考研網(wǎng)804材料力學彈性體在外力作用下發(fā)生變形時載荷作用點也產(chǎn)生位移相應的

第十一章量energy為能量法(energymethod)。固體力學的發(fā)展中有兩條主流。一條是依照力學為主導發(fā)§11－1外力功與應變能一、外力功形，外力的作用點隨著發(fā)生位移（移。外力最終達到F，力的作用點產(chǎn)生相 f（）曲線下的面積來表示，其值為W0f( FUW0f( F

11－1b

UWi

f(i f

F=k W0f()d0kd2WFF

11－111－2AB，B端作用F和力偶M梁的彎曲剛度為EI。試計算外力作的總功。在力F作用下B點的撓度和轉角為

MBlBl

Fl

Fl

Ml

Fl Ml vBvB,FvB,M

Fl BB,FB,M F2l MW2FvB2MB

F2l MW2FvB,F2MB,M6EIW1F F2l3

W 1M

FMl2MF

F2l3FMl2MWW1W2

2EI Principle：12W Fi2

式中i是各個（廣義）載荷Fi對應的最終狀態(tài)的（廣義）位移。彈性體的應變能U在數(shù)值n2UW Fi2

二、線性彈性體的應變能u＝1(

x y

z xy

yz

zxUudVV2

x

yyzxz

xy

yz

因為應力分量只有xFN/A，而且xxE，而且軸向力FN和截面積A只是 x

N

FN2 EU2V dxdydz2E

dxdydz

2

2Adydzdx

2lEAl如果軸向力FN和截面積A都是常數(shù)，那F2lU

U2

(x

r

xr

r

x

1

xMzrIpU2

xxdV

2G

2 2 Mx2 U

dV

r2dAdx

Mx2 VGIp

GI

2lp如果扭矩Mx和慣性矩Ip沿軸的長度方向為常數(shù)，那UMx22GI

梁彎曲時的彎曲正應力為Mzy，彎矩M和慣性矩I只是x

zM2yz2U xdxdydz 22 V V2 M 222

EI2

ydydzdx

z2lEI 如果彎矩Mz和慣性矩Iz沿軸的長度方向為常數(shù)，那

UMz2

梁的彎曲切應力為 FSS(y)，切應變?yōu)?xy，所

z F2S(y)z

2U xydxdydz 2 V VGb2I F2 S(y) kF S 2 dydzdx SSGA b 2l SzkSz

I2Ab

工字形梁的kS2－5。與彎曲應變能相比，梁彎曲的剪切應變能很小，一般可以忽略不計U1nFNMdx dxU1nFNMdx dxMxdxkSFS2 為Un1FU Nii12Ei

11－211－3AB受集中F作用。用能量原理計算集中力作用點C的垂直位移。

y,C BlAC段：M(xFb

bF/

aF/BC段：M

)Fa

2b2

F2a2 a2b U

[0

(x1)dx10M(x2)dx2]

2EI[l

] l

W1Fv所 vC

a2b2三、余功和余能WcWcW,關系可以表示為f（）時，式 f( WC(f0

WC的積分以力f為自變量，稱為余功。

WWcFUCWC0(f F11－1b UCWC i應變余能是物體上最終載荷Fi的函數(shù)uC0UCVuC

UC §11－2

起點（1）的位移為11（第一個下標表示點的位置，第二個下標表示力，引起點（2）的111－5c所示，在梁上先作用F1，點（1）產(chǎn)生位移11，F(xiàn)1在111F21 。與此同時，F(xiàn)2在點22UW1F1F F 21 22 12，另一種加載次序如圖11－5d所示。在梁上先作用F2，點（2）產(chǎn)生位移22。F2在22上22 21做功為F221；梁的應變能等于外力做功，所以有UW1F 1FF 22 21 2U2，因此 的互等定理（reciprocaltheoremofwork。如果進一步假設F1＝F2，那么得 ceent C作用集F A

ml C產(chǎn)生撓度vC16EI。很明

ml

F m FvCm§11－3別可以用式（11－2’）和式（11－16’）來計算。梯（A.Castigliano）提出了可一，卡氏第一定11－1bn dUdid dWFkd Fk

k解這個問題中與外力F對應的是節(jié)點C的垂直位移vC，與節(jié)點C上的水平外力（數(shù)值為零對應的是C點的水平位移uC。用l1和l212的縮短。從幾何關系分析uCvlsin30o(llcos30o)cot30o0.5l3(l0.53l l1l20.5(vC3uCE E

