二面角的平面角的題型歸納與方法

二面角的平面角題型歸納與方法求二面角是高考中必考內(nèi)容，學(xué)習(xí)過程中要備受關(guān)注，利用傳統(tǒng)方法求解二面角的關(guān)鍵是首先知道二面角的平面角，再轉(zhuǎn)化到三角形中解決，而利用法向量可以降低問題的難度，把問題轉(zhuǎn)化為程序化的求解過程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角。一、法向量求二面角步驟1、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，當(dāng)圖形中有明顯互相垂直且交于一點的三條直線，可以利用這三條直線直接建系；如果沒有明顯交于一點的三條直線，但圖形中有一定對稱關(guān)系， （如正三棱柱、正四棱柱等）利用圖形對稱性建立空間直角坐標(biāo)系解題； 此外頁可以利用面面垂直的性質(zhì)定理，作出互相垂直且交于一點的三條直線，建立坐標(biāo)系。2、求法向量：一般用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下： （1）設(shè)出平面的法向量為 n＝（x，y，z）；（2）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo) a (a1,b1,c1)，b (a2,b2,c2)；（3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于na0x、y、z的方程組；（4）解方程組，取其中的一nb0個解，即得法向量。3、利用數(shù)量積公式求角：設(shè)n1，n2分別是兩個半平面的法向量，則由cos n1,n2 n1 n2求得n1,n2，而n1,n2的大小或其補角的大小即為二面角的n1n2大小，應(yīng)注意n1，n2的方向。所以二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，他等于兩法向量的夾角或其補角。二、考題剖析例1、在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD為矩形，ABPA1BC(a0).aP(Ⅰ)當(dāng)a1時，求證：BDPC；(Ⅱ)若BC邊上有且只有一個點Q，使得PQQD，求此時二面角APDQ的余弦值.AD解：(Ⅰ)當(dāng)a1時，底面ABCD為正方形，BDAC又因為BDPA,BD面PAC又PC面PAC,BDPCBQC(Ⅱ)因為AB,AD,AP兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，令A(yù)B1，可得BCa則B(1,0,0),D(0,a,0)C(1,a,0),P(0,0,1)-1-設(shè)BQ m，則Q(1,m,0)(0 m a)要使PQQD，只要PQQD1m(am)0z即20a2m1mam10,由，此時。P所以BC邊上有且只有一個點Q，使得PQQD時，Q為BC的中點，且a2AyD設(shè)面PQD的法向量p(x,y,1)BCQpQD0xy01,1,1)x則pDP即2y1解得p(0022取平面PAD的法向量q(1,0,0),則p.q的大小與二面角APDQ的大小相等所以cosp.qpq6PD6,因此二面角AQ的余弦值為pq66點評：一般情況下求法向量用待定系數(shù)法.由于法向量沒規(guī)定長度，僅規(guī)定了方向，所以有一個自由度，可把n的某個坐標(biāo)設(shè)為1，再求另兩個坐標(biāo).求解法向量一般借助方程思想，幾何問題代數(shù)化，求得法向量再結(jié)合向量數(shù)量積公式求得二面角。例2、在如圖所示的四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，且面角C－AB－D的大??；分析：由于本題中沒有垂直關(guān)系，需要尋找（或作出三線垂直的直線）。解：根據(jù)已知容易證明 AB 平面BCD，設(shè)以過B點且∥CD的向量為 x軸，BC、BA為y軸和z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a，則A(0，0，a)，C(0，1，0)，D(1，1，0)，BD=(1，1，0)，BA=(0，0，a)平面ABC的法向量CD=(1，0，0)設(shè)平面ABD的一個法向量為n=(x，y，z)，則zBDn0xy0ABAn0az0取n=(1，－1，0)，CDn2cosCDn|CD||n|2∴二面角C－AB－D的大小為45°B點評：解決本題關(guān)鍵是建立合適的直角坐標(biāo)系， 求得點的坐標(biāo)，從而求得法向量。再利用公式出空間角。 x

BC=CD=1．求二AB CDC yD-2-例 3、如圖，四棱錐 P ABCD的底面 ABCD是正方形，側(cè)棱 PD 底面ABCD，PD DC，E是PC的中點．1）證明PA//平面BDE；2）求二面角BDEC的平面角的余弦值；【解析】（1）以D為坐標(biāo)原點，分別以射線DA,DC,DP所在直線為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PDDC2，則A2,0,0，P0,0,2，E0,1,1，B2,2,0，PA(2,0,2)，DE(0,1,1)，DB(2,2,0)．設(shè)n1(x,y,z)是平面BDE的一個法向量，則由 n1DE0得n1DB0

yz01得n1(1,1,1)．2x2y，取y0∵1220，PAn1，又PA平面BDE，PAn所以PA//平面BDE．（2）由（1）知n1(1,1,1)是平面BDE的一個法向量，又n2DA(2,0,0)是平面DEC的一個法向量．設(shè)二面角BDEC的平面角為，由圖可知n1,n2∴coscosn1,n2n1n223|n1||n2|323故二面角BDEC的余弦值為3．3點評：第一問應(yīng)用向量直接計算，避免了作輔助線、平移轉(zhuǎn)化的麻煩；可見運用空間向量的坐標(biāo)運算解決幾何問題時，首先要恰當(dāng)建立空間直角坐標(biāo)系，計算出相關(guān)點的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出向量的坐標(biāo)，再結(jié)合公式進(jìn)行論證、計算，最后轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.例4、如圖所示的幾何體ABCDE中,DA平面EAB，,EADAAB2CB，CB//DAEAAB，M是EC的中點.D(Ⅰ)求證:DMEB;(Ⅱ)求二面角MBDA的余弦值.解:分別以直線AE,AB,AD為x軸、y軸、z軸，建立如C圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)CBa，則MA(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)，ABE-3-所以M(a,a,a).2(Ⅰ)證:DM(a,a,-3a),EB(2a,2a,0)2DMEBa(-2a)a2a00DMEB,即DMEB.(Ⅱ)解:設(shè)平面MBD的法向量為n(x,y,z),DB(0,2a,-2a)，由nDB,nDM得znDB2ay-2az0yzDnDMaxay-3az0x3