高中數(shù)學(xué)校本課程5

高中數(shù)學(xué)校本課程5.高中數(shù)學(xué)校本課程5./高中數(shù)學(xué)校本課程5.第五講數(shù)學(xué)解題思想過程數(shù)學(xué)解題的思想過程是指從理解問題開始,從經(jīng)過研究思路,變換問題直至解決問題,進(jìn)行回顧的全過程的思想活動。在數(shù)學(xué)中,平時(shí)可將解題過程分為四個(gè)階段:第一階段是審題。包括認(rèn)清習(xí)題的條件和要求,深入解析條件中的各個(gè)元素,在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識信息,建立習(xí)題的條件、結(jié)論與知識和經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系,為解題作好知識上的準(zhǔn)備。第二階段是追求解題路子。有目的地進(jìn)行各種組合的試驗(yàn),盡可能將習(xí)題化為已知種類,選擇最優(yōu)解法,選擇解題方案,經(jīng)檢驗(yàn)后作修正,最后確定解題計(jì)劃。第三階段是推行計(jì)劃。將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)質(zhì)地付諸實(shí)現(xiàn),經(jīng)過與已知條件所選擇的依照作比較后修正計(jì)劃,爾后著腕表達(dá)解答過程的方法,并且書寫解答與結(jié)果。第四階段是檢查與總結(jié)。求得最后結(jié)果今后,檢查并解析結(jié)果。商議實(shí)現(xiàn)解題的各種方法,研究特別狀況與局部狀況,找出最重要的知識。將新知識和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化。因此:第一階段的理解問題是解題思想活動的開始。第二階段的變換問題是解題思想活動的核心,是研究解題方向和路子的積極的試一試發(fā)現(xiàn)過程,是思想策略的選擇和調(diào)整過程。第三階段的計(jì)劃推行是解決問題過程的實(shí)現(xiàn),它包括著一系列基礎(chǔ)知識和基本技術(shù)的靈便運(yùn)用和思想過程的詳盡表達(dá),是解題思想活動的重要組成部分。第四階段的反思問題常常簡單為人們所忽視,它是發(fā)展數(shù)學(xué)思想的一個(gè)重要方面,是一個(gè)思想活動過程的結(jié)束包括另一個(gè)新的思想活動過程的開始。經(jīng)過以下研究路子來提高解題能力:(1研究問題的條件時(shí),在需要與可能的狀況下,可畫出相應(yīng)圖形或思路圖幫助思慮。由于這意味著你對題的整個(gè)情境有了清楚的詳盡的認(rèn)識。(2清楚地理解情境中的各個(gè)元素;必然要弄清楚其中哪些元素是給定了的,即已知的,哪些是所求的,即未知的。(3深入地解析并思慮習(xí)題表達(dá)中的每一個(gè)符號、術(shù)語的含義,從中找出習(xí)題的重要元素,要圖中標(biāo)出(用直觀符號已知元素和未知元素,并試著改變一下題目中(或圖中各元素的地址,看看可否有重要發(fā)現(xiàn)。(4盡可能從整體上理解題目的條件,找出它的特點(diǎn),聯(lián)想以前可否遇到過近似題目。(5仔細(xì)考慮題意可否有其他不相同理解。題目的條件有無節(jié)余的、互相矛盾的內(nèi)容?可否還缺少條件?(6仔細(xì)研究題目提出的目標(biāo)。經(jīng)過目標(biāo)找出哪些理論的法規(guī)同題目或其他元素有聯(lián)系。(7若是在解題中發(fā)現(xiàn)有你熟悉的一般數(shù)學(xué)方法,就盡可能用這類方法的語言表示題的元素,以利于解題思路的張開。以上路子特別有益于開始解題者能迅速“登堂入室”,找到解題的起步點(diǎn)。在擬定計(jì)劃追求解法階段,最好利用下面這套研究方法:(1想法將題目與你會解的某一類題聯(lián)系起來。