和倍差倍問題和差問題問題講義及練習(xí)測(cè)試參考答案優(yōu)質(zhì)的

精心整理第一講和倍問題和倍問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與它們的倍數(shù)關(guān)系，求大小兩個(gè)數(shù)的應(yīng)用題.為了幫助我們理解題意，弄清兩種量彼此間的關(guān)系，常采用畫線段圖的方法來表示兩種量間的這種關(guān)系，以便于找到解題的途徑。例1甲班和乙班共有圖書160本.甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？分析設(shè)乙班的圖書本數(shù)為1份，則甲班圖書為乙班的3倍，那么甲班和乙班圖書本數(shù)的和相當(dāng)于乙班圖書本數(shù)的4倍.還可以理解為4份的數(shù)量是160本，求出1份的數(shù)量也就求出了乙班的圖書本數(shù)，然后再求甲班的圖書本數(shù).用下圖表示它們的關(guān)系：解：乙班：160+（3+1）=40（本）甲班：40X3=120（本）或160-40=120（本）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。這道應(yīng)用題解答完了，怎樣驗(yàn)算呢？可把求出的甲班本數(shù)和乙班本數(shù)相加，看和是不是160本；再把甲班的本數(shù)除以乙班本數(shù)，看是不是等于3倍.如果與條件相符，表明這題作對(duì)了.注意驗(yàn)算決不是把原式再算一遍。驗(yàn)算：120+40=160（本）120+40=3（倍）。例2甲班有圖書120本，乙班有圖書30本，甲班給乙班多少本，甲班的圖書是乙班圖書的2倍？分析解這題的關(guān)鍵是找出哪個(gè)量是變量，哪個(gè)量是不變量.從已知條件中得出，不管甲班給乙班多少本書，還是乙班從甲班得到多少本書，甲、乙兩班圖書總和是不變的量.最后要求甲班圖書是乙班圖書的2倍，那么甲、乙兩班圖書總和相當(dāng)于乙班現(xiàn)有圖書的3倍.依據(jù)解和倍問題的方法，先求出乙班現(xiàn)有圖書多少本，再與原有圖書本數(shù)相比較，可以求出甲班給乙班多少本書（見上圖）。解：①甲、乙兩班共有圖書的本數(shù)是：30+120=150（本）②甲班給乙班若干本圖書后，甲、乙兩班共有的倍數(shù)是：2+1=3（倍）精心整理③乙班現(xiàn)有的圖書本數(shù)是：150+3=50（本）④甲班給乙班圖書本數(shù)是：50-30=20（本）綜合算式：（30+120）+（2+1）=50（本）50-30=20（本）答：甲班給乙班20本圖書后，甲班圖書是乙班圖書的2倍。驗(yàn)算：（120-20）+（30+20）=2（倍）（120-20）+（30+20）=150（本）。例3光明小學(xué)有學(xué)生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？分析把女生人數(shù)看作一份，由于男生人數(shù)比女生人數(shù)的3倍還少40人，如果用男、女生人數(shù)總和760人再加上40人，就等于女生人數(shù)的4倍（見下圖）。解：①女生人數(shù)：（760+40）+（3+1）=200（人）②男生人數(shù)：200X3-40=560（人）或760-200=560（人）答：男生有560人，女生有200人。驗(yàn)算：560+200=760（人）（560+40）+200=3（倍）。例4果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵.桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？分析下圖可以看出桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，都是同梨樹相比較、以梨樹的棵數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)、作為1份數(shù)容易解答.