2022數(shù)學(xué)第3章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第3節(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值最值教案理

在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次）。3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般最大值不超過(guò)三次)．f′（x0)＝0x0附近的左側(cè)f′(x）＞0，x0附近的左側(cè)f′（x）＜0，右側(cè)f′(x)＜0右側(cè)f′（x)＞0條件圖象形如山峰形如山谷極值f（x0）為極大值f(x0)為極小值極值點(diǎn)x0為極大值點(diǎn)x0為極小值點(diǎn)提醒：（1)函數(shù)f(x）在x處有極值的必要不充分條件是f′（x0）0＝0,極值點(diǎn)是f′(x）＝0的根,但f′（x）＝0的根不都是極值點(diǎn)(例如f(x)＝x3，f′(0）＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)）．(2)極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫(huà)的是函數(shù)的局部性質(zhì)．極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)．2．函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)（1)函數(shù)f（x)在［a，b］上有最值的條件如果在區(qū)間［a，b]上函數(shù)y＝f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f（x)在［a，b]上的最大（①求函數(shù)y＝f(x)在（a，b）內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x）的各極值處的函數(shù)值f（a）,f（b）,最小的?。┲档牟襟E與端點(diǎn)比較，其中最大的一個(gè)是最大值一個(gè)是最小值．錯(cuò)誤!1．若函數(shù)f(x）的圖象連續(xù)不斷，則f（x)在[a，b]上一定有最值．2．若函數(shù)f（x）在［a，b］上是定在區(qū)間端點(diǎn)3．若函數(shù)f(x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)單調(diào)函數(shù)，則f（x）一處取得最值．,則相應(yīng)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的最值點(diǎn)．（2）對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x）,f′(x0）＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條1。函數(shù)f(x）的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x）的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)（）A．無(wú)極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B．有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)C．有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D．有四個(gè)極大值點(diǎn)、無(wú)極小值點(diǎn)C[設(shè)f′（x)的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)從左至右依次為x1，x2，x3，x4.當(dāng)x＜x1時(shí)，f′(x）＞0,f(x）為增函數(shù),當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′（x）＜0，f（x)為減函數(shù)，則x＝x1為極2022教版33大值點(diǎn),同理，x＝x3為極大值點(diǎn)，x＝x2，x＝x4為極小值點(diǎn)，故選C．］2．設(shè)函數(shù)f(x）＝＋lnx，則()錯(cuò)誤!A．x＝為錯(cuò)誤!f(x）的極大值點(diǎn)B．x＝為錯(cuò)誤!f(x)的極小值點(diǎn)C．x＝2為f（x)的極大值點(diǎn)D．x＝2為f（x）的極小值點(diǎn)D[f′(x）＝－＋＝錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!(x＞0）,當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x)＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，所以x＝2為f(x）的極小值點(diǎn)．］3．函數(shù)f（x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e］上的最大值為_(kāi)_______．－1［f′（x）＝－1，令f′(x)＝0得x＝1。錯(cuò)誤!當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x）＞0；當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，f′（x）＜0.∴當(dāng)x＝1時(shí)，f（x）取得最大值，且f（x)max＝f(1）＝ln1－1＝－1。］4．函數(shù)f（x)＝x3－12x的極小值為_(kāi)_______，極大值為_(kāi)_______．－1616[f′(x)＝3x2－12，令f′（x）＝0，即3x2－12＝0解得x＝±2，當(dāng)x＜－2時(shí),f′(x）＞0，當(dāng)－2＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，

因此x＝－2是極大值點(diǎn)，x＝2是極小值點(diǎn)，f（x）＝f（－2）－12×（－2）＝16，f(x)＝f（2）＝23－12×2＝3[典例1－1]函數(shù)f（x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象如圖所示,則x＋x等于（）21錯(cuò)誤!A．B．C．D．錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!C[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn),所以d＝0.又f（－1)＝0且f（2)＝0,即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0,解得b＝－1,c＝－2，所以函數(shù)f（x）＝x3－x2－2x，所以f′(x）＝3x2－2x－2。由題意知x1，x2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，所以x1，x2是f′(x）＝0的兩個(gè)根，所以x＋x＝,xx＝－，所以x＋x＝（x1＋12錯(cuò)誤!2錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!