也許盡可能找出你熟悉的、最吻合已知條件的解題方法。(2記住:題的目標(biāo)是追求解答的主要方向。在仔細(xì)解析目標(biāo)時(shí)即可試一試可否用你熟悉的方法去解題。(3解了幾步后可將所得的局部結(jié)果與問題的條件、結(jié)論作比較。用這類方法檢查解題路子可否合理,以便及時(shí)進(jìn)行修正或調(diào)整。(4試一試可否局部地改變題目,換種方法表達(dá)條件,故意簡化題的條件(也就是編擬條件簡化了的同類題再求其解。再試一試可否擴(kuò)大題目條件(編一個(gè)更一般的題目,并將與題相關(guān)的見解用它的定義加以取代。(5分解條件,盡可能將分成部分重新組合,擴(kuò)大騍條件的理解。(6試一試將題分解成一串輔助問題,依次解答這些輔助問題即可組成所給題目的解。(7研究題的某些部分的極限狀況,察看這樣會對基本目標(biāo)產(chǎn)生什么影響。(8改變題的一部分,看對其他部分有何影響;依照上面的“影響”改變題的某些部分所出現(xiàn)的結(jié)果,試一試可否對題的目標(biāo)作出一個(gè)“展望”。(9萬一用盡方法還是解不出來,你就從課本中或科普數(shù)學(xué)小冊子中找一個(gè)同類題,研究解析其現(xiàn)成答案,從中找出解題的有益啟示。數(shù)學(xué)解題的技巧為了使回憶、聯(lián)想、猜想的方向更明確,思路更加爽朗,進(jìn)一步提高研究的收效,我們必定掌握一些解題的策略。所有解題的策略的基本出發(fā)點(diǎn)在于“變換”,即把面對的問題轉(zhuǎn)變成一道或幾道易于解答的新題,以經(jīng)過對新題的察看,發(fā)現(xiàn)原題的解題思路,最后達(dá)到解決原題的目的。基于這樣的認(rèn)識,常用的解題策略有:熟悉化、簡單化、直觀化、特別化、一般化、整體化、間接化等。一、熟悉化策略所謂熟悉化策略,就是當(dāng)我們面對的是一道以前沒有接觸過的陌生題目時(shí)法把它化為以前解過的或比較熟悉的題目,以便充分利用已有的知識、經(jīng)驗(yàn)或解模式,順利地解出原題。

,要設(shè)題一般說來,對于題目的熟悉程度,取決于對題目自己構(gòu)造的認(rèn)識和理解。從構(gòu)造上來解析,任何一道解答題,都包括條件和結(jié)論(或問題兩個(gè)方面。因此,要把陌生題轉(zhuǎn)變成熟悉題,可以在變換題目的條件、結(jié)論(或問題以及它們的聯(lián)系方式上多下功夫。常用的路子有:(一、充分聯(lián)想回憶基本知識和題型:依照波利亞的見解,在解決問題以前,我們應(yīng)充分聯(lián)想和回憶與原有問題相同或相似的知識點(diǎn)和題型,充分利用相似問題中的方式、方法和結(jié)論,從而解決現(xiàn)有的問題。(二、全方向、多角度解析題意:對于同一道數(shù)學(xué)題,常?？梢圆幌嗤膫?cè)面、不相同的角度去認(rèn)識。因此,依照自己的知識和經(jīng)驗(yàn),合時(shí)調(diào)整解析問題的視角,有助于更好地掌握題意,找到自己熟悉的解題方向。(三合適構(gòu)造輔助元素:數(shù)學(xué)中,同一素材的題目,常常可以有不相同的表現(xiàn)形式;條件與結(jié)論(或問題之間,也存在著多種聯(lián)系方式。因此,合適構(gòu)造輔助元素,有助于改變題目的形式,溝通條件與結(jié)論(或條件與問題的內(nèi)在聯(lián)系,把陌生題轉(zhuǎn)變成熟悉題。數(shù)學(xué)解題中,構(gòu)造的輔助元素是多種多樣的,常有的有構(gòu)造圖形(點(diǎn)、線、面、體,構(gòu)造算法,構(gòu)造多項(xiàng)式,構(gòu)造方程(組,構(gòu)造坐標(biāo)系,構(gòu)造數(shù)列,構(gòu)造行列式,構(gòu)造等價(jià)性命題,構(gòu)造反例,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型等等。