北師大版八年級下冊數(shù)學第一章三角形的證明-測試卷含答案_第1頁
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文檔簡介

北師大版八年級下冊數(shù)學第一章三角形的證明評卷人得分一、單選題1.如圖,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,則PC與PD的大小關(guān)系是()A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能確定2.如圖,已知在△ABC,AB=AC.若以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點E,則下列結(jié)論一定正確的是()A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE3.已知三邊的垂直平分線的交點在的邊上,則的形狀為()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定4.如圖,點C是△ABE的BE邊上一點,點F在AE上,D是BC的中點,且AB=AC=CE,給出下列結(jié)論:①AD⊥BC;②CF⊥AE;③∠1=∠2;④AB+BD=DE,其中正確的結(jié)論有(

)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個5.如圖,∠ACB=90°,CD⊥AB,則∠1與∠B的關(guān)系是()A.互余 B.互補 C.相等 D.不確定6.等腰三角形的兩邊長分別為3和6,則這個等腰三角形的周長為()A.12B.15C.12或15D.187.若等邊△ABC的邊長為2cm,那么△ABC的面積為()A.cm2 B.2cm C.3cm2 D.4cm28.如圖,在△ABC中,AC=4cm,線段AB的垂直平分線交AC于點N,△BCN的周長是7cm,則BC的長為()A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm9.在等邊三角形所在平面內(nèi)找出一個點,使它與三角形中的任意兩個頂點所組成的三角形都是等腰三角形,這樣的點一共有()A.1個 B.4個 C.7個 D.10個10.如圖,在△ABC中,BC=8,AB的中垂線交BC于D,AC的中垂線交BC于E,則△ADE的周長等于()A.8 B.4 C.12 D.16評卷人得分二、填空題11.已知等腰三角形的一個外角是70°,則它頂角的度數(shù)為.12.如圖,已知△ABC中,AB=AC,AB邊上的垂直平分線DE交AC于點E,D為垂足,若∠ABE:∠EBC=2:1,則∠A=__________.13.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為BC中點,∠BAD=36°,則∠BAC的度數(shù)為________,∠C的度數(shù)為________.14.如圖所示,AB=AD,AD∥BC,∠BDC=90°,∠ABC=∠DCB,則∠ADB等于________度.15.如圖,△ABC的三邊AB、BC、CA長分別是20、30、40,其三條角平分線將△ABC分成三個三角形,則::等于__________.16.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直線BC于點D,若AD=BC,則△ABC的頂角的度數(shù)為_____.17.如圖∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=6,則PD等于________.18.如圖,已知點P是∠AOB角平分線上的一點,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中點,DM=4cm,如果點C是OB上一個動點,則PC的最小值為________cm.評卷人得分三、解答題19.如圖,點D,E在△ABC的邊BC上,AB=AC,BD=CE.求證:AD=AE.20.如圖,A,E,F(xiàn),C在一條直線上,AE=CF,過E,F(xiàn)分別作DE⊥AC,BF⊥AC,若AB=CD,試證明BD平分EF.21.如圖,△ABC的高BD與CE相交于點O,OD=OE,AO的延長線交BC于點M,請你從圖中找出幾對全等的直角三角形,并說明理由.22.如圖:AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,連接E、F,求證:AD是EF的垂直平分線.23.如圖所示,是邊長為1的等邊三角形,是頂角的等腰三角形,以為頂點作一個的角,角的兩邊交、于、,連結(jié),求周長.24.如圖,在△ABC中,點D是AB的中點,點F是BC延長線上一點,連接DF,交AC于點E,連接BE,∠A=∠ABE.(1)求證:DF是線段AB的垂直平分線;(2)當AB=AC,∠A=46°時,求∠EBC及∠F的度數(shù).25.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC邊的中線,過點C作CF⊥AE,垂足為點F,過點B作BD⊥BC交CF的延長線于點D.(1)試證明:AE=CD;(2)若AC=12cm,求線段BD的長度.26.如圖,等邊△ABC中,AO是∠BAC的角平分線,D為AO上一點,以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE,連接BE.(1)求證:△ACD≌△BCE.(2)延長BE至Q,P為BQ上一點,連接CP、CQ使CP=CQ=5,若BC=6,求PQ的長.27.如圖,已知在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,D為AB中點,設(shè)點P在線段BC上以3cm/秒的速度由B點向C點運動,點Q在線段CA上由C點向A點運動.(1)若Q點運動的速度與P點相同,且點P,Q同時出發(fā),經(jīng)過1秒鐘后△BPD與△CQP是否全等,并說明理由;(2)若點P,Q同時出發(fā),但運動的速度不相同,當Q點的運動速度為多少時,能在運動過程中有△BPD與△CQP全等?(3)若點Q以(2)中的速度從點C出發(fā),點P以原來的速度從點B同時出發(fā),都是逆時針沿△ABC的三邊上運動,經(jīng)過多少時間點P與點Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇?參考答案1.B【解析】主要應用到全靠等三角形的判定、性質(zhì)及應用.通過AAS來證明△OCP和△ODP全等即可.證明:∵OP平分∠AOB∴∠AOP=∠BOP∵PC⊥OA于C,PD⊥OB于D∴∠OCP=∠ODP=90°又∵OP=OP∴△OCP≌△ODP(AAS)∴PC=PD點評:此題主要考查學生對全等三角形判定的應用,及對角平分線的理解.2.C【解析】解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵以點B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點E,∴BE=BC,∴∠ACB=∠BEC,∴∠BEC=∠ABC=∠ACB,∴∠BAC=∠EBC.故選C.點睛:本題考查了等腰三角形的性質(zhì),當?shù)妊切蔚牡捉菍嗟葧r其頂角也相等,難度不大.3.B【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊垂直平分線概念即可解題.【詳解】解,由三角形的垂直平分線可知,銳角三角形三邊的垂直平分線的交點在△ABC的內(nèi)部,直角三角形三邊的垂直平分線的交點在△ABC的斜邊上,鈍角三角形三邊的垂直平分線的交點在△ABC的外部.故選B.【點睛】本題考查了三角形垂直平分線的概念,屬于簡單題,熟悉概念是解題關(guān)鍵.4.B【解析】【分析】根據(jù)所給條件利用三線合一性質(zhì)即可證明①正確,進而證明④正確,即可解題.【詳解】①∵D是BC的中點,AB=AC,

