上海市高三下學(xué)期3月階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第22頁(yè)/共22頁(yè)高三下3月階段性測(cè)試一?填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接寫結(jié)果1.設(shè)全集，若集合，則____________．【答案】【解析】【分析】解出絕對(duì)值不等式，求出集合A，再求.【詳解】或，因此，.故答案為：.2.等差數(shù)列的前項(xiàng)之和為，若，，則______．【答案】90【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)求出，再利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】由得：，整理得，由得：，整理得，而，即，于是得，所以.故答案為：903.若的展開式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)的值為__________.【答案】【解析】【分析】法一：可使用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，通過已知條件，使用待定系數(shù)法，求解出參數(shù)的值；法二：可以將此二項(xiàng)式看成6個(gè)這樣的式子乘在一起，兩項(xiàng)和看看怎樣組合，能得到，即可完成等量關(guān)系的建立，從而完成參數(shù)的求解.【詳解】法一：展開式第項(xiàng)時(shí)，，，，.故答案：2.法二：展開式中，要想湊出，必須取三次方，也取三次方，于是算下系數(shù)就有，.故答案為：2.4.已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的模為___________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)求出，再代模長(zhǎng)公式即可求解【詳解】由，故答案為：5.曲線在點(diǎn)處的切線傾斜角為__________．【答案】【解析】【分析】先求出曲線方程的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的函數(shù)值即為切線方程的斜率，根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系得到傾斜角的正切值等于切線方程的斜率，然后利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出傾斜角的度數(shù)．【詳解】由題意得，所以，即在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以切線的傾斜角為.故答案為【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，掌握直線斜率與傾斜角間的關(guān)系，靈活運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，屬于基礎(chǔ)題．6.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)在截面上（含邊界），則線段的最小值等于___________.【答案】##【解析】【分析】由已知可證得平面，可得為與截面的垂足時(shí)，線段最小，然后利用等積法求解．【詳解】如圖，連接交截面于，由底面，底面,可得，又在正方形中，，，則平面，平面,則，同理可得，，則平面，此時(shí)線段最小，由棱長(zhǎng)為2，可得等邊三角形的邊長(zhǎng)為，，∵，∴，解得，故答案為：.7.在中，三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，若的面積，，，則______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理、誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn),由的范圍特殊角的三角函數(shù)值求出，代入三角形的面積公式列出方程，利用余弦定理列出方程，變形后整體代入求出的值.【詳解】由可得中，由正弦定理得：由得，由得得∴由余弦定理得解得，故答案為：.8.已知某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從這次考試隨機(jī)抽取3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)，則這3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)都在內(nèi)的概率為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得，進(jìn)而可求3位同學(xué)成績(jī)均在的概率.【詳解】由題意得，該正態(tài)曲線的對(duì)稱軸為，∵，∴，∴3位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)都在的概率為．故答案為：9.已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】求出的范圍，由正弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得解.【詳解】由，可得，因?yàn)楹瘮?shù)，，恰有2個(gè)零點(diǎn)，由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可得，從而解得.故答案為：10.已知，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于雙曲線漸近線的對(duì)稱點(diǎn)A滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的漸近線方程為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，漸近線方程為，對(duì)稱點(diǎn)為，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，滿足，可得，由兩點(diǎn)的距離公式，可得所求漸近線方程．【詳解】解：設(shè)，，漸近線方程為，的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，，因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，即，又，所以，即，所以雙曲線的漸近線方程為；故答案為：11.已知是平面向量，與是單位向量，且，若，則的最小值為_____________．【答案】【解析】【分析】把條件的二次方程分解成兩個(gè)向量的積，得到這兩個(gè)向量互相垂直，結(jié)合圖形確定的最小值.【詳解】如下圖所示，設(shè)且點(diǎn)B在以F為圓心，DE為直徑的圓上又當(dāng)點(diǎn)B為圓F和線段FA的交點(diǎn)的時(shí)候，最短故答案為：12.已知函數(shù)，若對(duì)任意的，都存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】問題可轉(zhuǎn)化為，分類討論結(jié)合即可得出結(jié)論.【詳解】，，即對(duì)任意的，都存在，使恒成立，有，當(dāng)時(shí)，顯然不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立.綜上，.故答案：二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)編號(hào)上將代表答案的小方格涂黑.13.“”是關(guān)于的不等式的解集為R的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.非充分非必要條件【答案】B【解析】【分析】取，時(shí)可判斷充分性；當(dāng)不等式的解集為R時(shí)，分，，討論可判斷必要性.【詳解】若，取時(shí)，不等式，此時(shí)不等式解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，當(dāng)，且時(shí)，不等式，所以，若關(guān)于的不等式的解集為R，則.綜上，“”是關(guān)于的不等式的解集為R的必要非充分條件.故選：B14.如圖所示是函數(shù)（均為正整數(shù)且互質(zhì)）的圖象，則（）A.是奇數(shù)且B.是偶數(shù)，是奇數(shù)，且C.是偶數(shù)，是奇數(shù)，且D.是奇數(shù)，且【答案】B【解析】【分析】由冪函數(shù)性質(zhì)及時(shí)兩圖象的位置關(guān)系可知；由圖象可知為偶函數(shù)，進(jìn)而確定的特征.【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知：與恒過點(diǎn)，即在第一象限的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，則；又圖象關(guān)于軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，，又互質(zhì)，為偶數(shù)，為奇數(shù).故選：B.15.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某校籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃練習(xí)．如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第球投進(jìn)的概率為，則他第球投進(jìn)的概率為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，由全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件為“第球投進(jìn)”，事件為“第球投進(jìn)”，，，，由全概率公式可得.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用全概率公式計(jì)算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是弄清第球與第球投進(jìn)與否之間的關(guān)系，結(jié)合全概率公式進(jìn)行計(jì)算.16.