數(shù)》全章復習與鞏固-知識點整理及重點題型梳理(基礎)

蘇教版九年級下冊數(shù)學重難點突破知識點梳理及重點題型鞏固練習《二次函數(shù)》全章復習與鞏固—知識講解（基礎）【學習目標】1．通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式，并體會二次函數(shù)的意義；

2．會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)；

3．會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸(公式不要求記憶和推導)，并能解決簡單的實際問題；

4．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.

【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).

要點詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當a=0時就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時都為零．a(chǎn)的絕對值越大，拋物線的開口越小.要點二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標當時

開口向上

當時

開口向下(軸)(0，0)(軸)(0，)(，0)(，)()2.拋物線的三要素：

開口方向、對稱軸、頂點.

(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.

(2)平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.

3.拋物線中，的作用：

(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.

(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，

故：①時，對稱軸為軸；②(即、同號)時，對稱軸在軸左側(cè)；③(即、異號)時，對稱軸在軸右側(cè).

(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置.

當時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點(0，)：

①，拋物線經(jīng)過原點；②，與軸交于正半軸；③，與軸交于負半軸.

以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.

4.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：

(1)一般式：（a≠0）.已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式.

(2)頂點式：（a≠0）.已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.

(可以看成的圖象平移后所對應的函數(shù).)

(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：

（a≠0）.(由此得根與系數(shù)的關系：).要點詮釋：求拋物線（a≠0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、公式法、代入法，這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應根據(jù)實際靈活選擇和運用．

要點三、二次函數(shù)與一元二次方程的關系

函數(shù)，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標，因此二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況決定一元二次方程根的情況.

(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關系：

的圖象

的解方程有兩個不等實數(shù)解方程有兩個相等實數(shù)解

方程沒有實數(shù)解要點詮釋：二次函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)由的值來確定.(1)當二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；

(2)當二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；

(3)當二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點，這時，則方程沒有實根.

要點四、利用二次函數(shù)解決實際問題利用二次函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關系，建立函數(shù)關系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應具有實際意義.

利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：

(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?/p>

(2)把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標聯(lián)系起來；

(3)用待定系數(shù)法求出拋物線的關系式；

(4)利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點詮釋：常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實際問題關鍵是找等量關系，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關的函數(shù)關系式.

【典型例題】類型一、求二次函數(shù)的解析式1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點及點，且圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1，則該二次函數(shù)的解析式為________．【答案】或．【解析】正確找出圖象與x軸的另一交點坐標是解題關鍵．由題意知另一交點為(1，0)或(-1，0)．因此所求拋物線的解析式有兩種．設二次函數(shù)解析式為．則有，或解之，或因此所求二次函數(shù)解析式為或．【點評]此題容易出錯漏解的錯誤．舉一反三：【課程名稱：二次函數(shù)復習357019：(1)-（2）問精講】【變式】已知：拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為x=1，交x軸于點A、B(A在B的左側(cè))，且AB=4，交y軸于點C.求此拋物線的函數(shù)解析式及其頂點M的坐標.【答案】∵對稱軸x=1，且AB=4∴拋物線與x軸的交點為：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3為所求,∵x=1時y=-4∴M(1，-4)∵對稱軸x=1，且AB=4∴拋物線與x軸的交點為：A(-1，0)，B(3，0)∴y=x2-2x-3為所求,∵x=1時y=-4，∴M(1，-4).類型二、根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)判斷代數(shù)式的符號2．二次函數(shù)的圖象如圖1所示，反比例函數(shù)與正比例函數(shù)y＝(b+c)x在同一坐標系中的大致圖象可能是()．【答案】B；【解析】由的圖象開口向上得a＞0，又，∴b＜0．由拋物線與y軸負半軸相交得c＜0．∵a＞0，∴的圖象在第一、三象限．∵b+c＜0，∴y＝(b+c)x的圖象在第二、四象限．同時滿足和圖象的只有B．【點評】由圖1得到a、b、c的符號及其相互關系，去判斷選項的正誤.類型三、數(shù)形結(jié)合3．（2015?陜西模擬）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），交x軸于A，B兩點，交y軸于C．則：①b=﹣2；②該二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸；③存在這樣一個a，使得M、A、C三點在同一條直線上；④若a=1，則OA?OB=OC2．以上說法正確的有（）A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③【思路點撥】①二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），因而將M、N兩點坐標代入即可消去a、c解得b值．②根據(jù)圖象的特點及與直線MN比較，可知當﹣1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在直線MN的下方．③同②理．④當y=0時利用根與系數(shù)的關系，可得到OA?OB的值，當x=0時，可得到OC的值．通過c建立等量關系求證．【答案】C；【解析】①∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故該選項正確．②方法一：∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c，a＞0∴該二次函數(shù)圖象開口向上∵點M（﹣1，2）和點N（1，﹣2），∴直線MN的解析式為y﹣2=，即y=﹣2x，根據(jù)拋物線的圖象的特點必然是當﹣1＜x＜1時，二次函數(shù)圖象在y=﹣2x的下方，∴該二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函數(shù)圖象與y軸交于負半軸．故該選項正確．③根據(jù)拋物線圖象的特點，M、A、C三點不可能在同一條直線上．故該選項錯誤．④當a=1時，c=﹣1，∴該拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣1當y=0時，0=x2﹣2x+c，利用根與系數(shù)的關系可得x1?x2=c，即OA?OB=|c|，當x=0時，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，則OA?OB=OC2，故該選項正確．總上所述①②④正確．故選C．【點評】本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點較多，熟練掌握所學函數(shù)的圖象性質(zhì)及特點對于解題很重要；同時也要靈活應對知識點彼此之間的聯(lián)系．類型四、函數(shù)與方程4．（2016?臺灣）如圖，坐標平面上，二次函數(shù)y=﹣x2+4x﹣k的圖形與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，其頂點為D，且k＞0．若△ABC與△ABD的面積比為1：4，則k值為何？（）A．1 B． C． D．【思路點撥】求出頂點和C的坐標，由三角形的面積關系得出關于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴頂點D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面積=AB?OC=AB?k，△ABD的面積=AB（4﹣k），△ABC與△ABD的面積比為1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點、拋物線的頂點式；根據(jù)三角形的面積關系得出方程是解決問題的關鍵．舉一反三：【變式1】無論x為何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象永遠在x軸的下方的條件是()