∴AD⊥BC,故①正確;

②∵F在AE上,不一定是AE的中點,AC=CE,

∴無法證明CF⊥AE,故②錯誤;

③無法證明∠1=∠2,故③錯誤;

④∵D是BC的中點,

∴BD=DC,

∵AB=CE,

∴AB+BD=CE+DC=DE,故④正確.

故其中正確的結(jié)論有①④.

故選B.【點睛】本題考查三角形的性質(zhì)和證明,中等難度,找到等腰三角形利用三線合一性質(zhì)是解題關(guān)鍵.5.C【解析】【分析】根據(jù)直角三角形得∠A+∠B=90°,根據(jù)CD⊥AB,得∠1+∠A=90°,利用同角的余角相等即可得到∠1=∠B.【詳解】解:∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,∵CD⊥AB,∴∠1+∠A=90°,∴∠1=∠B(同角的余角相等),故選C【點睛】本題考查了三角形的證明,用到了同角的余角相等,屬于簡單題,熟悉直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.6.B【解析】試題分析:根據(jù)題意,要分情況討論:①、3是腰;②、3是底.必須符合三角形三邊的關(guān)系,任意兩邊之和大于第三邊.解:①若3是腰,則另一腰也是3,底是6,但是3+3=6,∴不構(gòu)成三角形,舍去.②若3是底,則腰是6,6.3+6>6,符合條件.成立.∴C=3+6+6=15.故選B.考點:等腰三角形的性質(zhì).7.A【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形面積公式S=,即可解題.【詳解】解:∵△ABC為等邊三角形,邊長=2,∴S==,故選A【點睛】本題考查求等邊三角形的面積,屬于簡單題,熟悉等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵.8.C【解析】試題分析:∵MN是線段AB的垂直平分線,∴AN=BN,∵△BCN的周長是7cm,∴BN+NC+BC=7(cm),∴AN+NC+BC=7(cm),∵AN+NC=AC,∴AC+BC=7(cm),又∵AC=4cm,∴BC=7﹣4=3(cm).故選C.考點:線段垂直平分線的性質(zhì).9.D【解析】解:如圖,①內(nèi)部一個,是三角形的中心P,②外面有九個,在直線AP上有三個點,,,滿足A=AB,A=AB,B=AB,同理,在直線BP上有三個點,在直線CP上有三個點,滿足條件.共有10個點.故選D.10.A【解析】【詳解】∵AB的中垂線交BC于D,AC的中垂線交BC于E,∴DA=DB,EA=EC,則△ADE的周長=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8,故選A.11.110°【解析】試題分析:三角形內(nèi)角與相鄰的外角和為180°,三角形內(nèi)角和為180°,等腰三角形兩底角相等,110°只可能是頂角.解:等腰三角形一個外角為70°,那相鄰的內(nèi)角為110°,三角形內(nèi)角和為180°,如果這個內(nèi)角為底角,內(nèi)角和將超過180°,所以110°只可能是頂角.故答案為110°.考點:等腰三角形的性質(zhì).12.45°【解析】∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵E在線段AB的垂直平分線上,∴EA=EB,∴∠ABE=∠A=2∠EBC,∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=∠A+∠A,∵∠A+∠ABC+∠C=180°,∴∠A+2(∠A+∠A)=180°,∴∠A=45°,故答案為:45°.13.72°54°【解析】【分析】根據(jù)已知證明△ABC為等腰三角形,利用三線合一性質(zhì)即可解題.【詳解】解:∵AB=AC,D為BC中點,∴∠BAD=∠CAD,AD⊥BC(三線合一),∵∠BAD=36°,∴∠BAC=72°,∠C=90°-36°=54°.【點睛】本題考查三角形的證明,三線合一的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉三線合一的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.14.30【解析】【分析】根據(jù)已知證明三角形ABD為等腰三角形,利用AD∥BC得∠ABD=∠ADB=∠DBC,根據(jù)∠BDC=90°得到∠DCB與∠DBC互余,等量代換角即可解題.