又知三種樹的總數(shù)是552棵.如果給蘋果樹增加20棵，那么就和梨樹同樣多了；再?gòu)奶覙淅餃p少12棵，那么就相當(dāng)于梨樹的2倍了，而總棵樹則變?yōu)?52+20-12=560（棵），相當(dāng)于梨樹棵數(shù)的4倍。解：①梨樹的棵數(shù)：（552+20-12）+（1+1+2）=560+4=140（棵）②桃樹的棵數(shù)：140X2+12=292（棵）精心整理③蘋果樹的棵數(shù)：140-20=120（棵）答：桃樹、梨樹、蘋果樹分別是292棵、140棵和120棵。例5549是甲、乙、丙、丁4個(gè)數(shù)的和.如果甲數(shù)加上2,乙數(shù)減少2,丙數(shù)乘以2,丁數(shù)除以2以后，則4個(gè)數(shù)相等.求4個(gè)數(shù)各是多少？分析上圖可以看出，丙數(shù)最小.由于丙數(shù)乘以2和丁數(shù)除以2相等，也就是丙數(shù)的2倍和丁數(shù)的一半相等，即丁數(shù)相當(dāng)于丙數(shù)的4倍.乙減2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根據(jù)這些倍數(shù)關(guān)系，可以先求出丙數(shù)，再分別求出其他各數(shù)。解：①丙數(shù)是：（549+2-2）+（2+2+1+4）=549+9=61②甲數(shù)是：61X2-2=120③乙數(shù)是：61X2+2=124④丁數(shù)是：61X4=244驗(yàn)算：120+124+61+244=549120+2=122124-2=12261X2=122244+2=122答：甲、乙、丙、丁分別是120、124、61、244.. 習(xí)題解答.①小明的本數(shù)：120+（2+1）=40（本）.②小強(qiáng)的本數(shù)：40X2=80（本）。.①杏樹的棵數(shù)：（340-20）+（3+1）=80（棵）.②桃樹的棵數(shù)：80X3+20=260（棵）。.①長(zhǎng)方形的寬：（30+2）+（2+1）=5（厘米）.②長(zhǎng)方形的長(zhǎng)：5X2=10（厘米）。③長(zhǎng)方形的面積：10X5=50（平方厘米）。.①甲、乙兩水池共有水：2600+1200=3800（立方米）②甲水池剩下的水：3800+（4+1）=760（立方米）精心整理③甲水池流入乙水池中的水：2600-760=1840（立方米）④經(jīng)過的時(shí)間（分鐘）：1840+23=80（分鐘）。.①甲、乙兩桶油總重量：470+190=660（千克）：②當(dāng)甲桶油是乙桶油2倍時(shí)，乙桶油是：660+（2+1）=220（千克）：③由甲桶倒入乙桶中的油：220-190=30（千克）。.①變化后的繩子總長(zhǎng)95-7+8=96（米）.②第二條繩長(zhǎng)：96+（1+1+1）=32（米）。③第一條繩長(zhǎng)：32+7=39（米）。④第三條繩長(zhǎng)：32-8=24（米）.第二講差倍問題前面講了應(yīng)用線段圖分析“和倍”應(yīng)用題，這種方法使分析的問題具體、形象，使我們能比較順利地解答此類應(yīng)用題.下面我們?cè)賮硌芯颗c“和倍”問題有相似之處的“差倍”應(yīng)用題。“差倍問題”就是已知兩個(gè)數(shù)的差和它們的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)。差倍問題的解題思路與和倍問題一樣，先要在題目中找到1倍量，再畫圖確定解題方法.被除數(shù)的數(shù)量和除數(shù)的倍數(shù)關(guān)系要相對(duì)應(yīng)，相除后得到的結(jié)果是一倍量，然后求出另一個(gè)數(shù)，最后再寫出驗(yàn)算和答題。例1甲班的圖書本數(shù)比乙班多80本，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，甲班和乙班各有圖書多少本？