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正多邊形的計(jì)算之萬(wàn)法歸宗解直角三角形儀隴縣銀山初級(jí)中學(xué)
董興勝各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形,正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的圓心重合叫正多邊形的中心。外接圓半徑叫正多邊形的半徑.切圓的半徑叫正多邊形的邊心距正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角叫中心角,心角的度數(shù)是
360n
。筆者在教學(xué)中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)涉及有關(guān)正多邊形的計(jì)算時(shí),比如計(jì)算正多邊形的邊長(zhǎng),半徑,正多邊形的周長(zhǎng),正多邊形的面積,或者是兩個(gè)正多邊形有關(guān)比值的計(jì)算,往往無(wú)從下手,表現(xiàn)在一遇到題就去畫(huà)圖,下手就算,既費(fèi)時(shí),又方向不清,結(jié)果往往是無(wú)功而返。通過(guò)多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)總結(jié),提出了化歸思想,即任何正多邊形的計(jì)算問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)重要的直角三角形,從而將正多邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題。首先來(lái)認(rèn)識(shí)一下正多邊形的基本知識(shí),僅以N=3,456為例。一
計(jì)算正N邊形的內(nèi)角(如下圖)很容易知道正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于二
將正N邊形分割成等腰三角形(如下圖所示)設(shè)為各正多邊形的中心,即外接圓和內(nèi)切圓的圓心,正n邊的n條半徑分正n邊形為n個(gè)全等的等腰三角形.三
將正N邊形分割成直角三角形(如下圖所示)
這一步只需要作正多邊形的邊心距,邊心距又把上一步個(gè)等腰三角形分成了個(gè)2N直角三角形,這些直角三角形也是全等的此正n邊形的半徑和邊心距把正n形分成2n個(gè)全等的直角三角形。通過(guò)這三步質(zhì)是把正多邊形的問(wèn)題向直角三角形轉(zhuǎn)化于這些直角三角形的斜邊都是正n邊形的半徑R條直角邊是正n邊形的邊心距r另一條直角邊是正n邊形邊長(zhǎng)a的半,一nn個(gè)銳角是正n邊形中心角
的一半,即,所以,就把n邊形的有關(guān)計(jì)算歸結(jié)為解直角三角形問(wèn)題.為了讓學(xué)生理解深刻,容易記憶,筆者特總結(jié)出如下的口訣和圖形:一個(gè)中心,兩條半徑,兩半徑之夾角等于中心角之一半,半徑夾角之對(duì)邊等于邊長(zhǎng)之一半
S=66S=66說(shuō)明:一個(gè)中心指外接圓和內(nèi)切圓二心合一,兩條半徑指外接圓半徑R直角三角形斜邊內(nèi)切圓半徑r?yàn)橐恢苯沁厞A角nn度數(shù)為180/n。另一直角n2四運(yùn)用舉例:
為邊長(zhǎng)的一半。1
正六邊形ABCDEF的半徑R,正六邊形的邊長(zhǎng)a面6S.6解:按此法只需要作出如下的直角三角形a其中OH=r,OA=R,AH=66AH∵OA∴OA
62
,OH⊥AB∠AOH=
1806
=30∴
AH
12
R
∴
2∵
30
r∴
r
311RR22
2面積2
舉一反三此可求圓的內(nèi)接正三角形方形的邊長(zhǎng),求一個(gè)圓的內(nèi)接正三角形,正方形,正六邊形的邊長(zhǎng)比解:設(shè)圓的半徑為R三個(gè)重要直角三角形如圖所示顯然R=R由第一個(gè)圖中直角三角形中三角函數(shù)關(guān)系34
AH得,sin60=可得AH=OAsin60゜,進(jìn)一步得出a=2OAsin60゜2Rsin603同理可得asin45,=2Rsin30比較可得如下式子:46a:a:a=sin60゜sin45:sin30=346
:2:1可舉一反三,求出周長(zhǎng)比,面積比,邊心距之比等。當(dāng)然還有很多結(jié)論可以據(jù)此歸納,總的解題思想就是將復(fù)雜的正多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的直角三角形,體現(xiàn)了化歸思想,萬(wàn)變不離其宗,只需要記住一個(gè)圖一個(gè)口訣,稍加練習(xí),學(xué)生都能應(yīng)付自如,再不會(huì)出現(xiàn)盲目的一遇到題目就開(kāi)始找圓規(guī)畫(huà)圖,拉開(kāi)架勢(shì)四處連線,被眾多的題目牽著走。通過(guò)這種轉(zhuǎn)化體現(xiàn)了將數(shù)學(xué)問(wèn)題模型化,學(xué)生就會(huì)形成經(jīng)驗(yàn)技能,運(yùn)用這種轉(zhuǎn)化方
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