新人教A版高中數(shù)學(xué)講義全套：三角函數(shù)

1．1.1任意角eq\a\vs4\al([新知初探])1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形．(2)角的表示：如圖，OA是角α的始邊，OB是角α的終邊，O是角的頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．(3)角的分類：名稱定義圖示正角按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角[點睛]對角的概念的理解的關(guān)鍵是抓住“旋轉(zhuǎn)”二字：①要明確旋轉(zhuǎn)的方向；②要明確旋轉(zhuǎn)量的大??；③要明確射線未作任何旋轉(zhuǎn)時的位置．2．象限角把角放在平面直角坐標(biāo)系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個角不屬于任何一個象限．[點睛]象限角的條件是：角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．3．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個周角的和．[點睛]對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)這一條件不可少；(3)終邊相同的角的表示不唯一．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)鈍角是第二象限的角．()(3)終邊相同的角一定相等．()答案：(1)√(2)√(3)×2．與45°角終邊相同的角是()A．－45° B．225°C．395° D．－315°答案：D3．下列說法正確的是()A．銳角是第一象限角 B．第二象限角是鈍角C．第一象限角是銳角 D．第四象限角是負(fù)角答案：A4．將35°角的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°所得的角度數(shù)為________，將35°角的終邊按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周后的角度數(shù)________．答案：－25°395°任意角的概念[典例]下列命題正確的是()A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個角一定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角D．小于90°的角是銳角[解析]終邊與始邊重合的角還可能是360°，720°，…，故A錯；終邊和始邊都相同的兩個角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與－330°，故B錯；由于在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°，也可以是負(fù)角，故D錯誤．[答案]C理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可．[活學(xué)活用]如圖，射線OA繞端點O旋轉(zhuǎn)90°到射線OB的位置，接著再旋轉(zhuǎn)－30°到OC的位置，則∠AOC的度數(shù)為________．解析：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝90°＋(－30°)＝60°.答案：60°終邊相同角的表示[典例]寫出與75°角終邊相同的角β的集合，并求在360°≤β<1080°范圍內(nèi)與75°角終邊相同的角．[解]與75°角終邊相同的角的集合為S＝{β|β＝k·360°＋75°，k∈Z}．當(dāng)360°≤β<1080°時，即360°≤k·360°＋75°<1080°，解得eq\f(19,24)≤k<2eq\f(19,24).又k∈Z，所以k＝1或k＝2.當(dāng)k＝1時，β＝435°；當(dāng)k＝2時，β＝795°.綜上所述，與75°角終邊相同且在360°≤β<1080°范圍內(nèi)的角為435°角和795°角．1．終邊落在直線上的角的集合的步驟(1)寫出在0°～360°范圍內(nèi)相應(yīng)的角；(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合；(3)根據(jù)條件能合并一定合并，使結(jié)果簡潔．2．終邊相同角常用的三個結(jié)論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數(shù)倍．(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數(shù)倍．(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數(shù)倍．[活學(xué)活用]分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合．解：(1)在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝0上的角有兩個，即0°和180°，因此，所有與0°角終邊相同的角構(gòu)成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有與180°角終邊相同的角構(gòu)成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，終邊在直線y＝0上的角的集合為S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．(2)由圖形易知，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝－x上的角有兩個，即135°和315°，因此，終邊在直線y＝－x上的角的集合為S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}.象限角的判斷[典例]已知角的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊落在x軸的非負(fù)半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[解]作出各角，其對應(yīng)的終邊如圖所示：(1)由圖①可知：－75°是第四象限角．(2)由圖②可知：855°是第二象限角．(3)由圖③可知：－510°是第三象限角．象限角的判定方法(1)根據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角的終邊與坐標(biāo)系中過原點的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的．[活學(xué)活用]若α是第四象限角，則180°－α一定在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C∵α與－α的終邊關(guān)于x軸對稱，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角．而180°－α可看成－α按逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到，∴180°－α是第三象限角.角eq\f(α,n)，nα(n∈N*)所在象限的確定[典例]已知α是第二象限角，求角eq\f(α,2)所在的象限．[解]法一：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴eq\f(k,2)·360°＋45°<eq\f(α,2)<eq\f(k,2)·360°＋90°(k∈Z)．當(dāng)k為偶數(shù)時，令k＝2n(n∈Z)，得n·360°＋45°<eq\f(α,2)<n·360°＋90°，這表明eq\f(α,2)是第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時，令k＝2n＋1(n∈Z)，得n·360°＋225°<eq\f(α,2)<n·360°＋270°，這表明eq\f(α,2)是第三象限角．∴eq\f(α,2)為第一或第三象限角．法二：如圖，先將各象限分成2等份，再從x軸正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為eq\f(α,2)的終邊所在的區(qū)域，故eq\f(α,2)為第一或第三象限角．[一題多變]1．[變設(shè)問]在本例條件下，求角2α的終邊的位置．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)．∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)．∴角2α的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上．2．[變條件]若角α變?yōu)榈谌笙藿?，則角eq\f(α,2)是第幾象限角？解：如圖所示，先將各象限分成2等份，再從x軸正半軸的上方起，按逆時針方向，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有三的區(qū)域即為角eq\f(α,2)的終邊所在的區(qū)域，故角eq\f(α,2)為第二或第四象限角．倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α終邊所在的象限，確定nα終邊所在的象限，可依據(jù)角α的范圍求出nα的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．注意不要漏掉nα的終邊在坐標(biāo)軸上的情況．(2)已知角α終邊所在的象限，確定eq\f(α,n)終邊所在的象限，分類討論法要對k的取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下結(jié)論．幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡單直觀．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．－215°是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角解析：選B由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，則－215°也是第二象限角．2．下面各組角中，終邊相同的是()A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°解析：選B∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，∴－330°與750°終邊相同．3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，則α所在的象限是()A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限解析：選A由題意知α＝k·180°＋45°，k∈Z，當(dāng)k＝2n＋1，n∈Z，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限，當(dāng)k＝2n，n∈Z，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限．∴α是第一或第三象限的角．4．終邊在第二象限的角的集合可以表示為()A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}解析：選D終邊在第二象限的角的集合可表示為{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而選項D是從順時針方向來看的，故選項D正確．5．將－885°化為α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是()A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°解析：選B－885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故選B.6．在下列說法中：①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針轉(zhuǎn)過的角是60°；②鈍角一定大于銳角；③射線OA繞端點O按逆時針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是0°；④－2000°是第二象限角．其中錯誤說法的序號為______(錯誤說法的序號都寫上)．解析：①時鐘經(jīng)過兩個小時，時針按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，因而轉(zhuǎn)過的角為－60°，所以①不正確．②鈍角α的取值范圍為90°<α<180°，銳角θ的取值范圍為0°<θ<90°，因此鈍角一定大于銳角，所以②正確．③射線OA按逆時針旋轉(zhuǎn)一周所成的角是360°，所以③不正確．④－2000°＝－6×360°＋160°與160°終邊相同，是第二象限角，所以④正確．答案：①③7．α滿足180°<α<360°，5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么α＝________.解析：5α＝α＋k·360°，k∈Z，∴α＝k·90°，k∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°.答案：270°8．若角α＝2016°，則與角α具有相同終邊的最小正角為________，最大負(fù)角為________．解析：∵2016°＝5×360°＋216°，∴與角α終邊相同的角的集合為{α|α＝216°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是216°，最大負(fù)角是－144°.答案：216°－144°9．在0°～360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角為第三象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與189°角有相同的終邊．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角為第四象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與300°角有相同的終邊．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范圍內(nèi)，與216°24′角有相同的終邊．10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列問題：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪幾個？(2)寫出集合M中的第二象限角β的一般表達(dá)式．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，則－eq\f(13,3)<k<eq\f(11,3)，又∵k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M中大于－360°且小于360°的角共有8個，分別是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°.(2)集合M中的第二象限角與120°角的終邊相同，∴β＝120°＋k·360°，k∈Z.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．給出下列四個結(jié)論：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正確的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選D①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四個結(jié)論都是正確的．2．若角2α與240°角的終邊相同，則α＝()A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z解析：選B角2α與240°角的終邊相同，則2α＝240°＋k·360°，k∈Z，則α＝120°＋k·180°，k∈Z.選B.3．若α與β終邊相同，則α－β的終邊落在()A．x軸的非負(fù)半軸上B．x軸的非正半軸上C．y軸的非負(fù)半軸上D．y軸的非正半軸上解析：選A∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其終邊在x軸的非負(fù)半軸上．4．設(shè)集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，則集合M與N的關(guān)系是()A．M∩N＝? B．MNC．NM D．M＝N解析：選C對于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；對于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇數(shù)，而n表示所有的整數(shù)，∴NM，故選C.5．