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平邑縣重點(diǎn)中學(xué)高二下學(xué)期4月份月考數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題:本題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.4名同學(xué)參加跑步、跳遠(yuǎn)、挑高三個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)1項(xiàng),共有()種報(bào)名方法。A.64種 B.81種 C.32種 D.12種2.設(shè),若,則()A.1 B.-2 C.3 D.-13.已知函數(shù),則的極小值為()A.2 B. C. D.4.丹麥數(shù)學(xué)家琴生(Jensen)是世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人,特別是在函數(shù)的凸凹性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.設(shè)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為,在上的導(dǎo)函數(shù)為,在上恒成立,則稱(chēng)函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.則下列函數(shù)在上是“凹函數(shù)”的是(
)A.B.C.D.5.如圖,提供4種不同的顏色給圖中A,B,C,D四塊區(qū)域涂色,若相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色,則不同的涂法共有()種.A.12 B.36 C.48 D.726.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(
)A. B. C. D.7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù)滿足(其中是的導(dǎo)數(shù)),若,,,則下列選項(xiàng)中正確的是()A. B. C. D.二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.9.如圖是導(dǎo)函數(shù)的圖象,則下列說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在處取得極大值 D.函數(shù)在處取得極小值10.、、、、五個(gè)人并排站在一起,則下列說(shuō)法正確的有(
)A.若、兩人站在一起有種方法B.若、不相鄰共有種方法C.若在左邊有種排法D.若不站在最左邊,不站最右邊,有種方法11.是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),有恒成立,則()A. B.C. D.12.函數(shù),以下說(shuō)法正確的是()A.函數(shù)有零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí),函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C.函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.若______.14.函數(shù)在上的最小值為,則a的取值范圍為_(kāi)_________.15.已知函數(shù),若成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍為.16.已知為曲線上的一動(dòng)點(diǎn),為直線上的一動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為_(kāi)_______時(shí),最小,此時(shí)最小值為_(kāi)_______.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為-1,且在處取得極值.(1)求函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最值.18.電影《奪冠》講述了中國(guó)女排姑娘們頑強(qiáng)拼搏、為國(guó)爭(zhēng)光的勵(lì)志故事,現(xiàn)有4名男生和3名女生相約一起去觀看該影片,他們的座位在同一排且連在一起.(1)女生必須坐在一起的坐法有多少種?(用數(shù)字做答)(2)女生互不相鄰的坐法有多少種?(用數(shù)字做答)(3)甲、乙兩位同學(xué)相鄰且都不與丙同學(xué)相鄰的坐法有多少種?(用數(shù)字做答)19.用一張邊長(zhǎng)為a的正方形硬紙板,在四個(gè)角裁去邊長(zhǎng)為的四個(gè)小正方形,再折疊成無(wú)蓋方盒.當(dāng)裁去的小正方形邊長(zhǎng)發(fā)生變化時(shí),紙盒的容積會(huì)隨之發(fā)生變化.問(wèn):(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;(2)取何值時(shí),容積最大?最大值是多少?20.已知f(x)=ax-lnx,a∈R.(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.21.22.已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),證明:在上恒成立;(2)若有2個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.參考答案一、單項(xiàng)選擇題:本題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.1-5AADBC6-8BCA9.ACD10.AC11.AD12.BC三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.14.15.16.四、解答題:本題共6小題,共70分.17.解:(1)由,根據(jù)題意可得,解得,,,所以;(2)由(1)知,令,解得,,當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),當(dāng)時(shí),,為減函數(shù),當(dāng)時(shí),,為增函數(shù),又,,,,所以,.18.(1)720 (2)1440 (3)960(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人,有種排法,由于甲、乙相鄰,故再把甲、乙排好,有種排法,最后把排好的甲、乙這個(gè)整體與丙分別插入原先排好的4人的5個(gè)空擋中有種排法,故符合條件的排法共有(種).19.解:(1).(3)當(dāng)時(shí),.20.解(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x-lnx,f′(x)=1-eq\f(1,x)=eq\f(x-1,x),∴所求切線的斜率為f′(2)=eq\f(1,2),切點(diǎn)為(2,2-ln2),∴所求切線的方程為y-(2-ln2)=eq\f(1,2)(x-2),即x-2y+2-2ln2=0.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-lnx,x∈(0,e]有最小值3,f′(x)=a-eq\f(1,x)=eq\f(ax-1,x).①當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,故f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=eq\f(4,e)(舍去),所以此時(shí)不存在符合題意的實(shí)數(shù)a;②當(dāng)0<eq\f(1,a)<e,即a>eq\f(1,e)時(shí),f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0,\f(1,a)))上單調(diào)遞減,在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a),e))上單調(diào)遞增,故f(x)min=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))=1+lna=3,解得a=e2,滿足條件;③當(dāng)eq\f(1,a)≥e,即0<a≤eq\f(1,e)時(shí),f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,故f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=eq\f(4,e)(舍去),所以此時(shí)不存在符合題意的實(shí)數(shù)a.綜上,存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f(x)有最小值3.21.22.(1)當(dāng)時(shí),設(shè),則,設(shè),由函數(shù)和在上單調(diào)遞增,知函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,即在上單調(diào)遞增,所以即
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