二、簡單化策略所謂簡單化策略,就是當(dāng)我們面對的是一道構(gòu)造復(fù)雜、難以下手的題目時(shí),要設(shè)法把轉(zhuǎn)變成一道或幾道比較簡單、易于解答的新題,以便經(jīng)過對新題的察看,啟示解題思路,以簡馭繁,解出原題。簡單化是熟悉化的補(bǔ)充和發(fā)揮。一般說來,我們對于簡單問題常常比較熟悉或簡單熟悉。因此,在實(shí)質(zhì)解題時(shí),這兩種策略常常是結(jié)合在一起進(jìn)行的,可是著眼點(diǎn)有所不相同而已。解題中,推行簡單化策略的路子是多方面的,常用的有:追求中間環(huán)節(jié),分類察看談?wù)?簡化已知條件,合適分解結(jié)論等。1、追求中間環(huán)節(jié),挖掘隱含條件:在些構(gòu)造復(fù)雜的綜合題,就其生成背景而論,大多是由若干比較簡單的基本題,經(jīng)過合適組合抽去中間環(huán)節(jié)而組成的。因此,從題目的因果關(guān)系下手,追求可能的中間環(huán)節(jié)和隱含條件,把原題分解成一組互相聯(lián)系的系列題,是實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化的一條重要路子。2、分類察看談?wù)?在些數(shù)學(xué)題,解題的復(fù)雜性,主要在于它的條件、結(jié)論(或問題包括多種不易識其他可能狀況。對于這類問題,選擇合適的分類標(biāo)準(zhǔn),把原題分解成一組并列的簡單題,有助于實(shí)現(xiàn)復(fù)雜問題簡單化。3、簡單化已知條件:有些數(shù)學(xué)題,條件比較抽象、復(fù)雜,不太簡單下手。這時(shí),不如簡化題中某些已知條件,甚至?xí)簳r(shí)撇開不論,先考慮一個(gè)簡化問題。這樣簡單化了的問題,對于解答原題,常常能起到穿針引線的作用。4、合適分解結(jié)論:有些問題,解題的主要困難,來自結(jié)論的抽象概括,難以直接和條件聯(lián)系起來,這時(shí),不如猜想一下,可否把結(jié)論分解為幾個(gè)比較簡單的部分,以便各個(gè)擊破,解出原題。三、直觀化策略:所謂直觀化策略,就是當(dāng)我們面對的是一道內(nèi)容抽象,不易捉摸的題目時(shí),要想法把它轉(zhuǎn)變成形象鮮亮、直觀詳盡的問題,以便依賴事物的形象掌握題中所及的各對象之間的聯(lián)系,找到原題的解題思路。(一、圖表直觀:有些數(shù)學(xué)題,內(nèi)容抽象,關(guān)系復(fù)雜,給理解題意增添了困難,常常會由于題目的抽象性和復(fù)雜性,使正常的思想難以進(jìn)行終究。對于這類題目,借助圖表直觀,利用表示圖或表格解析題意,有助于抽象內(nèi)容形象化,復(fù)雜關(guān)系條理化,使思想有相對詳盡的依賴,便于深入思慮,發(fā)現(xiàn)解題線索。(二、圖形直觀:有些涉及數(shù)量關(guān)系的題目,用代數(shù)方法求解,道路曲折曲折,計(jì)算量偏大。這時(shí),不如借助圖形直觀,給題中相關(guān)數(shù)量以合適的幾何解析,拓寬心題思路,找出簡捷、合理的解題路子。(三、圖象直觀:很多涉及數(shù)量關(guān)系的題目,與函數(shù)的圖象親近相關(guān),靈便運(yùn)用圖象的直觀性,常常能以簡馭繁,獲取簡略,巧妙的解法。四、特別化策略所謂特別化策略,就是當(dāng)我們面對的是一道難以下手的一般性題目時(shí),要注意從一般退到特別,先察看包括在一般狀況里的某些比較簡單的特別問題,以便從特別問題的研究中,拓寬心題思路,發(fā)現(xiàn)解答原題的方向或路子。五、一般化策略所謂一般化策略,就是當(dāng)我們面對的是一個(gè)計(jì)算比較復(fù)雜或內(nèi)在聯(lián)系不甚明顯的特別問題時(shí),要想法把特別問題一般化,找出一個(gè)可以揭穿事物實(shí)質(zhì)屬性的一般狀況的方法、技巧或結(jié)果,順利解出原題。六、整體化策略所謂整體化策略,就是當(dāng)我們面對的是一