從13：00到14：00，時針轉(zhuǎn)過的角為________，分針轉(zhuǎn)過的角為________．解析：經(jīng)過一小時，時針順時針旋轉(zhuǎn)30°，分針順時針旋轉(zhuǎn)360°，結(jié)合負(fù)角的定義可知時針轉(zhuǎn)過的角為－30°，分針轉(zhuǎn)過的角為－360°.答案：－30°－360°6．已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是第______象限角．解析：由題意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性進(jìn)行討論．當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．試寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合S，并把S中適合不等式－180°≤α<180°的元素α寫出來．解：終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中適合不等式－180°≤α<180°的元素α為－60°，120°.8.如圖，分別寫出適合下列條件的角的集合：(1)終邊落在射線OB上；(2)終邊落在直線OA上；(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)．解：(1)終邊落在射線OB上的角的集合為S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)終邊落在直線OA上的角的集合為S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)終邊落在陰影區(qū)域內(nèi)(含邊界)的角的集合為S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．1．1.2弧度制eq\a\vs4\al([新知初探])1．角的單位制(1)角度制：規(guī)定周角的eq\f(1,360)為1度的角，用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制．(2)弧度制：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制，它的單位符號是rad，讀作弧度，通常略去不寫．(3)角的弧度數(shù)的求法：正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值|α|＝eq\f(l,r).[點睛]用弧度為單位表示角的大小時，“弧度”兩個字可以省略不寫，如2rad的單位“rad”可省略不寫，只寫2.2．角度與弧度的換算角度化弧度弧度化角度360°＝2π_rad2πrad＝360°180°＝π_radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)3．弧度制下的弧長與扇形面積公式公式度量制弧長公式扇形面積公式角度制l＝eq\f(nπr,180)S＝eq\f(nπr2,360)弧度制l＝α·r(0<α<2π)S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)αr2(0<α<2π)[點睛]由扇形的弧長及面積公式可知：對于α，r，l，S“知二求二”，它實質(zhì)上是方程思想的運用．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)1弧度＝1°.()(2)每個弧度制的角，都有唯一的角度制的角與之對應(yīng)．()(3)用弧度制度量角，與圓的半徑長短有關(guān)．()答案：(1)×(2)√(3)×2．若α＝kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，則α所在的象限是()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第一、三象限 D．第一、四象限答案：C3．半徑為1，圓心角為eq\f(2π,3)的扇形的面積是()A．eq\f(4π,3)B．πC．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,3)答案：D4．(1)eq\f(2π,3)＝________；(2)－210°＝________.答案：(1)120°(2)－eq\f(7π,6)角度與弧度的換算[典例]把下列角度化成弧度或弧度化成角度：(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq\f(2π,9).[解](1)72°＝72×eq\f(π,180)＝eq\f(2π,5).(2)－300°＝－300×eq\f(π,180)＝－eq\f(5π,3).(3)2＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(360,π)))°.(4)－eq\f(2π,9)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,9)×\f(180,π)))°＝－40°.角度與弧度互化技巧在進(jìn)行角度與弧度的換算時，抓住關(guān)系式πrad＝180°是關(guān)鍵，由它可以得到：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)，弧度數(shù)×eq\f(180,π)＝度數(shù)．[活學(xué)活用]將下列角度與弧度進(jìn)行互化：(1)eq\f(511,6)π；(2)－eq\f(7π,12)；(3)10°；(4)－855°.解：(1)eq\f(511,6)π＝eq\f(511,6)×180°＝15330°.(2)－eq\f(7π,12)＝－eq\f(7,12)×180°＝－105°.(3)10°＝10×eq\f(π,180)＝eq\f(π,18).(4)－855°＝－855×eq\f(π,180)＝－eq\f(19π,4).用弧度制表示角的集合[典例]已知角α＝2005°.(1)將α改寫成β＋2kπ(k∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第幾象限的角；(2)在[－5π，0)內(nèi)找出與α終邊相同的角．[解](1)2005°＝2005×eq\f(π,180)rad＝eq\f(401π,36)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5×2π＋\f(41π,36)))rad，又π<eq\f(41π,36)<eq\f(3π,2)，∴角α與eq\f(41π,36)終邊相同，是第三象限的角．(2)與α終邊相同的角為2kπ＋eq\f(41π,36)(k∈Z)，由－5π≤2kπ＋eq\f(41π,36)＜0，k∈Z知k＝－1，－2，－3.∴在[－5π，0)內(nèi)與α終邊相同的角是－eq\f(31π,36)，－eq\f(103π,36)，－eq\f(175π,36).用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用．[活學(xué)活用]1．將－1125°表示成2kπ＋α，0≤α<2π，k∈Z的形式為________．解析：因為－1125°＝－4×360°＋315°，315°＝315×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,4)，所以－1125°＝－8π＋eq\f(7π,4).答案：－8π＋eq\f(7π,4)2．用弧度表示終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．解：如圖，330°角的終邊與－30°角的終邊相同，將－30°化為弧度，即－eq\f(π,6)，而75°＝75×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,12)，∴終邊落在陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)<θ<2kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).扇形的弧長公式及面積公式題點一：利用公式求弧長和面積1．已知扇形的半徑為10cm，圓心角為60°，求扇形的弧長和面積．解：已知扇形的圓心角α＝60°＝eq\f(π,3)，半徑r＝10cm，則弧長l＝α·r＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，于是面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10＝eq\f(50π,3)(cm2)．