乙班一本避甲班「二 、 :前本,分析上圖把乙班的圖書本數(shù)看作1倍，甲班的圖書本數(shù)是乙班的3倍，那么甲班的圖書本數(shù)比乙班多2倍.又知“甲班的圖書比乙班多80本”，即2倍與80本相對(duì)應(yīng)，可以理解為2倍是80本，這樣可以算出1倍是多少本.最后就可以求出甲、乙班各有圖書多少本。解：①乙班的本數(shù)：80+（3-1）=40（本）精心整理②甲班的本數(shù)：40X3=120（本）或40+80=120（本）。驗(yàn)算：120-40=80（本）120+40=3（倍）答：甲班有圖書120本，乙班有圖書40本。例2菜站運(yùn)來的白菜是蘿卜的3倍，賣出白菜1800千克，蘿卜300千克，剩下的兩種蔬菜的重量相等，菜站運(yùn)來的白菜和蘿卜各是多少千克？分析這樣想：根據(jù)“菜站運(yùn)來的白萊是蘿卜的3倍”應(yīng)把運(yùn)來的蘿卜的重量看作1倍;“賣出白菜1800千克，蘿卜300千克后，剩下兩種蔬菜的重量正好相等”，說明運(yùn)來的白菜比蘿卜多1800-300=1500（千克）.從上圖中清楚地看到這個(gè)重量相當(dāng)于蘿卜重量的3-1=2（倍），這樣就可以先求出運(yùn)來的蘿卜是多少千克，再求運(yùn)來的白菜是多少千克。解：①運(yùn)來蘿卜：（1800-300）+（3-1）=750（千克）②運(yùn)來白菜：750X3=2250（千克）驗(yàn)算：2250-1800=450（千克）（白菜剩下部分）750-300=450（千克）（蘿卜剩下部分）答：菜站運(yùn)來白菜2250千克，蘿卜750千克。例3有兩根同樣長(zhǎng)的繩子，第一根截去12米，第二根接上14米，這時(shí)第二根長(zhǎng)度是第一根長(zhǎng)的3倍，兩根繩子原來各長(zhǎng)多少米？分析上圖，兩根繩子原來的長(zhǎng)度一樣長(zhǎng)，但是從第一根截去12米，第二根繩子又接上14米后，第二根的長(zhǎng)度是第一根的3倍.應(yīng)該把變化后的第一根長(zhǎng)度看作1倍，而12+14=26（米），正好相當(dāng)于第一根繩子剩下的長(zhǎng)度的2倍.所以，當(dāng)從第一根截去12米后剩下的長(zhǎng)度可以求出來了，那么第一根、第二根原有長(zhǎng)度也就可以求出來了。解：①第一根截去12米剩下的長(zhǎng)度：（12+14）+（3-1）=13（米）②兩根繩子原來的長(zhǎng)度：13+12=25（米）答：兩根繩子原來各長(zhǎng)25米。自己進(jìn)行驗(yàn)算，看答案是否正確.另外還可以想想，有無其他方法求兩根繩子原來各有多長(zhǎng).精心整理小結(jié)：解答這類題的關(guān)鍵是要找出兩個(gè)數(shù)量的差與兩個(gè)數(shù)量的倍數(shù)的差的對(duì)應(yīng)關(guān)系.用除法求出1倍數(shù)，也就是較小的數(shù)，再求幾倍數(shù)。解題規(guī)律：差+倍數(shù)的差=1倍數(shù)（較小數(shù)）1倍數(shù)X幾倍二幾倍的數(shù)（較大的數(shù)）或：較小的數(shù)十差二較大的數(shù)。例4三（1）班與三（2）班原有圖書數(shù)一樣多.后來，三（1）班又買來新書74本，三（2）班從本班原書中拿出96本送給一年級(jí)小同學(xué)，這時(shí)，三（1）班圖書是三（2）班的3倍，求兩班原有圖書各多少本？分析兩個(gè)班原有圖書一樣多.后來三（1）班又買新書74本，即增加了74本；三（2）班從本班原有圖書中取出96本送給一年級(jí)同學(xué)，則圖書減少了96本.結(jié)果是一個(gè)班增加，另一個(gè)班減少，這樣兩個(gè)班圖書就相差96+74=170（本），也就是三（1）班比三（2）班多了170本圖書.又知三（1）班現(xiàn)有圖書是三（2）班圖書的3倍，可見這170本圖書就相當(dāng)于三（2）班所剩圖書的3-1=2倍，三（2）班所剩圖書本數(shù)就可以求出來了，隨之原有圖書本數(shù)也就求出來了（見上圖）。