《釘子板上的多邊形》 教學(xué)設(shè)計(jì)

--釘子板上的多邊形銅陵市人民小學(xué)侯麗爽教學(xué)內(nèi)容：蘇教版數(shù)學(xué)五年級上冊第108-109頁“釘子上的多邊形”。教學(xué)目標(biāo)：1.引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形的面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系，會用字母式表示，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用。2.讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般探索規(guī)律過程中，學(xué)會數(shù)學(xué)思考，感受思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、類比、歸納等思維能力。3.讓學(xué)生感受規(guī)律的奇妙，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，獲得積極情感體驗(yàn)。教學(xué)重、難點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形面積與釘子數(shù)之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型。教學(xué)準(zhǔn)備：釘子板、多媒體課件、學(xué)習(xí)任務(wù)單等。教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)導(dǎo)入，揭示課題師：同學(xué)們請看屏幕，這些都是我們學(xué)過的圖形，你會求它們的面積嗎？請你說。（出示三角形、長方形、平行四邊形和梯形）指名學(xué)生回答。再出示一個任意四邊形。師：這是一個任意四邊形，你會求它的面積嗎？指出：是的，我們可以用剪拼的方法，把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形，再求面積。師：如果把這些圖形放在這樣的方格中，還可以怎樣求它們的面積呢？（出示方格圖）師：對，數(shù)方格。多邊形的面積就是它包含的單位面積的個數(shù)。師：再看看，這些圖形的頂點(diǎn)都落在哪兒？（預(yù)：交叉點(diǎn)。）師：它們的頂點(diǎn)都在每條橫線和豎線的交叉點(diǎn)上。（出示點(diǎn)）（出示一個任意多邊形和一個“魚”形圖）師：這個多邊形和小魚圖，它們的頂點(diǎn)是不是也這樣？（出示點(diǎn)）師：如果我們不看這些橫線和豎線，只看交叉點(diǎn)，就變成了一幅點(diǎn)子圖，或者更形象一點(diǎn)說，就像一塊釘子板。（出示點(diǎn)子圖）提示課題：今天我們就來研究“釘子板上的多邊形”。（板貼：課題）（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)求多邊形面積的方法，滲透格點(diǎn)及格點(diǎn)多邊形的定義，為新知學(xué)習(xí)做好鋪墊。）二、啟發(fā)引導(dǎo)，探索規(guī)律1.初步感知，方法引領(lǐng)。（1）感知釘子板上的多邊形的面積與釘子數(shù)存在關(guān)系。師：在釘子板上，多邊形的面積還可能與誰有關(guān)？（預(yù)：釘子數(shù)）（出示兩個多邊形，請學(xué)生比較大?。?。師：老師圍了兩個多邊形，比比誰的面積大？為什么？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：多邊形面積與圍成的多邊形里面的釘子數(shù)有關(guān)（圍的釘子數(shù)越多，面積就越大）。師：多邊形的面積與里面的釘子數(shù)有關(guān)。（出示板貼：內(nèi)部釘子數(shù)）師：再看看這個L形，它里面有釘子嗎？和1號比，誰的面積大？你又有什么想法？（出示第三個多邊形——L形）引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：多邊形面積與邊上的釘子數(shù)也有關(guān)系（釘子數(shù)越多，邊越長）。