題點二：利用公式求半徑和弧度數(shù)2．扇形OAB的面積是4cm2，它的周長是8cm，求扇形的半徑和圓心角．解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長為lcm，半徑為rcm，依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(l＋2r＝8，①,\f(1,2)l·r＝4，②))由①②，得r＝2，∴l(xiāng)＝8－2r＝4，θ＝eq\f(l,r)＝2.故所求扇形的半徑為2、圓心角為2rad.題點三：利用公式求扇形面積的最值3．已知扇形的周長是30cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為α(0<α<2π)，半徑為r，面積為S，弧長為l，則l＋2r＝30，故l＝30－2r，從而S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(30－2r)r＝－r2＋15r＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(15,2)))2＋eq\f(225,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,π＋1)<r<15))，所以，當(dāng)r＝eq\f(15,2)cm時，α＝2，扇形面積最大，最大面積為eq\f(225,4)cm2.弧度制下涉及扇形問題的攻略(1)明確弧度制下扇形的面積公式是S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2(其中l(wèi)是扇形的弧長，r是扇形的半徑，α是扇形的圓心角)．(2)涉及扇形的周長、弧長、圓心角、面積等的計算，關(guān)鍵是先分析題目已知哪些量求哪些量，然后靈活運用弧長公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)求解．[提醒]運用弧度制下的弧長公式及扇形面積公式的前提是α為弧度．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．把50°化為弧度為()A．50 B．eq\f(5π,18)C．eq\f(18,5π) D．eq\f(9000,π)解析：選B50°＝50×eq\f(π,180)＝eq\f(5π,18).2．扇形的周長是16，圓心角是2弧度，則扇形的面積是()A．16π B．32πC．16 D．32解析：選C弧長l＝2r,4r＝16，r＝4，得l＝8，即S＝eq\f(1,2)lr＝16.3．角α的終邊落在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3π，－\f(5π,2)))內(nèi)，則角α所在的象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選C－3π的終邊在x軸的非正半軸上，－eq\f(5π,2)的終邊在y軸的非正半軸上，故角α為第三象限角．4．時鐘的分針在1點到3點20分這段時間里轉(zhuǎn)過的弧度為()A．eq\f(14,3)π B．－eq\f(14,3)πC．eq\f(7,18)π D．－eq\f(7,18)π解析：選B顯然分針在1點到3點20分這段時間里，順時針轉(zhuǎn)過了eq\f(7,3)周，轉(zhuǎn)過的弧度為－eq\f(7,3)×2π＝－eq\f(14,3)π.5．下列表示中不正確的是()A．終邊在x軸上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}B．終邊在y軸上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))C．終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝k·\f(π,2)，k∈Z))D．終邊在直線y＝x上的角的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))解析：選D終邊在直線y＝x上的角的集合應(yīng)是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z)).6．－135°化為弧度為________，eq\f(11π,3)化為角度為________．解析：－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3,4)π，eq\f(11,3)π＝eq\f(11,3)×180°＝660°.答案：－eq\f(3,4)π660°7．扇形的半徑是eq\r(6)，圓心角是60°，則該扇形的面積為________．解析：60°＝eq\f(π,3)，扇形的面積公式為S扇形＝eq\f(1,2)αr2＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×(eq\r(6))2＝π.答案：π8．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αα＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))，N＝{α|－π<α<π}，則M∩N＝________.解析：由－π<eq\f(kπ,2)－eq\f(π,3)<π，得－eq\f(4,3)<k<eq\f(8,3).∵k∈Z，∴k＝－1,0,1,2，∴M∩N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π)).答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)π，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2,3)π))9．一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數(shù)．解：設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，則2R＋l＝4.根據(jù)扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lR，得1＝eq\f(1,2)l·R.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2R＋l＝4，,\f(1,2)l·R＝1，))解得R＝1，l＝2，∴α＝eq\f(l,R)＝eq\f(2,1)＝2.10．將下列各角化成弧度制下的角，并指出是第幾象限角．(1)－1725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．解：(1)－1725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋eq\f(5π,12)＝－10π＋eq\f(5π,12)，是第一象限角．(2)－60°＋360°·k＝－eq\f(π,180)×60＋2π·k＝－eq\f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是()A．60°化成弧度是eq\f(π,3)B．－eq\f(10,3)π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－eq\f(7,6)πD．eq\f(π,12)化成度是15°解析：選C對于A,60°＝60×eq\f(π,180)＝eq\f(π,3)；對于B，－eq\f(10,3)π＝－eq\f(10,3)×180°＝－600°；對于C，－150°＝－150×eq\f(π,180)＝－eq\f(5,6)π；對于D，eq\f(π,12)＝eq\f(1,12)×180°＝15°.故C錯誤．2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(αkπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))中角的終邊所在的范圍(陰影部分)是()解析：選C當(dāng)k＝2m，m∈Z時，2mπ＋eq\f(π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(π,2)，m∈Z；當(dāng)k＝2m＋1，m∈Z時，2mπ＋eq\f(5π,4)≤α≤2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z，所以選C.3．若角α與角x＋eq\f(π,4)有相同的終邊，角β與角x－eq\f(π,4)有相同的終邊，那么α與β間的關(guān)系為()A．α＋β＝0 B．