解：①后來三（1）班比三（2）班圖書多多少本？74+96=170（本）②三^）班剩下的圖書是多少本？170+（3-1）=85（本）③三^）班原有圖書多少本？85+96=181（本）（兩個(gè)班原有圖書一樣多）綜合算式：（74+96）+（3-1）+96=170+2+96=85+96=181（本）驗(yàn)算：181+74=255（本）181-96=85（本）255+85=3（倍）精心整理答：兩班原來各有圖書181本。例5兩塊同樣長(zhǎng)的花布，第一塊賣出31米，第二塊賣出19米后，第二塊是第一塊的4倍，求每塊花布原有多少米？分析已知兩塊花布同樣長(zhǎng)，由于第一塊賣出的多，第二塊賣出的少，因此第一塊剩下的少，第二塊剩下的多.所剩的布第二塊比第一塊多31-19=12（米）.又知第二塊所剩下的布是第一塊的4倍，那么第二塊比第一塊多出的12米正好相當(dāng)于所剩布的（4-1）倍，這樣，第一塊所剩布的長(zhǎng)度即可求出（見上圖）。解：①第二塊布比第一塊布多剩多少米？31-19=12（米）②第一塊布剩下多少米？12?（4-1）=4（米）③第一塊布原有多少米？4+31=35（米）（兩塊布原有長(zhǎng)度相等）綜合列式：（31-19）?（4-1）+31=12?3+31=4+31=35（米）驗(yàn)算：35-31=4（米）35-19=16（米）16?4=4（倍）答：每塊布原有35米長(zhǎng)。習(xí)題八解答.一頭牛重量是:4500?（10-1）=500（千克）一只大象重量:500X10=5000（千克）。.杏樹棵數(shù)：90?（3-1）=45（棵）桃樹棵數(shù)：45X3=135（棵）。.把第二塊布剩下的米數(shù)看作1倍數(shù)：精心整理（74-50）?（3-1）=12（米）剪去的米數(shù)：50-12=38（米）。.把甲校調(diào)走30人后的甲校人數(shù)看作1倍：（30X2）?（3-1）=30（人）甲、乙兩校原有教師各30+30=60（人）。.甲筐重量：（19+7）+（3-1）=13（千克）乙筐重量：13X3=39原有重量：13+7=20（千克）。.甲數(shù)：（320+460）+2=390乙數(shù)：390+320=710。（25-14）?（2-1）+25=11?1+25=11+25=36（米）.第三講和差問題和差問題是已知大小兩個(gè)數(shù)的和與兩個(gè)數(shù)的差，求大小兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。為了解答這種應(yīng)用題，首先要弄清兩個(gè)數(shù)相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個(gè)數(shù)的差，而有些應(yīng)用題把兩個(gè)數(shù)的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”。例：“把姐姐的鉛筆拿出3支后，姐姐、弟弟的鉛筆支數(shù)就同樣多.”這說明姐姐的鉛筆比弟弟多3支，也說明姐姐和弟弟鉛筆相差3支。再例：“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后，兩人鉛筆支數(shù)就同樣多.”如果認(rèn)為姐姐的鉛筆比弟弟多3支（差是3）,那就錯(cuò)了.實(shí)際上姐姐比弟弟多2個(gè)3支.姐姐給弟弟3支后，自己留下3支，再加上他們?cè)械你U筆數(shù)，他們的鉛筆支數(shù)才可能一樣多.這里3X2=6支，就是暗差。“把姐姐的鉛筆給弟弟3支后還比弟弟多1支”，這就說明姐姐的鉛筆支數(shù)比弟弟多3X2+1=7（支）。例1兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克?精心整理分析這樣想：假設(shè)第二筐和第一筐重量相等時(shí)，兩筐共重150+8=158（千克）；假設(shè)第一筐重量和第二筐相等時(shí)，兩筐共重150-8=142（千克）.