E 2E2A20.52(v 3uU

1l2

22l2

11 UE1A1uE2A223(v3u) u l C l C CC 1 2UE2A22(v3u) u

FN1l1l v3u4Fl231.833mm+4300004000 101090.22method方程組中關于uC和vC的系數(shù)矩陣稱為剛度矩陣（stiffnessmatrix。位移法也稱為剛度法method二，卡氏第二定11－1b個外力有一微小增量dFk，其他外力不變。那么彈性體的應變余能的增量dU

UcdFUc dWck kUc k 變能的一般表示式（11－14）代入式（11－24可以得到在廣義力Fk方向的廣義位移kU

FN 1

Mz 1

Mx

2lEAdx2l dx2l dx ki1 FN(x)FN Mz(x)Mz Mx(x)Mx i1

dx

dx

dxAC段：M(xFb1 BC段：M(xFa 應用（11－25，C 1 2 1 aM bMC 1 2 1 1 1dx2 2dx 1dx EIF EIF b2Fa3a2Fb3Fa2b2EIl2 EIl2 AqBL例 AqBL11－7解：取懸臂梁作為靜定基，幾何協(xié)調(diào)條件是BB在外載荷q和B端支座反力F共同作用下xBM(x)Fx1

x圖 根據(jù)卡氏第二定理，B點的v

Fx1

F

1ql4) dx xdx

(B LEI F3 §11－4 workFN，彎矩Mz，扭矩Mx和剪力FS。分離體

F+dF

dWr（2內(nèi)力在單元虛變形上做的功dWddWedWrdWedWe 11－9所示受軸向力F作用的桿，圖中所示形為dx1和dx2（這與分為n分析的道理是一樣的。假設產(chǎn)生了軸向虛位移，使中間截向右移了距離1，端面向右移了12。截面上的內(nèi)力是一對軸力F1和F2，大小相等，方F1向位移上做的總功事實上就是外力F作的功WeF(12)。而內(nèi)力F1在伸長虛變形1F11，內(nèi)力F2在F1dx1dx1WFFF()W。 1 2

和Mxd。以上表達式中，微單元兩端內(nèi)力增量在虛位移上做的功相對來說是高階小量。例如對于軸力，F(xiàn)Nd＋Mzd＋Fsd

WiFNdMzdFsdMxd §11－5method，11－11a，11－11b1（看作是實際載荷。在單位力作用下產(chǎn)生的內(nèi)力用上標為‘o’的記號Fo，F(xiàn) 生的內(nèi)力（第二組內(nèi)力）在變形d,ddd（看作虛變形）作的功。外力的虛功為1。應用

F,F,M0NS 0NS

1 Fo,Fo,M 1

lFo(x)dlFo(x)dlMo(x)dlMo 圖dFN(x)dx, dkSFS(x)dx,dMz(x)dx,dMx(x)dx GIplFo(x)F lkFo(x)F[ dxSS dx lMo(x)M lMo(x)M dx GI

這就是單位載荷法求位移的。右端對結構中各個桿件進行求和。一般情況下在有彎曲和變形的桿件中，與彎矩、扭矩相比，軸力和剪力的變形能可以忽略。所以有彎解：仍然將AB梁分成AC和BC兩計算（圖11－12a。由外載荷F產(chǎn)生的彎矩M1、M2y, y,BBC 1MoMoBCbF/

aF/

MbFx，MaF 11－12b

Mobx，Moa l l根據(jù)aM(x)Mo bM(x)MovC dx12 dx2 abFx baFx b2F a2F 22 1dx1 2dx2 22 0

0 例11－711－13所示，簡支的向下的力F作用。求B點的水平位移uB垂直位移v

13135FD45A

a 圖a（1－28B5512345F—F2010Fo21—aaaFNiFo200FNiFo22u1 EA 2(1oNiNuiFFo

)Fa

i

(34 NiNvi 11－811－14所示形C端固支。其垂直部分AB受均布力q作用。A點的水平和垂直如圖11－14a所示，在AB段和BC段建立局部坐標。M1

yaBxCyaBxCqxyA1

aaBMox，Mo B端有力偶矩M1qa2Fqa作用。BC M1 Mo Mo u a a EI(0M1M1udx0M2M2udx)EI(02qxxdx02qaadx)8EI（向右A