α－β＝0C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)解析：選D∵α＝x＋eq\f(π,4)＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－eq\f(π,4)＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝eq\f(π,2)＋2(k1－k2)·π(k1∈Z，k2∈Z)．∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.∴α－β＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．4．圓弧長度等于其所在圓內(nèi)接正三角形的邊長，則該圓弧所對圓心角的弧度數(shù)為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\r(3) D．2解析：選C如圖，設(shè)圓的半徑為R，則圓的內(nèi)接正三角形的邊長為eq\r(3)R，所以圓弧長度為eq\r(3)R的圓心角的弧度數(shù)α＝eq\f(\r(3)R,R)＝eq\r(3).5．若角α的終邊與eq\f(8,5)π角的終邊相同，則在[0,2π]上，終邊與eq\f(α,4)角的終邊相同的角是____________．解析：由題意，得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ，∴eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．令k＝0,1,2,3，得eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).答案：eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)6．已知一扇形的圓心角為eq\f(π,3)rad，半徑為R，則該扇形的內(nèi)切圓面積與扇形面積之比為________．解析：設(shè)扇形內(nèi)切圓的半徑為r，∵扇形的圓心角為eq\f(π,3)，半徑為R，∴S扇形＝eq\f(1,2)×eq\f(π,3)R2＝eq\f(π,6)R2.∵扇形內(nèi)切圓的圓心在圓心角的角平分線上，∴R＝r＋2r＝3r，∴r＝eq\f(R,3).∵S內(nèi)切圓＝πr2＝eq\f(π,9)R2，∴S內(nèi)切圓∶S扇形＝eq\f(π,9)R2∶eq\f(π,6)R2＝2∶3.答案：2∶37．已知α＝1690°，(1)把α寫成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0,2π))的形式；(2)求θ，使θ與α終邊相同，且θ∈(－4π，4π)．解：(1)1690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋eq\f(25,18)π.(2)∵θ與α終邊相同，∴θ＝2kπ＋eq\f(25,18)π(k∈Z)．又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(25,18)π<4π.解得－eq\f(97,36)<k<eq\f(47,36)(k∈Z)，∴k＝－2，－1,0,1.∴θ的值是－eq\f(47,18)π，－eq\f(11,18)π，eq\f(25,18)π，eq\f(61,18)π.8．已知扇形AOB的圓心角為120°，半徑長為6，求：(1)弧AB的長；(2)扇形所含弓形的面積．解：(1)因為120°＝eq\f(120,180)π＝eq\f(2,3)π，所以l＝α·r＝eq\f(2,3)π×6＝4π，所以弧AB的長為4π.(2)因為S扇形AOB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π，如圖所示，過點O作OD⊥AB，交AB于D點，于是有S△OAB＝eq\f(1,2)AB·OD＝eq\f(1,2)×2×6cos30°×3＝9eq\r(3).所以弓形的面積為S扇形AOB－S△OAB＝12π－9eq\r(3).第二課時三角函數(shù)線eq\a\vs4\al([新知初探])1．有向線段帶有方向的線段叫做有向線段．2．三角函數(shù)線圖示正弦線α的終邊與單位圓交于P，過P作PM垂直于x軸，有向線段MP即為正弦線余弦線有向線段OM即為余弦線正切線過A(1,0)作x軸的垂線，交α的終邊或其終邊的反向延長線于T，有向線段AT即為正切線[點睛]三角函數(shù)線都是有向線段．因此在用字母表示這些線段時，也要注意它們的方向，分清起點和終點，書寫順序也不能顛倒．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值．()(2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．()(3)對任意角都能作出正弦線、余弦線和正切線．()答案：(1)×(2)√(3)×2．已知角α的正弦線的長度為單位長度，那么角α的終邊()A．在x軸上 B．在y軸上C．在直線y＝x上 D．在直線y＝－x上答案：B3．角α(0<α<2π)的正、余弦線的長度相等，且正、余弦符號相異，那么α的值為()A．eq\f(π,4) B．eq\f(3π,4)C．eq\f(7π,4) D．eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)答案：D4．sin1.5________sin1.2.(填“>”或“<”)答案：>三角函數(shù)線的作法[典例]作出eq\f(3π,4)的正弦線、余弦線和正切線．[解]角eq\f(3π,4)的終邊(如圖)與單位圓的交點為P.作PM垂直于x軸，垂足為M，過A(1,0)作單位圓的切線AT，與eq\f(3π,4)的終邊的反向延長線交于點T，則eq\f(3π,4)的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.三角函數(shù)線的畫法(1)作正弦線、余弦線時，首先找到角的終邊與單位圓的交點，然后過此交點作x軸的垂線，得到垂足，從而得正弦線和余弦線．(2)作正切線時，應(yīng)從A(1,0)點引x軸的垂線，交α的終邊(α為第一或第四象限角)或α終邊的反向延長線(α為第二或第三象限角)于點T，即可得到正切線AT.[活學(xué)活用]作出－eq\f(9π,4)的正弦線、余弦線和正切線．解：如圖所示，－eq\f(9π,4)的正弦線為MP，余弦線為OM，正切線為AT.三角函數(shù)線的應(yīng)用題點一：利用三角函數(shù)線比較大小1．利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。孩賡ineq\f(2π,3)與sineq\f(4π,5)；②taneq\f(2π,3)與taneq\f(4π,5).解：如圖所示，角eq\f(2π,3)的終邊與單位圓的交點為P，其反向延長線與單位圓的過點A的切線的交點為T，作PM⊥x軸，垂足為M，sineq\f(2π,3)＝MP，taneq\f(2π,3)＝AT；eq\f(4π,5)的終邊與單位圓的交點為P′，其反向延長線與單位圓的過點A的切線的交點為T′，作P′M′⊥x軸，垂足為M′，則sineq\f(4π,5)＝M′P′，taneq\f(4π,5)＝AT′，由圖可見，MP>M′P′>0，AT<AT′<0，所以①sineq\f(2π,3)>sineq\f(4π,5)，②taneq\f(2π,3)<taneq\f(4π,5).題點二：利用三角函數(shù)線解不等式2．在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合：(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).解：(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖①陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖②中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).題點三：利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域3．求函數(shù)f(x)＝eq\r(1－2cosx)＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(\r(2),2)))的定義域．解：由題意，得自變量x應(yīng)滿足不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2cosx≥0，,sinx－\f(\r(2),2)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosx≤\f(1,2)，,sinx>\f(\r(2),2).))