專題4中考幾何綜合題(有答案)資料

全等相似四邊形綜合大題1．（2014?深圳）已知BD垂直平分AC，∠BCD=∠ADF，AF⊥AC，（1）證明ABDF是平行四邊形；（2）若AF=DF=5，AD=6，求AC的長．考點：平行四邊形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理．分析：（1）先證得△ADB≌△CDB求得∠ADF=∠BAD，所以AB∥FD，因為BD⊥AC，AF⊥AC，所以AF∥BD，即可證得．（2）先證得平行四邊形是菱形，然后根據(jù)勾股定理即可求得．解答：（1）證明：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，在△ADB與△CDB中，，∴△ADB≌△CDB（SSS）∴∠BCD=∠BAD，∵∠BCD=∠ADF，∴∠BAD=∠ADF，∴AB∥FD，∵BD⊥AC，AF⊥AC，∴AF∥BD，∴四邊形ABDF是平行四邊形，（2）解：∵四邊形ABDF是平行四邊形，AF=DF=5，∴?ABDF是菱形，∴AB=BD=5，∵AD=6，設(shè)BE=x，則DE=5﹣x，∴AB2﹣BE2=AD2﹣DE2，即52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得：x=，∴=，∴AC=2AE=．點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．2．（7分）（2014?呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是矩形，把矩形沿AC折疊，點B落在點E處，AE與DC的交點為O，連接DE．（1）求證：△ADE≌△CED；（2）求證：DE∥AC．考點：翻折變換（折疊問題）；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．專題：證明題．分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根據(jù)SSS可證△ADE≌△CED（SSS）；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對稱，可得∠OAC=∠CAB，根據(jù)等量代換可得∠OAC=∠DEA，再根據(jù)平行線的判定即可求解．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，又∵AC是折痕，∴BC=CE=AD，AB=AE=CD，在△ADE與△CED中，，∴△ADE≌△CED（SSS）；（2）∵△ADE≌△CED，∴∠EDC=∠DEA，又∵△ACE與△ACB關(guān)于AC所在直線對稱，∴∠OAC=∠CAB，∵∠OCA=∠CAB，∴∠OAC=∠OCA，∴2∠OAC=2∠DEA，∴∠OAC=∠DEA，∴DE∥AC．點評：本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確證明三角形全等是關(guān)鍵．3．（10分）（2013?連云港）在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；（2）若四邊形BFDE為為菱形，且AB=2，求BC的長．考點：矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）分析：（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，即可求出答案．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∵在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，∴∠ABE=∠EBD=∠ABD，∠CDF=∠CDB，∴∠ABE=∠CDF，在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∴DE=BF，DE∥BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形；（2）解：∵四邊形BFDE為為菱形，∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠ABC=90°，∴∠ABE=30°，∵∠A=90°，AB=2，∴AE==，BE=2AE=，∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=+=2．點評：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理和計算的能力．4．（10分）（2014?蘭州）給出定義，若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱該四邊形為勾股四邊形．（1）在你學(xué)過的特殊四邊形中，寫出兩種勾股四邊形的名稱；（2）如圖，將△ABC繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AD，DC，CE，已知∠DCB=30°．①求證：△BCE是等邊三角形；②求證：DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形．考點：四邊形綜合題．分析：（1）根據(jù)定義和特殊四邊形的性質(zhì)，則有矩形或正方形或直角梯形；（2）①首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；②利用等邊三角形的性質(zhì)，進一步得出△DCE是直角三角形，問題得解．解答：解：（1）正方形、矩形、直角梯形均可；證明：（2）①∵△ABC≌△DBE，∴BC=BE，XkB1.com∵∠CBE=60°，∴△BCE是等邊三角形；②∵△ABC≌△DBE，∴BE=BC，AC=ED；∴△BCE為等邊三角形，∴BC=CE，∠BCE=60°，∵∠DCB=30°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴DC2+BC2=AC2．點評：此題主要考查勾股定理，三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，是一道綜合性很強的題目．5．（10分）（2014?上海）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD、CB相交于點H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．考點：解直角三角形；直角三角形斜邊上的中線．專題：幾何圖形問題．分析：（1）根據(jù)∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，可得出CD=BD，則∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可證明∠B=∠CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根據(jù)sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，則CE=1，從而得出BE．解答：解：（1）∵∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，∵AE⊥CD，∴∠CAH+∠ACH=90°，又∠ACB=90°∴∠BCD+∠ACH=90°∴∠B=∠BCD=∠CAH，即∠B=∠CAH，∵AH=2CH，∴由勾股定理得AC=CH，∴CH：AC=1：，∴sinB=；（2）∵sinB=，∴AC：AB=1：，∴AC=2．∵∠CAH=∠B，∴sin∠CAH=sinB==，設(shè)CE=x（x＞0），則AE=x，則x2+22=（x）2，∴CE=x=1，AC=2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴BC=4，∴BE=BC﹣CE=3．點評：本題考查了解直角三角形，以及直角三角形斜邊上的中線，注意性質(zhì)的應(yīng)用，難度不大．6．（12分）（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD相交于點F，點E是邊BC延長線上一點，且∠CDE=∠ABD．