三角函數(shù)公式分類總結(jié)

三角函數(shù)公式分類總結(jié)三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的一類函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。其定義城為整個(gè)實(shí)數(shù)城。另一種定義是在直角三角形中，但并不完全?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無(wú)窮敖列的極限和微分方程的解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。公式分類同角三角函數(shù)的基本關(guān)系倒數(shù)關(guān)系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的關(guān)系：sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方關(guān)系：sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)平常針對(duì)不同條件的常用的兩個(gè)公式sin^2(α)+cos^2(α)=1tanα*cotα=1一個(gè)特殊公式（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）證明：（sina+sinθ）*sin^2(a)正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)三倍角公式推導(dǎo)sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sina)+(1-2sina)sina=3sina-4sin^3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cosa-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosasin3a=3sina-4sin^3a=4sina(3/4-sina)=4sina[(√3/2)-sina]=4sina(sin60°-sina)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos^3a-3cosa=4cosa(cosa-3/4)=4cosa[cosa-(√3/2)^2]=4cosa(cosa-cos30°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述兩式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)現(xiàn)列出公式如下：sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tanα）cos2α=cosα-sinα=2cosα-1=1-2sinα可別輕視這些字符，它們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)起到重要作用，包括在一些圖像問(wèn)題和函數(shù)問(wèn)題中三倍角公式sin3α=3sinα-4sinα=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)半角公式sin(α/2)=(1-cosα)/2cos(α/2)=(1+cosα)/2tan(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα萬(wàn)能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)]cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根據(jù)棣美弗定理，(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)為方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考慮n為正整數(shù)的情形：cos(nθ)+isin(nθ)=(c+is)^n=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...+C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...=>比較兩邊的實(shí)部與虛部實(shí)部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n+C(n,2)*c^(n-2)*(is)^2+C(n,4)*c^(n-4)*(is)^4+...i*(虛部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(is)^1+C(n,3)*c^(n-3)*(is)^3+C(n,5)*c^(n-5)*(is)^5+...對(duì)所有的自然數(shù)n，1.cos(nθ)：公式中出現(xiàn)的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。2.sin(nθ)：(1)當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方關(guān)系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。(2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：公式中出現(xiàn)的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方關(guān)系)，因此即使再怎么換成s，都至少會(huì)剩c(也就是cosθ)的一次方無(wú)法消掉。(例.c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinAsin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))半角公式兩角和公式兩角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)三角和公式sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)和差化積sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]和差化積公式sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)積化和差sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2雙曲函數(shù)sha=[e^a-e^(-a)]/2cha=[e^a+e^(-a)]/2tha=sinh(a)/cosh(a)公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ+α）=sinαcos（2kπ+α）=cosαtan（2kπ+α）=tanαcot（2kπ+α）=cotα公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π+α）=-sinαcos（π+α）=-cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（-α）=-sinαcos（-α）=cosαtan（-α）=-tanαcot（-α）=-cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π-α）=sinαcos（π-α）=-cosαtan（π-α）=-tanαcot（π-α）=-cotα公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π-α）=-sinαcos（2π-α）=cosαtan（2π-α）=-tanαcot（