【詳解】解:∵AB=AD,AD∥BC,∴∠ABD=∠ADB=∠DBC,又∠ABC=∠DCB,∴∠DCB=2∠DBC,∵∠BDC=90°,即∠DCB+∠DBC=90°,∴∠DBC=30°,∴∠ADB=30°.【點睛】本題考查了簡單的三角證明,平行線性質(zhì),直角三角形性質(zhì),中等難度,等量代換角是解題關(guān)鍵.15.2:3:4.【解析】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得,點O到三角形三邊的距離相等,即三個三角形的AB、BC、CA的高相等,利用面積公式即可求解.【詳解】解:過點O作OD⊥AC于D,OE⊥AB于E,OF⊥BC于F,∵O是三角形三條角平分線的交點,∴OD=OE=OF,∵AB=20,BC=30,AC=40,∴::=2:3:4.故答案為2:3:4.16.30°或150°或90°【解析】試題分析:分兩種情況;①BC為腰,②BC為底,根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC內(nèi)部和外部兩種情況求解即可.解:①BC為腰,∵AD⊥BC于點D,AD=BC,∴∠ACD=30°,如圖1,AD在△ABC內(nèi)部時,頂角∠C=30°,如圖2,AD在△ABC外部時,頂角∠ACB=180°﹣30°=150°,②BC為底,如圖3,∵AD⊥BC于點D,AD=BC,∴AD=BD=CD,∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°,∴頂角∠BAC=90°,綜上所述,等腰三角形ABC的頂角度數(shù)為30°或150°或90°.故答案為30°或150°或90°.點睛:本題考查了含30°交點直角三角形的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),分類討論是解題的關(guān)鍵.17.3【解析】【詳解】試題分析:過P作PE⊥OB于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PD,在求得∠BCP=30°,在Rt△ECP中,根據(jù)30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求得PD的長.試題解析:過P作PE⊥OB于E,∵PD⊥OA,PE⊥OB,∠AOP=∠BOP=15°,∴∠BOA=30°,PE=PD,∵PC∥OA,∴∠BOA=∠BCP=30°,又△ECP為直角三角形,且PC=6,∴PE=3,PD=3.考點:角平分線的性質(zhì);特殊直角三角形的性質(zhì).18.4【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義可得,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和垂線段最短得到答案.【詳解】是角平分線上的一點,,,,M是OP的中點,,,,點C是OB上一個動點,的最小值為P到OB距離,的最小值,故答案為4.【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),熟記性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造成直角三角形是解題的關(guān)鍵.19.利用等腰三角形的性質(zhì)得到∠B=∠C,然后證明△ABD≌△ACE即可證得結(jié)論.【解析】分析:證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.在△ABD與△ACE中,∵,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴AD=AE.20.詳見解析.【解析】【分析】根據(jù)已知條件證明AB=CD,AF=CF,證明Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),得BF=DE,進而證明△BFG≌△DEG(AAS),即可證明.【詳解】證明∵DE⊥AC,BF⊥AC,∴∠DEG=∠BFE=90°,∵AE=CF,AE+EF=CF+EF,即AF=CE.

