函數(shù)的單調(diào)性極值最值

第四章導數(shù)的應用 一、函數(shù)的單調(diào)單調(diào)性的定fx)在[a,b]上連續(xù),x1x2[ab],x1x2f(x1)f(x1)f(x2f(x1)f(x2常值函數(shù)既是單f(x1)f(x2f(x1)f(x2

嚴格單調(diào)Previous 單調(diào)性的判yyyyf(BAoaf(x)bxyAyf(B f(x)bxPrevious 定理設函fx)在[a,b]在(a,b)內(nèi)可(1如果在(a,b)fxfx)在[a,b]上嚴格單調(diào)增(2如果在(a,b)fxfx)在[a,b]上嚴格單調(diào)減少區(qū)間內(nèi)的x1≠x2fx1fx2Previous x1x2[a,b],

且x1x2, 日中值定理,f(x2)f(x1)f()(x2x1) (x1x2∵x2x1若在(ab)fx)f(x2)f(

f(fx)在[a,b]上嚴格單調(diào)增(ab內(nèi)，fx0,f(f(x2)f(fx)在[a,b]上嚴格單調(diào)減少

Previous 定理f(x0f(x也可f(x0f(xyx3yx3定義若函數(shù)在其定義域的某個區(qū)間內(nèi)是單調(diào)的，Previous 例確定fx2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間解D(, f(x)6

18x126(x1)(x2)1x1,x2時，fx0

xxf(f((,102(1,201(2,fx)的單(1),(2,fx的單(1

Previous y?如果函數(shù)在駐點兩邊的導數(shù)同號則不改變函數(shù)的單調(diào)性

y yx3,x(, y3x2，yx0yyOx x2yyOx x2如y

,x(,3xy ，3x3

PreviousNext?駐點和導數(shù)不存在的點統(tǒng)稱為臨界f(x00或不可?單調(diào)區(qū)間的分界點可?函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解fx0的根fx)不存在的點PreviousNext4例確定fx4x5x5的單調(diào)區(qū)間解D( 5xf(x)445x

54(1 x1時fx0x0時fx不存在xxf(f((,01(1,0(0,0fx的單調(diào)增區(qū)間為(1),(0,fx的單調(diào)減(1PreviousNext1例證明當x1證fx)1xln(x

1xln(x 1x211x21x21x2 1而f(00,f(x[0 1f(x)ln(x

) 1x1x1 1

(1

2 1x2ln(x ) 1x2故f(x)在[0,)上單增所以x0時，f(xf(011x2 111x2

PreviousNext例證明當0abπ時 sinasinb

f(x)sinx

在

π]上單調(diào)遞減2f(x)cosxxsin 找設gx)cosxxsin

πx x π當則g(x)xsinx x 數(shù)gx)(0π]上單gxg(0222fx

fx在(0π]上單調(diào)遞減f(af(b),sinasinb

PreviousNext二、函數(shù)的極極值的yf(x),若存x0的鄰域N(x0xNx0有f(x)f(x0 f(x)f(x0則稱f(x)x0處有極小值(或極大值)；稱x0f(x的極小值點(或極大值點)；極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值點、極小值點統(tǒng)稱為極值點PreviousNext (1)幾何解OxOOxOxx0是極大值

x0是極小極值是一個(local)性質(zhì).PreviousNextx0附近的一個局部范圍內(nèi)，極值就是最值.在整個定義域內(nèi),有可能有多個極值且極大值不一定大于極小值;極大值也未必為最大值.yyyf(a bxPreviousNext回顧(費馬定理)x0yf(x的極值點則必f(x0

定理(可微函數(shù)極值點的必要條件yf(xx0處有導數(shù)x0是極值點，則必f(x00.PreviousNext注fx00的點x0稱為駐點(穩(wěn)定點上述定理說明：可微函數(shù)的極值點必為駐點當f(x)可導fx0)0只是f(x)存在極值點的必要而非充分條件,即駐點未必是極值點,yx30

0

x,x0PreviousNext定理(函數(shù)極值點的必要條件函數(shù)yf(x的極值點必定或?qū)?shù)不存在的點但臨界點未必是極值點問題：如何判斷一個臨界點是不是極值點,PreviousNext(一階充分條件)如果x(x0x0時,f(xx(x0,x0時,f(x如果x(x0x0時,f(xx(x0,x0時,f(x

x0f的極小x0f的極大x?x0,時,f(x不變號,x0不是極PreviousNextyyoxyox0x(yox0xyyoxyox(不是極值點情形PreviousNext證明僅證x(x0,x0f(xf(x在x0,x0 f(x)f(x0 x(x0,x0x(x0,x0),f(xf(x在x0x0上嚴格單增 f(x)f(x0 x(x0,x0 f(x)f(x0 xNx0,x0f(x)的極小值點