2π-α）=-cotα公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=-sinαtan（π/2+α）=-cotαcot（π/2+α）=-tanαsin（π/2-α）=cosαcos（π/2-α）=sinαtan（π/2-α）=cotαcot（π/2-α）=tanαsin（3π/2+α）=-cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=-cotαcot（3π/2+α）=-tanαsin（3π/2-α）=-cosαcos（3π/2-α）=-sinαtan（3π/2-α）=cotαcot（3π/2-α）=tanα(以上k∈Z)A·sin(ωt+θ)+B·sin(ωt+φ)=√{(A+2ABcos(θ-φ)}·sin{ωt+arcsin[(A·sinθ+B·sinφ)/√{A^2+B^2+2ABcos(θ-φ)}}√表示根號(hào),包括{……}中的內(nèi)容三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（六公式）公式一：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanα公式二：sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinα公式三：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα公式四：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosα公式五：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosα公式六：tanA=sinA/cosAtan（π/2+α）=－cotαtan（π/2－α）=cotαtan（π－α）=－tanαtan（π+α）=tanα誘導(dǎo)公式記背訣竅：奇變偶不變，符號(hào)看象限萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))]cosα=[1-(tan(α/2))]/[1+(tan(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))]其它公式三角函數(shù)其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2證明下面兩式，只需將一式,左右同除(sinα)^2，第二個(gè)除(cosα)^2即可(4)對(duì)于任意非直角三角形，總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí)，該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC其他非重點(diǎn)三角函數(shù)csc(a)=1/sin(a)sec(a)=1/cos(a)(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<1)arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<1)arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)無(wú)限公式sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……]secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……](sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/πarctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)和自變量數(shù)列求和有關(guān)的公式sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2)tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinxcosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)內(nèi)容規(guī)律三角函數(shù)看似很多，很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律就會(huì)發(fā)現(xiàn)三角函數(shù)各個(gè)公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。三角函數(shù)本質(zhì)：根據(jù)三角函數(shù)定義推導(dǎo)公式[1]根據(jù)右圖，有sinθ=y/r;cosθ=x/r;tanθ=y/x;cotθ=x/y深刻理解了這一點(diǎn)，下面所有的三角公式都可以從這里出發(fā)推導(dǎo)出來(lái)，比如以推導(dǎo)sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB為例：推導(dǎo)：首先畫單位圓交X軸于C，D，在單位圓上有任意A，B點(diǎn)。角AOD為α，BOD為β，旋轉(zhuǎn)AOB使OB與OD重合，形成新A'OD。A(cosα,sinα),B(cosβ，sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2和差化積及積化和差用還原法結(jié)合上面公式可推出（換(a+b)/2與(a-b)/2）單位圓定義單位圓六個(gè)三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為一中心為原點(diǎn)的單位圓來(lái)定義。單位圓定義在實(shí)際計(jì)算上沒(méi)有大的價(jià)值；實(shí)際上對(duì)多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對(duì)所有正數(shù)和負(fù)數(shù)輻角都有定義，而不只是對(duì)于在0和π/2弧度之間的角。它也提供了一個(gè)圖象，把所有重要的三角函數(shù)都包含了。根據(jù)勾股定理，單位圓的等式是：圖象中給出了用弧度度量的一些常見(jiàn)的角。逆時(shí)針?lè)较虻亩攘渴钦?，而順時(shí)針的度量是負(fù)角。設(shè)一個(gè)過(guò)原點(diǎn)的線，同x軸正半部分得到一個(gè)角θ，并與單位圓相交。這個(gè)交點(diǎn)的x和y坐標(biāo)分別等于cosθ和sinθ。圖象中的三角形確保了這個(gè)公式；半徑等于斜邊且長(zhǎng)度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。單位圓可以被視為是通過(guò)改變鄰邊和對(duì)邊的長(zhǎng)度，但保持斜邊等于1的一種查看無(wú)限個(gè)三角形的方式。三角函數(shù)萬(wàn)能公式萬(wàn)能公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2證明下面兩式,只需將一式,左右同除(sinα)^2,第二個(gè)除(cosα)^2即可(4)對(duì)于任意非直角三角形,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC證:A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得證同樣可以得證,當(dāng)x+y+z=nπ(n∈Z)時(shí),該關(guān)系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下結(jié)論(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC(8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC三角函數(shù)萬(wàn)能公式為什么萬(wàn)能萬(wàn)能公式為：設(shè)tan(A/2)=tsinA=2t/(1+t^2)（A≠2kπ+π，k∈Z）tanA=2t/(1-t^2)（A≠2kπ+π，k∈Z）cosA=(1-t^2)/(1+t^2)（A≠2kπ+π，且A≠kπ+(π/2)k∈Z）就是說(shuō)sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)來(lái)表示,當(dāng)要求一串函數(shù)式最值的時(shí)候,就可以用萬(wàn)能公式,推導(dǎo)成只含有一個(gè)變量的函數(shù),最值就很好求了.