在Rt△ABF和Rt△CDE中,AB=CD,AF=CF,∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL),∴BF=DE.在△BFG和△DEG中,∠BFG=∠DEG,∠BGF=∠DGE,BF=DE∴△BFG≌△DEG(AAS),∴FG=EG,即BD平分EF【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì),中等難度,將中點問題轉(zhuǎn)化成證明全等問題是解題關(guān)鍵.21.△ADO≌△AEO,△DOC≌△EOB,△COF≌△BOF,△ACF≌△ABF,△ADB≌△AEC,△BCE≌△CBD.理由見解析.【解析】試題分析:△ADO≌△AEO,△DOC≌△EOB,△COF≌△BOF,△ACF≌△ABF,△ADB≌△AEC,△BCE≌△CBD,利用全等三角形的判定可證明,做題時,要結(jié)合已知條件與三角形全等的判定方法逐個驗證.試題解析:△ADO≌△AEO,△DOC≌△EOB,△COF≌△BOF,△ACF≌△ABF,△ADB≌△AEC,△BCE≌△CBD.理由如下:在△ADO與△AEO中,∠ADO=∠AEO=90°,,∴△ADO≌△AEO(HL),∴∠DAO=∠EAO,AD=AE,在△DOC與△EOB中,,∴△DOC≌△EOB(ASA),∴DC=EB,OC=OB,∴DC+AD=EB+AE,即AC=AB,∵∠DAO=∠EAO,∴AM⊥BC,CM=BM,在△COF與△BOF中,∠OMC=∠OMB=90°,,∴△COF≌△BOF(HL),在△ACF與△ABF中,∠AFC=∠AFB=90°,,∴△ACF≌△ABF(HL),在△ADB與△AEC中,,∴△ADB≌△AEC(SAS),在△BCE與△CBD中,∠BEC=∠CDB=90°,,∴△BCE≌△CBD(HL).22.詳見解析.【解析】【分析】根據(jù)垂直證明Rt△AED≌Rt△AFD(HL),即可解題.【詳解】證明:∵AD是∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠AED=∠AFD=90°,在Rt△AED和Rt△AFD中∵,∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),∴AE=AF,∵AD是∠BAC的平分線,∴AD是EF的垂直平分線【點睛】本題考查了全等三角形的判定,屬于簡單題,將垂直平分線問題轉(zhuǎn)換為全等問題是解題關(guān)鍵.23.△AMN的周長為2.【解析】【分析】根據(jù)已知條件得△CDE≌△BDM,再利用DE=DM,證明△DMN≌△DEN,得到對應邊相等即可解題.【詳解】如圖,延長NC到E,使CE=BM,連接DE,∵△ABC為等邊三角形,△BCD為等腰三角形,且∠BDC=120°,∴∠MBD=∠MBC+∠DBC=60°+30°=90°,∠DCE=180°﹣∠ACD=180°﹣∠ABD=90°,又∵BM=CE,BD=CD,∴△CDE≌△BDM,∴∠CDE=∠BDM,DE=DM,∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=∠BDC﹣∠MDN=120°﹣60°=60°,∵在△DMN和△DEN中,,∴△DMN≌△DEN,∴MN=NE=CE+CN=BM+CN,∴△AMN的周長=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=1+1=2,故△AMN的周長為2.【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)與應用,截長補短的數(shù)學方法,中等難度,作輔助線證明全等是解題關(guān)鍵.24.(1)見解析;(2)∠EBC=21°,∠F=23°.【解析】試題分析:(1)、根據(jù)題意得出AE=BE,然后結(jié)合AD=BD得出答案;(2)、根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠ACB=67°,根據(jù)∠EBC=∠ABC﹣∠ABE和∠F=90°﹣∠ABC得出角度.試題解析:(1)、證明:∵∠A=∠ABE,∴EA=EB,∵AD=DB,∴DF是線段AB的垂直平分線;(2)、解:∵∠A=46°,∴∠ABE=∠A=46°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=67°,∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°,∠F=90°﹣∠ABC=23°.25.(1)證明見解析(2)BD=6cm.【解析】【分析】(1)證兩條線段相等,通常用全等,本題中的AE和CD分別在三角形AEC和三角形CDB中,在這兩個三角形中,已經(jīng)有一組邊相等,一組角相等了,因此只需再找一組角即可利用角角邊進行解答;(2)由(1)得BD=EC=BC=AC,且AC=12cm,即可求出BD的長.【詳解】(1)∵DB⊥BC,CF⊥AE,∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°,∴∠D=∠AEC,又∵∠DBC=∠ECA=90°,且BC=CA,∴△DBC≌△ECA(AAS),∴AE=CD;(2)因為△ACE≌△CBD,所以BD=CE,因為CE=BC=AC=×12=6cm,所以BD=6cm.【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),判定兩個三角形全等,先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形,然后再根據(jù)三角形全等的判定方法,看缺什么條件,再去證什么條件.26.(1)詳見解析;(2)PQ=8.【解析】【分析】(1)根據(jù)等邊三角形得∠ACD=∠BCE,即可證明△ACD≌△BCE(SAS),(2)過C作CH⊥BQ,垂足為H,由角平分線得到∠CAD=∠BAC=30°,通過(1)得∠CAD=∠CBH=30°,根據(jù)30

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