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）連接AE，交BD于點G，求證：=．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定．專題：證明題．分析：（1）證△△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）根據(jù)平行得出比例式，再根據(jù)比例式的性質(zhì)進行變形，即可得出答案．解答：證明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四邊形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．點評：本題考查了比例的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運用定理進行推理的能力，題目比較好，難度適中．7．（7分）（2014?貴港）如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一點，且CE=CD，過點E作EF⊥AC交AD于點F，連接BE．（1）求證：DF=AE；（2）當(dāng)AB=2時，求BE2的值．考點：正方形的性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；勾股定理．分析：（1）連接CF，根據(jù)“HL”證明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EF，根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AE=EF，然后等量代換即可得證；（2）根據(jù)正方形的對角線等于邊長的倍求出AC，然后求出AE，過點E作EH⊥AB于H，判斷出△AEH是等腰直角三角形，然后求出AE=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式計算即可得解．解答：（1）證明：如圖，連接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF=EF，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠EAF=45°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE=EF，∴DF=AE；（2）解：∵AB=2，∴AC=AB=2，∵CE=CD，∴AE=2﹣2，過點E作EH⊥AB于H，則△AEH是等腰直角三角形，∴AE=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，∴BH=2﹣（2﹣）=，在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．8．（5分）（2014?北京）如圖，在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，BF平分ABC，交AD于點F，AE與BF交于點P，連接EF，PD．（1）求證：四邊形ABEF是菱形；（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．考點：菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)；解直角三角形．分析：（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形和角平分線的性質(zhì)可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，從而證明四邊形ABEF是菱形；（2）作PH⊥AD于H，根據(jù)四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，從而得到PH=，DH=5，然后利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分線，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AB=BE，∴四邊形ABEF是菱形．（2）解：作PH⊥AD于H，∵四邊形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．點評：本題考查了菱形的判定及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是牢記菱形的幾個判定定理，難度不大．9．（10分）（2014?玉林）如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，連接NP，BP．（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；（2）線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)．分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△BCP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，從而得到MN∥BP，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，從而得到=，即可得解．解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四邊形BMNP是平行四邊形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，（1）求出兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)相似于同一個三角形的兩個三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解題的關(guān)鍵．10．（10分）（2014?重慶）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：證明題．分析：（1）要證AF=CG，只需證明△AFC≌△CBG即可．（2）延長CG交AB于H，則CH⊥AB，H平分AB，繼而證得CH∥AD，得出DG=BG和△ADE與△CGE全等，從而證得CF=2DE．解答：證明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，又∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∴∠CAF=∠BCG，在△AFC與△CGB中，，∴△AFC≌△CBG（AAS），∴AF=CG；（2）延長CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，在△ADE與△CGE中，，∴△ADE≌△CGE（AAS），∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CG，AH平分AB，∴DG=BG，∵△AFC≌△CBG，∴CF=BG，∴CF=2DE．點評：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定及性質(zhì)，三角形全等是解本題的關(guān)鍵．11．（10分）（2014年江蘇鹽城）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點O作一條直線分別交DA、BC的延長線于點E、F，連接BE、DF．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若EF⊥AB，垂足為M，tan∠MBO=，求EM：MF的值．考點： 菱形的性質(zhì)；平行四邊形的判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析： （1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠AEO=∠CFO，然后利用“角角邊”證明△AEO和△CFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OE=OF，再根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；（2）設(shè)OM=x，根據(jù)∠MBO的正切值表示出BM，再根據(jù)△AOM和△OBM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求出AM，然后根據(jù)△AEM和△BFM相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例求解即可．