A．B．

C．D．

【答案】二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，則說明y=0時，方程無解，即．又圖象永遠在x軸下方，則．答案：B

【變式2】對于二次函數(shù)，我們把使函數(shù)值等于0的實數(shù)x叫做這個函數(shù)的零點，則二次函數(shù)(m為實數(shù))的零點的個數(shù)是()

A．1B．2C．0D．不能確定

【答案】當y=0時，，

，

即二次函數(shù)的零點個數(shù)是2．

故選B.類型五、分類討論5．已知點A(1，1)在二次函數(shù)的圖象上．(1)用含a的代數(shù)式表示b；(2)如果該二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標．【思路點撥】(1)將A(1，1)代入函數(shù)解析式．(2)由△＝b2-4ac＝0求出a．【答案與解析】(1)因為點A(1，1)在二次函數(shù)的圖象上，所以1＝1-2a+b，所以b＝2a．(2)根據(jù)題意，方程有兩個相等的實數(shù)根，所以，解得a＝0或a＝2．當a＝0時，y＝x2，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是(0，0)．當a＝2時，，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(2，0)．所以，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(0，0)或(2，0)．【點評】二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點時，方程有兩個相等的實數(shù)根，所以．類型六、二次函數(shù)與實際問題6．（2015?黃陂區(qū)校級模擬）進價為每件40元的某商品，售價為每件50元時，每星期可賣出500件，市場調(diào)查反映：如果每件的售價每降價1元，每星期可多賣出100件，但售價不能低于每件42元，且每星期至少要銷售800件．設每件降價x元（x為正整數(shù)），每星期的利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關系式并寫出自變量x的取值范圍；（2）若某星期的利潤為5600元，此利潤是否是該星期的最大利潤？說明理由．（3）直接寫出售價為多少時，每星期的利潤不低于5000元？【思路點撥】（1）根據(jù)利潤y=每件利潤×銷售量，每件利潤=50﹣40﹣x，銷售量=500+100x，而售價50﹣x≥42，銷售量=500+100x≥800，列不等式組求x的取值范圍；（2）根據(jù)（1）的關系式配方后確定最大利潤，與5600比較后即可發(fā)現(xiàn)是否為最大利潤；（3）設當y=5000時x有兩個解，可推出0≤x≤5時，y≥5000．【答案與解析】解：（1）依題意，得y