M0dx

1(a1qx20dxa1qa2xdx)1v a

aM

dx) EI EI0 0 （向下附錄C彎曲變形的簡表，可知轉角MBa1 M 撓度vB 4EI （向下vA

1

1 uABa8EI8EI抗拉（壓）剛度為EA。不考慮BC桿的失穩(wěn)，試計算C點的撓度和轉角。FAxa

q1C1CB1C DDACq的作用下，由mA0FBDsin30o3a2q3aFBD4M(x)1qx

1 M(x)1qx C點有向下的單位力作用，由mA0FoBDsin30o3a12所以軸力 4,支座反力FoAy Mo(x)x,M2(x2)o1 32 3a 32c2

qx2xdx 43qa42a qa4

（向下0 0C點有順時針的單位力偶矩作用，由mA0FoBDsin30o3a12BD桿的軸力FoBD 支座反力FAy2o彎矩 Mo(x) x Mo(x)1 3a 3a c

qx2

xdx qx21dx 43qa

0

EI0 7 qa3167

（順時針11－16b矩MD為未知內(nèi)力。這是一次靜不定問題。又由于結構對AB軸的對稱性，可知A點的CBFCB

11－16cM()

FR(1cos)Mo()變形協(xié)調(diào)條件1 FR(1cos)]1RdR[M

FR

] 0 D 2 FR(12) M()FR(cos2 加一對單位力。在式（a）中令F＝1，即得到一對單位力作用下圓環(huán)內(nèi)的彎矩為Mo()R(cos2 法，A、 2 2 2 ) 例11－11用單位載荷法求解例題9－6，并求 如圖11－17所示，取懸臂靜定基。在

bBblCl M(x)F

b)

1CM21CM1M1o(x1)

(x)在壓力F作用下，彈簧上端的位移為FB。其中k是彈簧剛度，這也 1 vB FBxxdx[FB(x2b)Fx](xb)dxEI

FB

2l3

kFM1o(x1)M2o(x2)1 vC [FB(x2b)Fx2](x2)dx2 a2(3l

a333

a4(3la)212(l33EI) 11－18 xl解 xlM(x)qx2/2，F(xiàn)S(x)SMo(x)x Fo(x) SvEI

(qx2/2)(x)dx

ll5GA

qxql43ql2ql

ql

16h

5GAl

()15變形僅為彎曲變形的1.07%，其影響可以忽略。§11－611－19c1－19eBCBCB

DADA 11－20a解：1，求B點的支座反力FF代替原來問題的相當系統(tǒng)(11－20b)。y BMA BB

11 M(x)Fx1

這兩項分別為未知約束力F產(chǎn)生的彎矩和外載荷產(chǎn)生的彎矩。將它們分開寫B(tài)M(x)M BF加單位力（圖1120c。產(chǎn)生彎矩Mox。幾何協(xié)調(diào)關系是B點的撓度為零。利用v MModx

l(MMoMMo)dx EI EI F FxFMFB F MoModx MModxB FB o l o其

dxo

EI

xdx 0 l

1l Ml

dx

qxxdx EI

所 F3EI0 method未知約束力F的系數(shù)為單位力作用下沿未知約束力作用方向產(chǎn)生的位移，稱為柔度系coefficient外載荷彎矩Mq互乘。力法的正則方程實質上是變形協(xié)調(diào)方程。力法也稱為柔度法method2，求中點C的撓度求中點C的撓度時，在靜定基上q和F都是已知力。在C點作用單位力（ 11－20d，1xx1v12l2(MM)Modx l2(1qx2Fx)(x EI EI 1 L l l ql12EI0[2q(x12

)FB(x1

11－1411－21a所示剛架，在AB段中點受水平力F作用。已知剛架的抗彎剛度為EI。定基。圖11－21b為F作用下的彎矩圖，圖11－21c為C點單位力作用下的彎矩圖。我們按常

BCl1BCl1 FM

1 1 lA圖 (( ) FCy其

Mo2dxlx2dxl12dx4l 0 3lM

odx

2Fxldx

所以

3u Flxdxl

lFx

x)dx]