師：多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)也有關(guān)。（出示板貼：邊上釘子數(shù)）師：現(xiàn)在，你有什么發(fā)現(xiàn)？（指著板書）師生交流，總結(jié)指出：師：釘子板上多邊形的面積不僅與里面的釘子數(shù)有關(guān)，還與邊上的釘子數(shù)有關(guān)。（出示板貼：多邊形的面積）（設(shè)計(jì)意圖：通過比較三個多邊形的面積大小，讓學(xué)生初步感知釘子板上的多邊形的面積與釘子數(shù)有關(guān)系。）（2）指明研究方法，縮小研究范圍。師：釘子板上多邊形的面積既然與兩個因素有關(guān)，看起來比較難，我們能不能從簡單的情況入手？先研究什么情況比較容易？引導(dǎo)學(xué)生提出：先研究里面沒有釘子的情況。（設(shè)計(jì)意圖：假設(shè)內(nèi)部釘子數(shù)為0，化難為易、分類討論，更便于學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)規(guī)律。）2.啟發(fā)引導(dǎo)，分層探究。（1）探究多邊形內(nèi)釘子數(shù)是0的情況①引導(dǎo)探究內(nèi)部釘子數(shù)為0的長方形面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系。師：從熟悉的長方形開始研究。當(dāng)里面沒有釘子時，長方形的面積和邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系呢？（出示4個長方形，1×1，2×1，3×1，5×1各1個）。師：快速數(shù)一數(shù)，算一算，它們邊上的釘子數(shù)和面積各是多少呢？誰先來？圖形編號邊上的釘子數(shù)面積數(shù)①41（4÷2-1）②62（6÷2-1）③83（8÷2-1）④125（12÷2-1）師：從表中，你發(fā)現(xiàn)了什么？誰來說一說？（預(yù)設(shè)學(xué)生說：釘子數(shù)總比面積大；釘子數(shù)是面積的2倍多一點(diǎn)；邊上的釘子數(shù)÷2-1=面積數(shù)）師：很好，你們真有想法?。ò鍟翰孪耄槭裁瘁斪訑?shù)與面積有這樣的關(guān)系呢？這其中有什么樣的道理呢？你能說說理由嗎？（根據(jù)生成情況適當(dāng)引導(dǎo)）師：我們以2號長方形為例。邊上有幾個釘子？（6個）長邊上有幾個釘子？怎么得到的？（6÷2=3）3是長嗎？再減1。用邊上的釘子數(shù)6÷2，就是長邊上的釘子，再減1就是2個間隔，也就是長。寬是1,1乘任何數(shù)都得原數(shù)，可以省略不寫，長方形的面積就是6÷2-1。教師著重引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圍成長方形的長就是“釘子數(shù)÷2-1”，寬是1，長方形的面積就是“釘子數(shù)÷2-1”。師：3號長方形呢？你能不能也像這樣說一說？4號呢？師：是不是所有的長方形，只要里面沒有釘子，面積和邊上釘子數(shù)都有這樣的規(guī)律？誰能在釘子板上圍一個里面沒有釘子的長方形，驗(yàn)證看看？出示釘子板，指導(dǎo)學(xué)生圍長方形，并按照規(guī)律說一說。師：是不是都有這樣的規(guī)律？這樣的例子能不能說完？師：誰能用一句話來說一說，當(dāng)里面沒有釘子時，長方形面積和邊上的釘子數(shù)有什么樣的關(guān)系？師總結(jié)：當(dāng)里面沒有釘子時，長方形面積=邊上的釘子數(shù)÷2-1。（設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生填表、觀察數(shù)據(jù)、提出猜想，然后借助數(shù)形結(jié)合說明道理，最后動手圍一圍，再次感知規(guī)律，使學(xué)生深刻理解當(dāng)里面沒有釘子時，長方形的面積數(shù)就等于邊上釘子數(shù)÷2-1。）②小組合作，自主探究內(nèi)部釘子數(shù)為0的三角形面積與邊上釘子數(shù)的關(guān)系。師：其它的多邊形是不是也可以按照這樣地規(guī)律求面積？引導(dǎo)學(xué)生提出：再研究三角形。師：當(dāng)里面釘子數(shù)為0時，三角形的面積與邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系呢？