點(diǎn)評(píng)：可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零,是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)．求已知函數(shù)的極值［典例1－2］已知函數(shù)f（x)＝(x－2）（ex－ax)，當(dāng)a＞0時(shí)，討論f（x）的極值情況．[解］∵f′(x）＝（e－ax）＋(x－2)(ex－a）x＝（x－1）（ex－2a），由f′（x）＝0得x＝1或x＝ln2a(a＞0)．①當(dāng)a＝時(shí)，f′(x)＝（x－1)(ex－e)≥0，錯(cuò)誤!∴f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)無(wú)極值．②當(dāng)0＜a＜時(shí)，ln2a＜1,當(dāng)x變化時(shí),f′(x)，f(x）的變化錯(cuò)誤!情況如下表：x(－∞，ln2a）ln2a(ln2a,1）1（1，＋∞)f′（x）＋0－0＋f（x)↗極大值↘極小值↗故f(x）有極大值f(ln2a）＝－a（ln2a－2)2，極小值f(1)＝a－e。③當(dāng)a＞時(shí)，ln2a＞1，當(dāng)x變化時(shí),f′（x），f(x）的變化錯(cuò)誤!x(－∞,1)1(1,ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f（x）↗極大值↘極小值↗故f(x)有極大值f(1)＝a－e，極小值f（ln2a)＝－a（ln2a－2）。2綜上，當(dāng)0＜a＜時(shí),f（x)有極大值－a（ln2a－2），極2錯(cuò)誤!小值a－e；當(dāng)a＝時(shí),f（x)無(wú)極值；錯(cuò)誤!當(dāng)a＞時(shí)，f（x）有極大值a－e，極小值－a（ln2a－2)2.錯(cuò)誤!點(diǎn)評(píng):求極值時(shí)，要注意f′(x）＝0的根是否在定義域內(nèi)．已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍［典例1－3](1）已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時(shí)有極值0，則a－b＝________.（2）設(shè)函數(shù)f（x)＝[ax2－（3a＋1)x＋3a＋2]ex。若f(x）在x＝1處取得極小值，求a的取值范圍．（1）－7[由題意得f′（x）＝3x2＋6ax＋b，則錯(cuò)誤!解得或錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!2022教版33經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，函數(shù)f（x)在x＝－1處無(wú)法取得極值,而a＝2,b＝9滿足題意，故a－b＝－7.］（2）[解]由f（x）＝［ax2－（3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x）＝[ax2－(a＋1）x＋1]ex＝（ax－1)(x－1）ex。若a＞1,則當(dāng)x∈錯(cuò)誤!時(shí),f′(x）＜0；當(dāng)x∈（1，＋∞)時(shí)，f′（x)＞0.所以f(x)在x＝1處取得極小值．若a≤1，則當(dāng)x∈（0,1）時(shí)，ax－1≤x－1＜0,所以f′(x）＞0.所以1不是f(x）的極小值點(diǎn)．綜上可知,a的取值范圍是（1,＋∞）．點(diǎn)評(píng)：已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的兩個(gè)要領(lǐng)(1）列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．(2）驗(yàn)證：因?yàn)槟滁c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性．錯(cuò)誤!

1．已知函數(shù)f(x)＝x(x－c）在x＝2處有極小值,則實(shí)數(shù)c的2值為()A．6B．2C．2或6D．0B[由f′（2）＝0可得c＝2或6。當(dāng)c＝2時(shí),結(jié)合圖象（圖略)可知函數(shù)結(jié)合圖象（圖略）可知，函數(shù)在x＝2處取得極2．已知三次函數(shù)f（x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖所示，則＝________.先增后減再增，在x＝2處取得極小值；當(dāng)c＝6時(shí)，大值．故選B．]1［f′(x)＝3ax2＋2bx＋c,由圖象知，方程f′（x）＝0的兩根為－1和2，則有錯(cuò)誤!即＝＝＝1.］錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!f′13．(2019·江蘇高考節(jié)選）設(shè)函數(shù)f(x）＝(x－a）(x－b）(x－c），a,b，c∈R，f′(x）為f（x)的導(dǎo)函數(shù)，若a≠b，b＝c,且f（x）和f′(x）的零點(diǎn)均在集合｛－3,1,3｝中，求f(x）的極小值．［解]因?yàn)閎＝c，所以f(x）＝（x－a)（x－b)2＝x3－（a＋2b)x2＋b(2a＋b）x－ab2，從而f′(x）＝3(x－b)錯(cuò)誤!.令f′（x)＝0,得x＝b或x＝。錯(cuò)誤!{－3，1，3}中，且a≠b，錯(cuò)誤!所以＝錯(cuò)誤!1,a＝3，b＝－3.此時(shí)，f(x）＝（x－3）（x＋3)2，f′(x)＝3（x＋3)（x－1）．令f′（x）＝0,得x＝－3或x＝1。x（－∞，－3）－3(－3，1)1（1，＋∞）f′(x）＋0f(x)↗極大值↘極小值↗所以f(x）的極小值為f(1）＝（1－3)×(1＋3)2＝－32。－0＋考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值1．求函數(shù)f(x）在[a，b］上的最大值和最小值的步驟2．求函數(shù)在無(wú)窮區(qū)間(或開(kāi)區(qū)間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調(diào)性，并通過(guò)單調(diào)性和極值情況,畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數(shù)的最值．2022教版33［典例2］(2020·青島模擬）已知函數(shù)f（x)＝excosx－x。(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)（0，f（0）)處的切線方程;（2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值．錯(cuò)誤![解]（1)因?yàn)閒(x)＝excosx－x，所以f′（x)＝ex(cosx－sinx）－1，f′（0)＝0。又因?yàn)閒(0）＝1,所以曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f(0）)處的切線方程為y＝1。(2)設(shè)h（x）＝ex(cosx－sinx）－1,則h′（x）＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx。當(dāng)x∈時(shí),h′（x)＜0,所以h(x）在區(qū)間上單調(diào)遞減．錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!所以對(duì)任意x∈，有h(x）＜h(0)＝0，即f′(x）＜0。錯(cuò)誤!所以函數(shù)f(x）在區(qū)間上單調(diào)遞減．錯(cuò)誤!因此f（x）在區(qū)間上的最大值為f(0）＝1，最小值為f錯(cuò)誤!＝－。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!點(diǎn)評(píng)：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)無(wú)法判斷正負(fù)時(shí)，可令g（x）＝f′(x）再求g′（x),先判斷g（x）＝f′(x)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定y＝f′（x)的正負(fù)號(hào)．錯(cuò)誤!已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