0 3 vB

Fl1dxl2Fx1dx)

l 0 （順時針l11－1511－22qAB桿。已知各桿的抗彎剛度為EI。試用力法求A點的支座反力。11－22c11－22d和e是A端水平單11X112X2q121X122X2q2

q1

2 X 2 22

q2 Mo2dxax2dxaa2dx4 MoModx

Mo2dxax2dx1 a a EI MMdx

adx a EIq2MqM2dx

xdx 根據(jù)位移互等定理可知2112，所以柔度系數(shù)矩陣是對稱矩陣。將求出的系數(shù)代入方程（1－303 13X22X21

581

1

14

aX1=

qA

aCaaCaM11CMCM2A

A圖

X13qa7

FAyX23在工程實際中很多結構具有對稱性。利用結構的對稱性可以簡化計算。例題11－10或稱載荷，或一般的載荷。mnmmnmnmmFN1－23b對稱載荷。圖11－23c所示就是稱作用的力偶矩m。在稱載荷作用下，對稱結構關于對稱軸的變形和內(nèi)力分布也稱。這樣，在位于對稱軸的截面上，對稱的內(nèi)力（彎矩M、軸力FN）為零，只有稱內(nèi)力（剪力FS）存在（圖11－23d。原來三次靜不定的問11－24aEI。試求剛架的彎矩分布。解11－24bmmmMMmaamaa

11－24c。應用力法正則方程

EI

o

a/2x2dxa

a

7

0

EI

MModx

amadxm 根據(jù)式SF 12S 7 圖ABETa20cmd=4cm，彈性模量E=200GPa，剪切模量G=80GPa，許用正應力[]=120MPa，許用切應力[]=70MPa。求TaTaEBaaa

CEEB

MAx1aBDMAx1aBD zF M z aMo2dx 2aMo2dx ax2dx

111 (2a)dx a3 EI GI

EI

GI EI 1 aMModx12Ta2 GI0 T

FCFD

2GIp a

0.532T[WpWW[

(0.04m)370106T 1653N B點最大彎矩為 a=0.234T，正應力強度條件

0.234T[]Wz(0.04m)3120106TWz[] 3222Nm [T]=16532AB2AB3CDB3 1245Caa

NN

31C1F 11111133333圖 Mo例 圖11－27a所示桁架大梁AB與五根軸力桿件構成。AB梁的抗彎剛度EI，軸力桿的抗拉（壓）剛度為EA。試求CD桿的M a EIdxEI

(3x)dx

(3)dx]9EI(23Fo 22 1(233333 i3333

1]所以5a3(231) MModx aFx1xdx

1.5aFxadx] 3 3

[0

3243242424

FN1

F

[5393

IA

33*§11－7連續(xù)梁與三彎矩11－28a 11－28ii+1ii+1

lixlixMili

Mi- 11－29a所示，選取相鄰的兩跨靜定基進行分析。在支座i1和支座i之間的Mi共同產(chǎn)生。第i＋1跨梁在支座i處的轉角iR將由第i＋1跨上的外力和梁的左、右端面上應用單位載荷M*M*表示這兩跨簡支梁上外力產(chǎn)生的彎矩。在支座i處 11－29b liM*Modx liM*xdx＝ liM* i EI EI iiM*xdxa i表可知，由支座彎矩Mi-1和Mi使第i跨梁在支座i產(chǎn)生的轉角為（11－29c）iLMMi1li 1(aiiMi1liMili (bi1i1Mi1li1Mili1 i處兩側梁截面相對轉角為零，即iLiRMi1li2M(lili1)Mi1li16(aiibi1i1 i I I i i1 l2M(l )M 6(aiibi1i1 i1 i i1 1il`1il`11nn個三彎矩方程，由此求出n個支座11－30a1－30c第i+1跨梁在支座i的轉角應該為ii當虛擬梁的長度li1趨于零時，i也趨于零?？梢姡嗑酂o限近的兩個鉸支座具有固定端qBC11－1911－31q10kNm，M10kNmF30kNqBC M*解BCMBMC為多余約束力。外伸段在均布力q作用下，在A點產(chǎn)生彎矩 1ql2110kN/m(2m)220kN （11－32ABFBCl10kN，a2l，l15kN， i bi1l/2Ml2M2lMl61102l1l15l

(l C，F(xiàn)BC段的外力。l15kNal/2Ml2Ml6(

1

C

l 4MBMC22.5kNMB2MC22.5kN FS

FSAFSA+

C MB3.22kNm，MC9.65kNm（內(nèi)力方向如圖11－32所示RC18.22kN，F(xiàn)SB11.78kN，F(xiàn)SB13.39kN，F(xiàn)SAFSARA20.0kN13.39kN （向上RB11.78kN13.39kN1.61kN（向下RC§11－8快，這時施力的物體與承力結構之間產(chǎn)生很大的相互作用力，這一作用力稱為沖擊載荷load一、自由落體對線彈性體的沖擊11－33所示，有重量為W的物體，從高度