你們能不能也像剛才一樣，從面積公式入手，來研究看看？師：請同學(xué)們拿出任務(wù)單（一），同桌2人為一小組。每一小組任選1個三角形來研究。下面按照活動要求開始吧。（活動時間3分鐘）出示活動要求?；顒右螅夯顒右螅何覀冃〗M選擇號三角形研究。1.數(shù)出三角形邊上的釘子數(shù)，算出面積，填寫表格。2.想一想怎樣用釘子數(shù)表示面積呢？試著寫一寫，再和同伴討論交流。小組活動，教師巡視指導(dǎo)，交流反饋。師引導(dǎo)學(xué)生借助面積公式，進(jìn)行說理解釋。師：是不是只要里面沒有釘子，三角形都有這樣的規(guī)律？誰能在釘子板上圍一個里面沒有釘子的三角形，再驗(yàn)證看看？指導(dǎo)學(xué)生圍三角形，并按照規(guī)律說一說。師：現(xiàn)在，你有什么發(fā)現(xiàn)？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：里面沒有釘子時，三角形的面積=邊上釘子數(shù)÷2-1。師總結(jié)：里面沒有釘子時，三角形的面積=邊上釘子數(shù)÷2-1。（出示課件）(設(shè)計(jì)意圖：通過合作探究，說理驗(yàn)證，讓學(xué)生學(xué)會用類比的方法研究規(guī)律，并能自主發(fā)現(xiàn)歸納結(jié)論。)③由長方形、三角形拓展到平行四邊形、梯形和其它任意里面沒有釘子的多邊形，歸納得出一般結(jié)論。師：當(dāng)里面釘子數(shù)為0時，長方形和三角形的面積都可以用邊上的釘子數(shù)÷2-1計(jì)算，是不是所有的多邊形，只要里面沒有釘子，都有同樣的規(guī)律呢？請同學(xué)們拿出點(diǎn)子圖，任意畫一個里面沒有釘子的多邊形，驗(yàn)證看看。學(xué)生活動，教師巡視指導(dǎo)，交流反饋。教師引導(dǎo)學(xué)生畫平行四邊形、梯形和其它任意多邊形進(jìn)行驗(yàn)證。師：同學(xué)們畫的多邊形都各不相同，是不是都能用我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出面積？你有什么結(jié)論？誰能用一句話說一說？師總結(jié)：當(dāng)里面釘子數(shù)為0時，多邊形的面積=邊上的釘子數(shù)÷2-1。如果用S表示多邊形的面積，用n表示邊上的釘子數(shù)，那么S=n÷2-1。出示課件并板書。（板書：（S）（n）S=n÷2–1）（板書：S=n÷2-1）（設(shè)計(jì)意圖：通過讓學(xué)生自主畫圖驗(yàn)證，小組合作交流，使學(xué)生深刻感知，“邊上釘子數(shù)÷2-1”可以求任意一個里面沒有釘子的多邊形的面積。）（2）探究多邊形內(nèi)有釘子的情況師：研究了多邊形內(nèi)部沒有釘子的情況，那如果圍成的多邊形里面有釘子呢？還能不能繼續(xù)用我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去求面積？活動要求：我選擇號圖形。1.數(shù)一數(shù)、算一算，活動要求：我選擇號圖形。1.數(shù)一數(shù)、算一算，記錄結(jié)果并匯報(bào)組長。2.想一想：利用公式S=n÷2－1能不能計(jì)算出內(nèi)部有釘子的多邊形的面積？如果不能，怎樣求它們的面積？3.議一議：和同伴說說你的想法。小組活動，教師巡視指導(dǎo)，匯報(bào)交流。（3）總結(jié)歸納，建立模型師：n÷2－1能不能計(jì)算出內(nèi)部有釘子的多邊形面積呢？哪一組來匯報(bào)你們的發(fā)現(xiàn)？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：n÷2－1不能計(jì)算出內(nèi)部有釘子的多邊形面積。當(dāng)多邊形的里面有釘子時，它的面積與里面沒有釘子的計(jì)算正好相差里面的釘子數(shù)。也就是多邊形的面積=邊上的釘子數(shù)÷2-1+里面的釘子數(shù)。師總結(jié)：當(dāng)內(nèi)部釘子數(shù)為1時，多邊形的面積是n÷2－1＋1；為2時呢？為3時？為4時？，為a時？（板書：＋，大括號，1,2,3,4，省略號，字母a）師：如果為0呢？預(yù)：n÷2-1+0。師：如果內(nèi)部的釘子數(shù)用a表示，仔細(xì)觀察，這兩種情況能不能用一個式子表示？