則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示，即定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤x<2kπ＋\f(3π,4)，k∈Z)))).1．利用三角函數(shù)線比較大小的兩個關(guān)注點(1)三角函數(shù)線是一個角的三角函數(shù)值的體現(xiàn)，從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的正負(fù)，其長度是三角函數(shù)值的絕對值．(2)比較兩個三角函數(shù)值的大小，不僅要看其長度，還要看其方向．2．利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法(1)正弦、余弦型不等式的解法．對于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c，只需作直線y＝b或x＝a與單位圓相交，連接原點與交點即得角的終邊所在的位置，此時再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍．(2)正切型不等式的解法．對于tanx≥c，取點(1，c)連接該點和原點并反向延長，即得角的終邊所在的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍．3．利用三角函數(shù)線求函數(shù)的定義域解答此類題目的關(guān)鍵在于借助于單位圓，作出等號成立時角α的三角函數(shù)線，然后運用運動的觀點，找出符合條件的角的范圍．在這個解題過程中實現(xiàn)了一個轉(zhuǎn)化，即把代數(shù)問題幾何化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)有相同的()A．正弦線 B．余弦線C．正切線 D．不能確定解析：選C在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出角eq\f(π,5)和角eq\f(6π,5)的三角函數(shù)線可知，正弦線及余弦線都相反，而正切線相等．2．已知角α的正切線是長度為單位長度的有向線段，那么角α的終邊在()A．直線y＝x上B．直線y＝－x上C．直線y＝x上或直線y＝－x上D．x軸上或y軸上解析：選C由角α的正切線是長度為單位長度的有向線段，得tanα＝±1，故角α的終邊在直線y＝x上或直線y＝－x上．3．如果MP和OM分別是角α＝eq\f(7π,8)的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論正確的是()A．MP<OM<0 B．OM>0>MPC．OM<MP<0 D．MP>0>OM解析：選D∵eq\f(7π,8)是第二象限角，∴sineq\f(7π,8)>0，coseq\f(7π,8)<0，∴MP>0，OM<0，∴MP>0>OM.4．已知角α的正弦線和余弦線的方向相反、長度相等，則α的終邊在()A．第一象限的角平分線上B．第四象限的角平分線上C．第二、第四象限的角平分線上D．第一、第三象限的角平分線上解析：選C作圖(圖略)可知角α的終邊在直線y＝－x上，∴α的終邊在第二、第四象限的角平分線上，故選C.5．若α是第一象限角，則sinα＋cosα的值與1的大小關(guān)系是()A．sinα＋cosα>1 B．sinα＋cosα＝1C．sinα＋cosα<1 D．不能確定解析：選A作出α的正弦線和余弦線，由三角形“任意兩邊之和大于第三邊”的性質(zhì)可知sinα＋cosα>1.6．若角α的余弦線長度為0，則它的正弦線的長度為______．解析：若角α的余弦線長度為0，則α的終邊落在y軸上，所以它的正弦線的長度為1.答案：17．用三角函數(shù)線比較sin1與cos1的大小，結(jié)果是_________________________．解析：如圖，sin1＝MP，cos1＝OM.顯然MP>OM，即sin1>cos1.答案：sin1>cos18．若θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，\f(3π,2)))，則sinθ的取值范圍是________．解析：由圖可知sineq\f(3π,4)＝eq\f(\r(2),2)，sineq\f(3π,2)＝－1，eq\f(\r(2),2)>sinθ>－1，即sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(2),2)))9．作出下列各角的正弦線、余弦線、正切線．(1)eq\f(5π,6)；(2)－eq\f(2π,3).解：(1)因為eq\f(5π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以作出eq\f(5π,6)角的終邊如圖(1)所示，交單位圓于點P，作PM⊥x軸于點M，則有向線段MP＝sineq\f(5π,6)，有向線段OM＝coseq\f(5π,6)，設(shè)過A(1,0)垂直于x軸的直線交OP的反向延長線于T，則有向線段AT＝taneq\f(5π,6).綜上所述，圖(1)中的有向線段MP，OM，AT分別為eq\f(5π,6)角的正弦線、余弦線、正切線．(2)因為－eq\f(2π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2)))，所以在第三象限內(nèi)作出－eq\f(2π,3)角的終邊如圖(2)所示．交單位圓于點P′用類似(1)的方法作圖，可得圖(2)中的有向線段M′P′，OM′，A′T′分別為－eq\f(2π,3)角的正弦線、余弦線、正切線．10．求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－sinx)).(2)y＝eq\r(3tanx－\r(3)).解：(1)為使y＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－sinx))有意義，則eq\f(\r(2),2)－sinx>0，所以sinx<eq\f(\r(2),2)，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，所以2kπ－eq\f(5π,4)<x<2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z.所以原函數(shù)的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(5π,4)<x<2kπ＋\f(π,4)，k∈Z)))).(2)為使y＝eq\r(3tanx－\r(3))有意義，則3tanx－eq\r(3)≥0，所以tanx≥eq\f(\r(3),3)，所以角x終邊所在區(qū)域如圖所示，所以kπ＋eq\f(π,6)≤x<kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以原函數(shù)的定義域是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,6)≤x<kπ＋\f(π,2)，k∈Z)))).層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．下列三個命題：①eq\f(π,6)與eq\f(5π,6)的正弦線相等；②eq\f(π,3)與eq\f(4π,3)的正切線相等；③eq\f(π,4)與eq\f(5π,4)的余弦線相等．其中正確命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．0解析：選Beq\f(π,6)和eq\f(5π,6)的正弦線關(guān)于y軸對稱，大小相等，方向相同；eq\f(π,3)和eq\f(4π,3)兩角的終邊在同一條直線上，因而所作正切線相等；eq\f(π,4)和eq\f(5π,4)的余弦線方向不同．2．若α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，則這個三角形是()A．等邊三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形解析：選D當(dāng)0<α≤eq\f(π,2)時，由單位圓中的三角函數(shù)線知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝eq\f(2,3)，∴α必為鈍角．3．如果eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，那么下列不等式成立的是()A．cosα<sinα<tanα B．tanα<sinα<cosαC．sinα<cosα<tanα D．cosα<tanα<sinα解析：選A如圖所示，在單位圓中分別作出α的正弦線MP、余弦線OM、正切線AT，很容易地觀察出OM<MP<AT，即cosα<sinα<tanα.4．