三角函數(shù)和角公式誘導(dǎo)公式又稱三角函數(shù)的加法定理，是幾個(gè)角的和（差）的三角函數(shù)通過(guò)其中各個(gè)角的三角函數(shù)來(lái)表示的關(guān)系目錄誘導(dǎo)公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六一般的最常用公式·平方關(guān)系·積的關(guān)系·倒數(shù)關(guān)系·商數(shù)關(guān)系·兩角和與差的三角函數(shù)·輔助角公式·倍角公式·三倍角公式·半角公式·降冪公式·萬(wàn)能公式·積化和差公式·和差化積公式·其他部分高等內(nèi)容·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示·三角函數(shù)作為微分方程的解特殊三角函數(shù)值三角函數(shù)的計(jì)算傅立葉級(jí)數(shù)誘導(dǎo)公式常用的誘導(dǎo)公式有以下幾組：1.sinα^2+cosα^2=12.sinα/cosα=tanα3.tanα=1/cotα公式一公式一:設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六公式六：π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα(以上k∈Z)一般的最常用公式口訣;奇變偶不變，符號(hào)看象限一般的最常用公式有:Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)同角三角函數(shù)的關(guān)系（即同角八式）·平方關(guān)系·平方關(guān)系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)·積的關(guān)系·積的關(guān)系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα*cscαsecα=tanα*cscαcscα=secα*cotα·倒數(shù)關(guān)系·倒數(shù)關(guān)系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1·商數(shù)關(guān)系·商數(shù)關(guān)系：sina/cosa=tanacosa/sina=cota直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,sina=y/r余弦等于角A的鄰邊比斜邊cosa=x/r正切等于對(duì)邊比鄰邊,tana=y/x三角函數(shù)恒等變形公式·兩角和與差的三角函數(shù)·兩角和與差的三角函數(shù)：cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·輔助角公式·輔助角公式：Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)·倍角公式·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·三倍角公式·三倍角公式：sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα·半角公式·半角公式：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·降冪公式·降冪公式：sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=vercos(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·萬(wàn)能公式·萬(wàn)能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·積化和差公式·積化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化積公式·和差化積公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等內(nèi)容部分高等內(nèi)容·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示·高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]泰勒展開(kāi)有無(wú)窮級(jí)數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2?。珃^3/3?。珃^4/4！＋…＋z^n/n?。藭r(shí)三角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集?！と呛瘮?shù)作為微分方程的解·三角函數(shù)作為微分方程的解：對(duì)于微分方程組y=-y'';y=y''''，有通解Q,可證明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以從此出發(fā)定義三角函數(shù)。補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義一種類似的函數(shù)——雙曲函數(shù)，其擁有很多與三角函數(shù)的類似的性質(zhì)，二者相映成趣。特殊三角函數(shù)值特殊三角函數(shù)值a0`30`45`60`90`sina01/2√2/2√3/21cosa1√3/2√2/21/20tana0√3/31√3NonecotaNone√31√3/3015度角的三角函數(shù)值：正弦為(√6-√2)/4；余弦為(√6+√2)/4；正切為2-√3，余切為2+√3。三角函數(shù)的計(jì)算三角函數(shù)的計(jì)算冪級(jí)數(shù)c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn(n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n(n=0..∞)它們的各項(xiàng)都是正整數(shù)冪的冪函數(shù),其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數(shù),這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).泰勒展開(kāi)式(冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...f(n)(a)/n!*(x-a)n+...實(shí)用冪級(jí)數(shù)：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+...+xn/n!+...ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-...(-1)k-1*xk/k+...(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞)cosx=1-x2/2!+x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞)arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...