2022教版33(2)當(dāng)a＞0時(shí),求函數(shù)f（x)在[1,2]上的最小值．［解](1)f′（x)＝－a（x＞0），錯(cuò)誤!①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x)＝－a＞0，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞錯(cuò)誤!增區(qū)間為（0，＋∞)．②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!當(dāng)0＜x＜時(shí)，a1f′(x）＝＞0；錯(cuò)誤!當(dāng)x＞時(shí)，1af′（x)＝＜0，錯(cuò)誤!故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，錯(cuò)誤!單調(diào)遞減區(qū)間為.錯(cuò)誤!綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，＋∞)；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，錯(cuò)誤!單調(diào)遞減區(qū)間為.錯(cuò)誤!（2)①當(dāng)0＜≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間［1，2］錯(cuò)誤!上是減函數(shù),所以f（x）的最小值是f（2)＝ln2－2a。1a②當(dāng)≥2，即0＜a≤錯(cuò)誤!時(shí),函數(shù)f（x)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù),所以f（x)的最小值是f（1)＝－a。1a③當(dāng)1＜＜2，即＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x）在上是增函錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!數(shù)，在上是減函數(shù)．又f（2）－f(1)＝ln2－a，所以當(dāng)＜a＜ln2時(shí)，最小值是f(1）＝－a;錯(cuò)誤!當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為f（2）＝ln2－2a.綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f(x）的最小值是f(1)＝－a；當(dāng)a≥ln2時(shí),函數(shù)f（x）的最小值是f(2）＝ln2－2a.考點(diǎn)三利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的四個(gè)步驟(1）分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，建立實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)．(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x)，解方程f′(x）＝0.（3）比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x）＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大（小）值．(4)回歸實(shí)際問(wèn)題,結(jié)合實(shí)際問(wèn)題作答．)某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁，［典例3］（2020·江蘇高考橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行,OO′為鉛垂線(O′在AB上)．經(jīng)測(cè)量，左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a(米）之間滿足關(guān)系式h1＝錯(cuò)誤!a2；右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關(guān)系式h2＝－b錯(cuò)誤!3＋6b。已知點(diǎn)B到OO′的距離為40米．（2）計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米,其中C，E在AB上（不包括端點(diǎn))．橋墩EF每米造價(jià)k（萬(wàn)元），橋墩CD每米造價(jià)k（萬(wàn)元）(k＞0)，問(wèn)O′E為多少錯(cuò)誤!［解](1)如圖，設(shè)AA1，BB1，CD1，EF1都與MN垂直，A1，B1，D1，F(xiàn)1是相應(yīng)垂足．由條件知,當(dāng)O′B＝40時(shí)，BB1＝－×40錯(cuò)誤!3由O′A2＝160,錯(cuò)誤!得O′A＝80。2022教版33所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120（米）．(2）以O(shè)為原點(diǎn)，OO′為y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖所示)．設(shè)F（x，y2），x∈(0，40)，則y2＝－錯(cuò)誤!x3＋6x,EF＝160－y2＝160＋錯(cuò)誤!x3－6x.因?yàn)镃E＝80，所以O(shè)′C＝80－x.設(shè)D（x－80，y1），則y＝（80－x），21錯(cuò)誤!所以CD＝160－y1＝160－（80－x)2＝－x2＋4x。錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!記橋墩CD和EF的總造價(jià)為f(x)，則f（x)＝k錯(cuò)誤!＋k錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!＝k錯(cuò)誤!（0＜x＜40)．f′（x)＝k＝x(x－20),錯(cuò)誤!錯(cuò)誤!令f′（x)＝0，得x＝20.x(0，20)20(20，40）f′（x）－0＋f(x）↘極小值↗所以當(dāng)x＝20時(shí),f（x)取得最小值．答：（1）橋AB的長(zhǎng)度為120米；(2)當(dāng)O′E為20米時(shí),橋墩CD和EF的總造價(jià)點(diǎn)評(píng)：實(shí)際生活中用料最省、費(fèi)用最低、損耗