使sinx≤cosx成立的x的一個變化區(qū)間是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(3π,4))) D．[0，π]解析：選A如圖，畫出三角函數(shù)線sinx＝MP，cosx＝OM，由于sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))，sineq\f(π,4)＝coseq\f(π,4)，為使sinx≤cosx成立，則由圖可得－eq\f(3π,4)≤x≤eq\f(π,4).5．sineq\f(2π,5)，coseq\f(6π,5)，taneq\f(2π,5)從小到大的順序是________．解析：由圖可知：coseq\f(6π,5)<0，taneq\f(2π,5)>0，sineq\f(2π,5)>0.∵|MP|<|AT|，∴sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).故coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5).答案：coseq\f(6π,5)<sineq\f(2π,5)<taneq\f(2π,5)6．若0<α<2π，且sinα<eq\f(\r(3),2)，cosα>eq\f(1,2).利用三角函數(shù)線，得到α的取值范圍是________．解析：利用三角函數(shù)線得α的終邊落在如圖所示∠AOB區(qū)域內(nèi)，所以α的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)，2π))7．利用單位圓中的三角函數(shù)線，分別確定角θ的取值范圍．(1)sinθ<－eq\f(1,2)；(2)－eq\f(1,2)≤cosθ<eq\f(\r(3),2).解：(1)圖①中陰影部分就是滿足條件的角θ的范圍，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)＋2kπ<θ<－\f(π,6)＋2kπ，k∈Z)))).(2)圖②中陰影部分就是滿足條件的角θ的范圍，即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)≤θ<2kπ－\f(π,6)或2kπ＋\f(π,6)<θ≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).8．若0<α<eq\f(π,2)，證明：sinα<α<tanα.證明：如圖所示，連接AP，設(shè)弧AP的長為l，∵S△OAP<S扇形OAP<S△OAT，∴eq\f(1,2)|OA|·|MP|<eq\f(1,2)l·|OA|<eq\f(1,2)|OA|·|AT|，∴|MP|<l<|AT|，∴sinα<α<tanα.1．2.1任意角的三角函數(shù)第一課時三角函數(shù)的定義與公式一eq\a\vs4\al([新知初探])1．任意角的三角函數(shù)的定義前提如圖，設(shè)α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x，y)定義正弦y叫做α的正弦，記作sinα，即sinα＝y(tǒng)余弦x叫做α的余弦，記作cosα，即cosα＝x正切eq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα，即tanα＝eq\f(y,x)(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上的點的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)[點睛]三角函數(shù)也是函數(shù)，都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標(biāo)(坐標(biāo)的比值)為函數(shù)值的函數(shù)；三角函數(shù)值只與角α的大小有關(guān)，即由角α的終邊位置決定．2．三角函數(shù)值的符號如圖所示：正弦：一二象限正，三四象限負(fù)；余弦：一四象限正，二三象限負(fù)；正切：一三象限正，二四象限負(fù)．簡記口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．誘導(dǎo)公式一即終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．[點睛]誘導(dǎo)公式一的實質(zhì)是：終邊相同的角，其同名三角函數(shù)的值相等．因為這些角的終邊都是同一條射線，根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這些角的三角函數(shù)值相等．eq\a\vs4\al([小試身手])1．判斷下列命題是否正確．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若α＝β＋720°，則cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，則α＝β.()(3)已知α是三角形的內(nèi)角，則必有sinα>0.()答案：(1)√(2)×(3)√2．若sinα<0，tanα>0，則α在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：C3．已知角α的終邊與單位圓的交點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，則sinα＋cosα＝()A．eq\f(\r(5),5) B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(2\r(5),5) D．－eq\f(2\r(5),5)答案：B4．sineq\f(π,3)＝________，coseq\f(3π,4)＝________.答案：eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)三角函數(shù)的定義及應(yīng)用[典例]設(shè)a<0，角α的終邊與單位圓的交點為P(－3a,4a)，那么sinα＋2cosα的值等于()A．eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)[解析]∵點P在單位圓上，則|OP|＝1.即eq\r(－3a2＋4a2)＝1，解得a＝±eq\f(1,5).∵a<0，∴a＝－eq\f(1,5).∴P點的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5))).∴sinα＝－eq\f(4,5)，cosα＝eq\f(3,5).∴sinα＋2cosα＝－eq\f(4,5)＋2×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).[答案]A利用三角函數(shù)的定義求值的策略(1)已知角α的終邊在直線上求α的三角函數(shù)值時，常用的解題方法有以下兩種：法一：先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值．法二：在α的終邊上任選一點P(x，y)，P到原點的距離為r(r>0)．則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r).已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便．(2)當(dāng)角α的終邊上點的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時，要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論．[活學(xué)活用]1．如果α的終邊過點P(2sin30°，－2cos30°)，那么sinα的值等于()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),3)解析：選C由題意知P(1，－eq\r(3))，所以r＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，所以sinα＝－eq\f(\r(3),2).2．已知角α的終邊過點P(12，a)，且tanα＝eq\f(5,12)，求sinα＋cosα的值．解：根據(jù)三角函數(shù)的定義，tanα＝eq\f(a,12)＝eq\f(5,12)，∴a＝5，∴P(12,5)．這時r＝13，∴sinα＝eq\f(5,13)，cosα＝eq\f(12,13)，從而sinα＋cosα＝eq\f(17,13).