(|x|<1)arccosx=π-(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+...)(|x|<1)arctanx=x-x^3/3+x^5/5-...(x≤1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+...(-∞<x<∞)coshx=1+x2/2!+x4/4!+...(-1)k*x2k/(2k)!+...(-∞<x<∞)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-...(|x|<1)arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+...(|x|<1)--------------------------------------------------------------------------------傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)(三角級(jí)數(shù))f(x)=a0/2+∑(n=0..∞)(ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π)(f(x))dxan=1/π∫(π..-π)(f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π)(f(x)sinnx)dxsin2a=2sinacosacos2a=cosa^2-sina^2=1-2sina^2=2cosa^2-1tan2a=2tana/1-tana^2三角函數(shù)誘導(dǎo)公式目錄誘導(dǎo)公式的本質(zhì)常用的誘導(dǎo)公式其他三角函數(shù)知識(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法兩角和差公式二倍角的正弦、余弦和正切公式半角的正弦、余弦和正切公式萬(wàn)能公式三倍角的正弦、余弦和正切公式三角函數(shù)的和差化積公式三角函數(shù)的積化和差公式公式推導(dǎo)過(guò)程誘導(dǎo)公式的本質(zhì)所謂三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，就是將角n·(π/2)±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為角α的三角函數(shù)。常用的誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ+α）=sinαk∈zcos（2kπ+α）=cosαk∈ztan（2kπ+α）=tanαk∈zcot（2kπ+α）=cotαk∈zsec（2kπ+α）=secαk∈zcsc（2kπ+α）=cscαk∈z公式二：設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsec(π+α)=-secαcsc(π+α)=-cscα公式三：任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsec(-α)=secαcsc(-α)=-cscα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotαsec(π-α)=-secαcsc(π-α)=cscα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）=－sinαcos（2π－α）=cosαtan（2π－α）=－tanαcot（2π－α）=－cotαsec(2π-α)=secαcsc(2π-α)=-cscα公式六：π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsec(π/2+α)=-cscαcsc(π/2+α)=secαsin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsec(π/2-α)=cscαcsc(π/2-α)=secα推算公式：3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（3π/2+α）=－cosαcos（3π/2+α）=sinαtan（3π/2+α）=－cotαcot（3π/2+α）=－tanαsec(3π/2+α)=cscαcsc(3π/2+α)=-secαsin（3π/2－α）=－cosαcos（3π/2－α）=－sinαtan（3π/2－α）=cotαcot（3π/2－α）=tanαsec(3π/2-α)=-cscαcsc(3π/2-α)=-secα[1]誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。“奇、偶”指的是π/2的倍數(shù)的奇偶，“變與不變”指的是三角函數(shù)的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號(hào)看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號(hào)還是負(fù)號(hào)。符號(hào)判斷口訣：“一全正；二正弦；三兩切；四余弦”。這十二字口訣的意思就是說(shuō)：第一象限內(nèi)任何一個(gè)角的四種三角函數(shù)值都是“+”；第二象限內(nèi)只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限內(nèi)只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限內(nèi)只有余弦是“+”，其余全部是“－”。“ASCT”反Z。意即為“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照將字母Z反過(guò)來(lái)寫所占的象限對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)為正值。其他三角函數(shù)知識(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的關(guān)系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方關(guān)系sin^2(α)+cos^2(α)=11+tan^2(α)=sec^2(α)1+cot^2(α)=csc^2(α)同角三角函數(shù)關(guān)系六角形記憶法構(gòu)造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中間1"的正六邊形為模型。倒數(shù)關(guān)系對(duì)角線上兩個(gè)函數(shù)互為倒數(shù)；商數(shù)關(guān)系六邊形任意一頂點(diǎn)上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)上函數(shù)值的乘積。（主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積，下面4個(gè)也存在這種關(guān)系。）。由此，可得商數(shù)關(guān)系式。平方關(guān)系在帶有陰影線的三角形中，上面兩個(gè)頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點(diǎn)上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβsin（α－β）=sinαcosβ－cosαsinβcos（α+β）=cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）=(tanα+tanβ)/(1－tanα·tanβ)tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα·tanβ)二倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2(α)－sin^2(α)=2cos^2(α)