PreviousNext求極值的步求導fx);求導數(shù)為零及導數(shù)不存在的 臨界點PreviousNext2例fx2x3x3 2解D( 23x3x3xf(x)22x33x

x1時fx0x0時fx)不存在xx(,01(1,0f(f((0,0x1是極大其極f(1x0f(0PreviousNext定理(二階充分條件

設函數(shù)f(x在駐點x０有二階導數(shù),fx0若f(x00,fx)在點x0取極大值若

x00,

fx)

x0取極小值證明

∵f(x)limf(x)f(x0 0 x x0由極限的局部保號性定理知,0當0x 時 f(x)f(x0)0x當x0x 時，有f(x)f(x0)當x0xx0時，有f(x)f(x0 由一階充分條件知道f(x)在點x0取極大值 Previous但不能用于判定不可導點是否是極求極值的步求導fx);求導數(shù)為零的點求二階fx)根據(jù)二階導數(shù)在駐點的正負號判斷極值PreviousNext例求出函fxx33x224x20的極值解fx)3x26x243x4x當x14, 2時，f(x)∵f(x)6x∵f(4)18 故極f(4)f(2)18 故極f(2PreviousNext例求函數(shù)fxexcosx的極值解f(x)excosxexsin ex(cosxsin當xπkπ,kZ時，fx)4∵f(x)ex(cosxsinx)ex(sinxcos2exsink為奇數(shù)時，fπkπ242故極

f(

kπ)

πe4 4k為偶數(shù)時，fπkπ4故極

f(

kπ)

π2e4 2 PreviousNext例已知yf(x滿足xf(x3x(fx))21ef(x)x00處有極值,問它是極大值解f(xx0可導且有極值知在方程中x=x0,則有

f(x0)=0xf(x)1e

f(x0)

1ex0

x00時,e

1,

f(x0)0

f(x0)x0<0時,

f(x0)0所以 x0是f(x)的極小值點

PreviousNext三、最大值與最閉區(qū)ab上連續(xù)函數(shù)的最若函f(x在閉區(qū)ab上連,根據(jù)閉區(qū)間上連f(x在ab上必有最大值和最小值最值點一定是極(或最小值在開區(qū)(ab內(nèi)的某x0處取到，x0必定是f(x的駐點或不可導點(xaxb處取得

PreviousNext若函f(x在閉ab上連續(xù),則其最值只能在極值點或端點處達到.計算閉[ab上的連續(xù)f(x最值的x1,x2,",xm求出函數(shù)在兩個xaxb處的函數(shù)值比較這些點處函數(shù)值的大小，求出最值最大Mmaxfx1),fx2),,fxm),f(a),f(b最小mminfx1),fx2,fxm),f(a),f(b) 求函數(shù)y2x33x212x14的在[3,4]上的最大值與最小值. ∵f(x)6(x2)(x2,1時fx)可能的最值點是21,3,計 f(2)f(1)(駐點f(3 f(4) (端點比較得:最大值f(4142，f(1)PreviousNext2y(2x5x3在指定區(qū)間[3,3]22上的最大值和最解∵

2x

(2x5)

3x3

10x3 3x1時fx0x0時fx)不存在2計算y(1

y(0)

(臨界點y(3)

y3 (端點2比較得:最大值y(3) 最小值y(0)2PreviousNext開區(qū)間或半開半閉上的連續(xù)函數(shù)不一定有最值定f(x)I(開、閉、無限、有限)上連續(xù),f(xI上有唯一的一個極值點，推論f(x在某I上可導時f(xI上只且此駐點是極值點，進一.證明x1時，不等式ex

1原不

ex(1x)1f(xex(1x1,f(x)ex(1x)exx0時，fx)f(x)ex(1

xex(唯一駐點f(0)1則當x0時f(x取極大值，也就是最大值.f(0)=0,f(x)f(0)=0.故結(jié)論成立PreviousNext例證明x1時,exe(1x22證原不等式 exe(1x2)0,x2令f(x)exe(1x2 則f'(x)exe2當x=1，f(x) (唯一駐點f(1)

(與上例題有區(qū)別f(x)exe0,xf(x)x1上單調(diào)遞增,fxf(1進而f(x)在x1上單調(diào)遞增，f(x)f(1)0.exe(1x2),x1 PreviousNext4例半頂角為π 容器內(nèi)已有b公升的鹽水4若現(xiàn)在開(t0往容器內(nèi)加注鹽水,t秒鐘后注入的鹽水a(chǎn)t2公升,試問從開,經(jīng)幾秒后,容內(nèi)液面上升速度最快 4h ht的最大值,所以應先找h與時間t的函數(shù)再求ht的最大值PreviousNext解設經(jīng)過時間t，水深為h 1πh3b 3(bat2)h(t)

tπ 液面上升的速度 13(bat2) v(t) 3

2at 39 (bat239PreviousNext 39v(t) [(bat39

t(bat2)32at3 39 (bat2)339

at23b3ba3bt

,t

)tt

時 v(t)0v(t)aa時 v(t)0v(taat

時v(t取極,也就是最大值所以 當t

例求數(shù)列 2,33,,nn,的最大項1xnnn,考慮相應的fxxxxln

1ln

1ln 則f(x)(ex)e 當x=e時，f(x) 數(shù)0xe時，fx0f(x單調(diào)遞增雜當ex時，f(x)0 f(x)單調(diào)遞減所以xn n的最 在e的兩側(cè)取得n比較2和33的值，因8 2)6(33)6