三角函數(shù)值符號的運用[典例](1)若角θ同時滿足sinθ<0且tanθ<0，則角θ的終邊一定位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)設(shè)α是第三象限角，且eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，則eq\f(α,2)所在象限是()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)由sinθ<0，可知θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸的負(fù)半軸重合．由tanθ<0，可知θ的終邊可能位于第二象限或第四象限，故θ的終邊只能位于第四象限．(2)∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z.∴kπ＋eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<kπ＋eq\f(3π,4).∴eq\f(α,2)在第二、四象限．又∵eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＝－coseq\f(α,2)，∴coseq\f(α,2)<0.∴eq\f(α,2)在第二象限．[答案](1)D(2)B對于已知角α，判斷α的相應(yīng)三角函數(shù)值的符號問題，常依據(jù)三角函數(shù)的定義，或利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來處理．[活學(xué)活用]1．設(shè)△ABC的三個內(nèi)角為A，B，C，則下列各組數(shù)中有意義且均為正值的是()A．tanA與cosB B．cosB與sinCC．sinC與tanA D．taneq\f(A,2)與sinC解析：選D∵0＜A＜π，∴0＜eq\f(A,2)＜eq\f(π,2)，∴taneq\f(A,2)＞0；又∵0＜C＜π，∴sinC＞0.2．若角α是第二象限角，則點P(sinα，cosα)在第________象限．解析：∵α為第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0.∴P(sinα，cosα)位于第四象限．答案：四誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用[典例]計算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11π,6)))＋coseq\f(12π,5)·tan4π.[解](1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6),4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1＋\r(6),4).(2)原式＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2π＋\f(π,6)))＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(2π,5)))·tan(4π＋0)＝sineq\f(π,6)＋coseq\f(2π,5)×0＝eq\f(1,2).利用誘導(dǎo)公式求解任意角的三角函數(shù)的步驟[活學(xué)活用]求下列各式的值：(1)sineq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))；(2)sin810°＋cos360°－tan1125°.解：(1)sineq\f(25π,3)＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8π＋\f(π,3)))＋taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,4)))＝sineq\f(π,3)＋taneq\f(π,4)＝eq\f(\r(3),2)＋1.(2)sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．若α＝eq\f(2π,3)，則α的終邊與單位圓的交點P的坐標(biāo)是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))解析：選B設(shè)P(x，y)，∵角α＝eq\f(2π,3)在第二象限，∴x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(3),2)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).2．若角α的終邊上一點的坐標(biāo)為(1，－1)，則cosα為()A．1 B．－1C．eq\f(\r(2),2) D．－eq\f(\r(2),2)解析：選C∵角α的終邊上一點的坐標(biāo)為(1，－1)，它與原點的距離r＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，∴cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).3．若三角形的兩內(nèi)角α，β滿足sinαcosβ<0，則此三角形必為()A．銳角三角形B．鈍角三角形C．直角三角形D．以上三種情況都可能解析：選B∵sinαcosβ<0，α，β∈(0，π)，∴sinα>0，cosβ<0，∴β為鈍角．4．代數(shù)式sin120°cos210°的值為()A．－eq\f(3,4) B．eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(1,4)解析：選A利用三角函數(shù)定義易得sin120°＝eq\f(\r(3),2)，cos210°＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin120°cos210°＝eq\f(\r(3),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\f(3,4)，故選A.5．若角α的終邊在直線y＝－2x上，則sinα等于()A．±eq\f(1,5) B．±eq\f(\r(5),5)C．±eq\f(2\r(5),5) D．±eq\f(1,2)解析：選C在α的終邊上任取一點(－1,2)，則r＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2,5)eq\r(5).或者取P(1，－2)，則r＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，所以sinα＝eq\f(y,r)＝－eq\f(2,\r(5))＝－eq\f(2,5)eq\r(5).6．taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝________.解析：taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,3)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－6π＋\f(π,3)))＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)7．已知角α的終邊過點P(5，a)，且tanα＝－eq\f(12,5)，則sinα＋cosα＝________.解析：∵tanα＝eq\f(a,5)＝－eq\f(12,5)，∴a＝－12.∴r＝eq\r(25＋a2)＝13.∴sinα＝－eq\f(12,13)，cosα＝eq\f(5,13).∴sinα＋cosα＝－eq\f(7,13).答案：－eq\f(7,13)8．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上，則eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝________.解析：當(dāng)α在第二象限時，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝－eq\f(sinα,cosα)＋eq\f(sinα,cosα)＝0；當(dāng)α在第四象限時，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(sinα,cosα)＝0.綜上，eq\f(sinα,|cosα|)＋eq\f(|sinα|,cosα)＝0.答案：09．求下列三角函數(shù)值：(1)cos(－1050°)；(2)taneq\f(19π,3)；(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(31π,4))).解：(1)∵－1050°＝－3×