代數(shù)方程模型

代數(shù)方程模型第1頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三6.3

原子彈爆炸的能量估計(jì)1945年7月16日美國(guó)科學(xué)家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠試爆了全球第一顆原子彈,震驚世界!當(dāng)時(shí)資料是保密的,無(wú)法準(zhǔn)確估計(jì)爆炸的威力.英國(guó)物理學(xué)家泰勒研究了兩年后美國(guó)公開(kāi)的錄像帶,利用數(shù)學(xué)模型估計(jì)這次爆炸釋放的能量為19.2千噸.后來(lái)公布爆炸實(shí)際釋放的能量21千噸第2頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒測(cè)量：時(shí)刻t

所對(duì)應(yīng)的“蘑菇云”的半徑r原子彈爆炸的能量估計(jì)爆炸產(chǎn)生的沖擊波以爆炸點(diǎn)為中心呈球面向四周傳播,爆炸的能量越大，在一定時(shí)刻沖擊波傳播得越遠(yuǎn).沖擊波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出來(lái).泰勒用量綱分析方法建立數(shù)學(xué)模型,輔以小型試驗(yàn),又利用測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)爆炸的能量進(jìn)行估計(jì).第3頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無(wú)量綱量，[]=1(=L0M0T0)量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上利用物理定律的量綱齊次原則,確定各物理量之間的關(guān)系.第4頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系.例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式1,2,3

為待定系數(shù)，為無(wú)量綱量(1)的量綱表達(dá)式與對(duì)比第5頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三對(duì)x,y,z的兩組量測(cè)值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式?設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為量綱齊次原則單擺運(yùn)動(dòng)第6頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),為無(wú)量綱量基本解第7頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定.Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量綱,nm,q1,q2,qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線(xiàn)性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量,且則第8頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三記爆炸能量為E，將“蘑菇云”近似看成一個(gè)球形.時(shí)刻

t球的半徑為

rt,E空氣密度ρ,大氣壓強(qiáng)P基本量綱：L,M,T

原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

r與哪些因素有關(guān)？

rt

E

ρ

P

LMT量綱矩陣

第9頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子彈爆炸能量估計(jì)的量綱分析方法建模

有2個(gè)基本解兩個(gè)無(wú)量綱量第10頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三原子彈爆炸能量估計(jì)的數(shù)值計(jì)算時(shí)間t非常短能量E

非常大泰勒根據(jù)一些小型爆炸試驗(yàn)的數(shù)據(jù)建議用r,t

的實(shí)際數(shù)據(jù)做平均空氣密度=1.25(kg/m3)1千噸(TNT能量)=4.184*1012焦?fàn)?/p>

E=19.7957(千噸)E=8.2825×1013(焦耳)實(shí)際值21千噸第11頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三泰勒的計(jì)算tr最小二乘法擬合r=atbE=8.0276×1013

(焦耳)即19.2千噸取y平均值得c=6.9038模型檢驗(yàn)b=0.4058~2/5第12頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三量綱分析法的評(píng)注物理量的選取基本量綱的選取基本解的構(gòu)造結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的.基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱.有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解.方法的普適性函數(shù)F和無(wú)量綱量未定.不需要特定的專(zhuān)業(yè)知識(shí).第13頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三物理模擬示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒(méi)面積s,海水密度,重力加速度g.量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用物理模擬:按照一定的比例尺寸構(gòu)造它的物理模型,通過(guò)對(duì)模型的研究得出原型的結(jié)果.量綱分析可以指導(dǎo)物理模擬中比例尺寸的確定.第14頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力fm=7,n=33.量綱矩陣航船速度v,船體尺寸l,浸沒(méi)面積s,海水密度,重力加速度g。第15頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=r4.Ay=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-r法1：利用初等變換法2：利用MATLABA=[1,1,-3,1,2,1;0,0,1,0,0,1;-2,0,0,-1,0,-2];B=A(:,1:3);C=A(:,4:6);x=rats(B\-C)第16頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=r4.Ay=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-r5.m-r

個(gè)無(wú)量綱量第17頁(yè)，共19頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

6.F(1,2,3)=0與(g,l,,v,s,f