解法1：①第二筐重多少千克？（150-8）+2=71（千克）②第一筐重多少千克？71+8=79（千克）或150-71=79（千克）解法2：①第一筐重多少千克？（150+8）+2=79（千克）②第二筐重多少千克？79-8=71（千克）或150-79=71（千克）答：第一筐重79千克，第二筐重71千克。例2今年小強(qiáng)7歲，爸爸35歲，當(dāng)兩人年齡和是58歲時(shí)，兩人年齡各多少歲？爸爸：E—r \八小強(qiáng)：L.『歲 卜歲分析題中沒有給出小強(qiáng)和爸爸年齡之差，但是已知兩人今年的年齡，那么今年兩人的年齡差是35-7=28（歲）.不論過多少年，兩人的年齡差是保持不變的.所以，當(dāng)兩人年齡和為58歲時(shí)他們年齡差仍是28歲.根據(jù)和差問題的解題思路就能解此題。解：①爸爸的年齡：[58+（35-7）]+2=[58+28]+2=86+2=43（歲）②小強(qiáng)的年齡：精心整理58-43=15（歲）答：當(dāng)父子兩人的年齡和是58歲時(shí)，小強(qiáng)15歲，他爸爸43歲。例3小明期末考試時(shí)語文和數(shù)學(xué)的平均分?jǐn)?shù)是94分，數(shù)學(xué)比語文多8分，問語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？分析解和差問題的關(guān)鍵就是求得和與差，這道題中數(shù)學(xué)與語文成績(jī)之差是8分，但是數(shù)學(xué)和語文成績(jī)之和沒有直接告訴我們.可是，條件中給出了兩科的平均成績(jī)是94分，這就可以求得這兩科的總成績(jī).解：①語文和數(shù)學(xué)成績(jī)之和是多少分？94X2=188（分）②數(shù)學(xué)得多少分？（188+8）^2=196^2=98（分）③語文得多少分？（188-8）^2=180^2=90（分）或98-8=90（分）答：小明期末考試語文得90分，數(shù)學(xué)得98分.例4甲乙兩校共有學(xué)生864人，為了照顧學(xué)生就近入學(xué)，從甲校調(diào)入乙校32名同學(xué)，這樣甲校學(xué)生還比乙校多48人，問甲、乙兩校原來各有學(xué)生多少人？分析這樣想：甲、乙兩校學(xué)生人數(shù)的和是864人，根據(jù)由甲校調(diào)入乙校32人，這樣甲校比乙校還多48人可以知道，甲校比乙校多32X2+48=112（人）.112是兩校人數(shù)差。解：①乙校原有的學(xué)生：（864-32X2-48）+2=376（人）②甲校原有學(xué)生：864-376=488（人）答：甲校原有學(xué)生488人，乙校原有學(xué)生376人。小結(jié)：從以上4個(gè)例題可以看出題目給的條件雖然不同，但是解題思路和解題方法是一致的.和差問題的一般解題規(guī)律是：（和+差）+2=較大數(shù)較大數(shù)-差二較小數(shù)或（和-差）+2=較小數(shù)較小數(shù)+差=較大數(shù)精心整理也可以求出一個(gè)數(shù)后，用和減去這個(gè)數(shù)得到另一個(gè)數(shù).下面我們用和差問題的思路來解答一個(gè)數(shù)學(xué)問題。例5在每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間填上適當(dāng)?shù)募踊驕p符號(hào)使算式成立。123456789=5分析這樣想：從1至9這幾個(gè)數(shù)字相加是不會(huì)得到5的，只能從一部分?jǐn)?shù)字相加再減去一部分字后差是5,也就是說1到9的和是45,而兩部分的差是5,先要求出這兩部分?jǐn)?shù)字，利用和差問題的方法便可以求出。（45-5）+2=20,20+5=25可求出其中幾個(gè)數(shù)的和是25,而另外幾個(gè)數(shù)的和是20.在組成和是25的