解答： （1）證明：在菱形ABCD中，AD∥BC，OA=OC，OB=OD，∴∠AEO=∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：設(shè)OM=x，∵EF⊥AB，tan∠MBO=，∴BM=2x，又∵AC⊥BD，∴△AOM∽△OBM，∴=，∴AM==x，∵AD∥BC，∴△AEM∽△BFM，∴EM：MF=AM：BM=x：2x=1：4．點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，難點在于（2）兩次求出三角形相似．12．（9分）（2013?達州）通過類比聯(lián)想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．（1）思路梳理∵AB=CD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線．根據(jù)SAS，易證△AFG≌△AEF，得EF=BE+DF．（2）類比引申如圖2，四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，則當(dāng)∠B與∠D滿足等量關(guān)系∠B+∠D=180°時，仍有EF=BE+DF．（3）聯(lián)想拓展如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應(yīng)滿足的等量關(guān)系，并寫出推理過程．考點：幾何變換綜合題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AEF進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；（3）根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據(jù)Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；解答：解：（1）∵AB=CD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合．∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，在△AFG和△AEF中，∴△AFG≌△AEF（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；∵AB=AD，∴把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，可使AB與AD重合，∴∠BAE=∠DAG，∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，在△AFG和△AEF中，∴△AFG≌△AEF（SAS），∴EF=FG，即：EF=BE+DF．（3）猜想：DE2=BD2+EC2，證明：根據(jù)△AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABE′，∴△AEC≌△ABE′，∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，∴E′B2+BD2=E′D2，又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，在△AE′D和△AED中，∴△AE′D≌△AED（SAS），∴DE=DE′，∴DE2=BD2+EC2．點評：此題主要考查了幾何變換，關(guān)鍵是正確畫出圖形，證明△AFG≌△AEF．此題是一道綜合題，難度較大，題目所給例題的思路，為解決此題做了較好的鋪墊．13．（14分）（2012?營口）如圖，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中點，點E是線段AB上一動點，連接EM并延長交線段CD的延長線于點F．（1）如圖1，求證：AE=DF；（2）如圖2，若AB=2，過點M作MG⊥EF交線段BC于點G，判斷△GEF的形狀，并說明理由；（3）如圖3，若AB=，過點M作MG⊥EF交線段BC的延長線于點G．①直接寫出線段AE長度的取值范圍；②判斷△GEF的形狀，并說明理由．考點：相似形綜合題。分析：（1）由條件可以得出AM=DM，∠A=∠ADF=90°，∠AME=∠DMF，可以證明△AEM≌△DFM，就可以得出結(jié)論．（2）過點G作GH⊥AD于H，通過條件可以證明△AEM≌△HMG，得出ME=MG，進而得出∠EGM=45°，再由（1）的結(jié)論可以得出∠EGF=90°，從而得出結(jié)論．（3）①當(dāng)點G、C重合時利用三角形相似就可以求出AE的值，從而求出AE的取值范圍．②過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，證明△AEM∽△HMG，可以得出，從而求出tan∠MEG=，就可以求出∠MEG=60°，就可以得出結(jié)論．解答：解：（1）證明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD．∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM．∴AE=DF．（2）答：△GEF是等腰直角三角形．證明：過點G作GH⊥AD于H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四邊形ABGH是矩形．∴GH=AB=2．∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．∴△AEM≌△HMG．∴ME=MG．∴∠EGM=45°．由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF．∵MG⊥EF，∴GE=GF．∴∠EGF=2∠EGM=90°．∴△GEF是等腰直角三角形．（3）①當(dāng)C、G重合時，如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠ADC=90°，∴∠AME+∠AEM=90°．∵MG⊥EF，∴∠EMG=90°．∴∠AME+∠DMC=90°，∴∠AEM=∠DMC，∴△AEM∽△DMC∴，∴，∴AE=∴＜AE≤．②△GEF是等邊三角形．證明：過點G作GH⊥AD交AD延長線于點H，∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四邊形ABGH是矩形．∴GH=AB=2．∵MG⊥EF，∴∠GME=90°．∴∠AME+∠GMH=90°．∵∠AME+∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH．又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG．∴．在Rt△GME中，∴tan∠MEG==．∴∠MEG=60°．由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF．∵MG⊥EF，∴GE=GF．∴△GEF是等邊三角形．點評：本題是一道相似形的綜合題，考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，三角函數(shù)值的運用，等邊三角形的判定，等腰直角三角形的判定．在解答時添加輔助線構(gòu)建全等形和相似形是關(guān)鍵．14．（10分）（2014?重慶）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于點E．在△ABC外有一點F，使FA⊥AE，F(xiàn)C⊥BC．（1）求證：BE=CF；（2）在AB上取一點M，使BM=2DE，連接MC，交AD于點N，連接ME．求證：①ME⊥BC；②DE=DN．考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的性質(zhì)；等腰直角三角形．專題：證明題；幾