誰來說一說？預(yù)：S=n÷2-1+a。多邊形的面積=邊上的釘子數(shù)÷2-1+里面的釘子數(shù)。師總結(jié)：無論里面有釘子還是沒有釘子，釘子板上任意多邊形的面積=邊上的釘子數(shù)÷2+里面的釘子數(shù)-1。（出示板貼：s=n÷2+a-1）師：請看屏幕，我們用這個公式算一算這個多邊形的面積，驗(yàn)證看看?。ǔ鍪菊n件）師生共同完成，課件出示驗(yàn)證過程。師：在課一開始，我們就感覺釘子板上多邊形的面積與釘子數(shù)有關(guān)，什么關(guān)系呢？就是這樣的關(guān)系?。ǔ鍪菊n件總結(jié)）師：同學(xué)們，你們看！釘子板上多邊形的面積是不是又多了一種計(jì)算方法！居然還可以通過數(shù)釘子來算面積，是不是很有趣、很神奇!（設(shè)計(jì)意圖：通過小組活動交流，讓學(xué)生感知n÷2-1的局限性，從而激發(fā)探究意識，發(fā)揮主觀能動性，歸納總結(jié)出釘子板上多邊形的面積都可以用“邊上釘子數(shù)÷2+內(nèi)部釘子數(shù)-1”計(jì)算。）三、鞏固應(yīng)用，加深理解師：讓我們用這個神奇的發(fā)現(xiàn)，去解決下面的問題吧！1.平行四邊形ABCD和平行四邊形EFCD的面積有什么關(guān)系？你能用今天學(xué)到的知識證明嗎？（設(shè)計(jì)意圖：鞏固新知的同時，讓學(xué)生感受公式“S=n÷2+a-1”也可以用來計(jì)算證明以前學(xué)過的知識。）2.在釘子板上任意圍一個多邊形，求面積。比一比誰算得快?。ㄔO(shè)計(jì)意圖：充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。）3.在同一塊釘子板上，圍成了下面3個多邊形，你能快速判斷誰的面積大嗎？（設(shè)計(jì)意圖：熟練應(yīng)用新知，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的樂趣。）課堂小結(jié)，拓展延伸課堂小結(jié)師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？師：同學(xué)們，今天我們收獲的不僅僅是一個公式，更重要的是探索和發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律的過程與方法。我們通過化難為易、分類討論，借助數(shù)形結(jié)合，在觀察與比較中，大膽提出猜想，用說理和舉例小心求證，最后通過比較、分析和歸納，得出結(jié)論。這為我們今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累了豐富的經(jīng)驗(yàn)。（設(shè)計(jì)意圖：通過對全課知識及數(shù)學(xué)方法的歸納總結(jié)，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維去觀察、思考、描述生活，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。）2、拓展延伸師：同學(xué)們，你們知道嗎？今天我們這個神奇的發(fā)現(xiàn)就是著名的“皮克定理”。（播放錄音：介紹皮克定理）（設(shè)計(jì)意圖：拓寬學(xué)生視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。）師：學(xué)習(xí)了這節(jié)課，你還有什么疑惑嗎？師：同學(xué)們課后可以查閱皮克定理的相關(guān)資料，了解更多有趣的知識！今天這節(jié)課就上到這里！下課！同學(xué)們再見！附：板書設(shè)計(jì)任務(wù)單《釘子板上的多邊形》任務(wù)單（一）姓名：活動要求：我們小組選擇號三角形研究。1.數(shù)出三角形邊上的釘子數(shù)，算出面積，填寫表格。2.想一想怎樣用釘子數(shù)表示面積呢？試著寫一寫，再和同伴討論交流。②①③②①③圖形編號邊上釘子數(shù)面積數(shù)①②③《釘子板上的多邊形》任務(wù)單（二）姓名：__________如果多邊形內(nèi)部有1枚、2枚、3枚、4枚，……釘子時，多邊形的面積與邊上的釘子數(shù)有什么關(guān)系呢？活動要求：我選擇