已知等差數(shù)列（公差不為零）和等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，如果關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程有實(shí)數(shù)解，那么以下2023個(gè)方程中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有（）個(gè)A.1009 B.1010 C.1011 D.1012【答案】D【解析】【分析】設(shè)出兩個(gè)等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列的性質(zhì)得到，要想無實(shí)根，要滿足，結(jié)合根的判別式與基本不等式得到和至多一個(gè)成立，同理可證：和至多一個(gè)成立，……，和至多一個(gè)成立，且，從而得到結(jié)論.【詳解】由題意得：，其中，，代入上式得：，要想方程無實(shí)數(shù)解，則，顯然第1012個(gè)方程有解，設(shè)方程與方程的判別式分別為和，則，等號(hào)成立的條件是.所以和至多一個(gè)成立，同理可證：和至多一個(gè)成立，……，和至多一個(gè)成立，且，綜上，在所給的2023個(gè)方程中，無實(shí)數(shù)根的方程最多1011個(gè)，有實(shí)數(shù)根的方程至少1012個(gè).故選：D.三?解答題（本大題共有5題，本大題滿分78分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)的編號(hào)規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步步17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)已知條件，然后利用整體代入法求得的單調(diào)遞減區(qū)間.（2）利用余弦定理求得，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法求得的取值范圍.【小問1詳解】令，則所以，單調(diào)減區(qū)間是.【小問2詳解】由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，則，，，所以.18.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，E，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)．（1）證明：EF∥平面PCD（2）若PD⊥平面ABCD，，且，求直線AF與平面DEF所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取PD的中點(diǎn)G，連接CG，EG，則由三角形中位線定理可得，再結(jié)合底面四邊形為菱形，可得四邊形EGCF為平行四邊形，從而得然后由線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）由已知可得兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz，然后利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：取PD的中點(diǎn)G，連接CG，EG，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PA，BC的中點(diǎn)，所以，又底面ABCD為菱形，所以，所以，所以四邊形EGCF為平行四邊形，所以又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．【小問2詳解】解：連接，因?yàn)镻D⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，所以為等邊三角形，因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椤?，所以，所以兩兩垂直，所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D—xyz．因?yàn)椋訢（0，0，0），F(xiàn)(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），則．設(shè)平面DEF的法向量，則，令，得．設(shè)直線AF與平面DEF所成的角為θ，則，所以直線AF與平面DEF所成角的正弦值為19.隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，富裕起來的人們健康意識(shí)日益提升，越來越多的人走向公園、場(chǎng)館，投入健身運(yùn)動(dòng)中，成為一道美麗的運(yùn)動(dòng)風(fēng)景線．某興趣小組為了解本市不同年齡段的市民每周鍛煉時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，得到如下表的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：周平均鍛煉時(shí)間少于小時(shí)周平均鍛煉時(shí)間不少于小時(shí)合計(jì)歲以下歲以上（含）合計(jì)（1）運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想方法判斷：是否有以上的把握認(rèn)為，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)？并說明理由．（2）現(xiàn)從歲以上（含）的樣本中按周平均鍛煉時(shí)間是否少于小時(shí)，用分層抽樣法抽取人做進(jìn)行一步訪談，最后再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人填寫調(diào)查問卷．記抽取人中周平均鍛煉時(shí)間是不少于小時(shí)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）有以上的把握認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián)；理由見解析（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）由表格數(shù)據(jù)計(jì)算可得，對(duì)比臨界值表可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于小時(shí)和不少于小時(shí)的人數(shù)，由此可確定所有可能的取值，根據(jù)超幾何分布概率公式可求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可求得期望值.【小問1詳解】由表格數(shù)據(jù)得：，有以上的把握認(rèn)為周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)與年齡有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】抽取的人中，周平均鍛煉時(shí)長(zhǎng)少于小時(shí)的有人，不少于小時(shí)的有人，則所有可能的取值為，；；；；的分布列為：數(shù)學(xué)期望20.已知拋物線焦點(diǎn)為，直線交拋物線于不同的兩點(diǎn).（1）若直線的方程為，求線段的長(zhǎng)；（2）若直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，求證：三點(diǎn)共線；（3）若直線經(jīng)過點(diǎn)，拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）存在定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn).【解析】【分析】（1）聯(lián)立直線方程與拋物線方程，可得，根據(jù)在上，由拋物線定義可求得結(jié)果；（2）設(shè)，，，聯(lián)立直線方程與拋物線方程可得，利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出，整理得，由此證得結(jié)論；（3）設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，由可得到，討論可得時(shí)滿足題意，由此確定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)，，聯(lián)立得：，，拋物線方程為，拋物線的焦點(diǎn)，又直線過拋物線的焦點(diǎn)，由拋物線的定義可得：.（2）由題意知：直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，，，則，聯(lián)立得：，則，解得：，，即，直線的斜率為，直線的斜率為，，三點(diǎn)共線.（3）假設(shè)存在點(diǎn)，使以弦為直徑的圓恒過點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)的直線的方程為：，聯(lián)立得：，則，設(shè)，，則，，點(diǎn)總在以弦為直徑的圓上，，，又，，，，當(dāng)或，等式成立，當(dāng)或，有，，則，即，當(dāng)時(shí)，無論取何值等式都成立，將代入得：，；綜上所述：存在點(diǎn)，使得以弦為直徑的圓恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題拋物線中滿足某條件的定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系；④通過討論所得關(guān)系可確定定點(diǎn).21.已知函數(shù)，設(shè)，.（1）若在上有解，求的取值范圍；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，成立；（3）若恰有三個(gè)不同的根，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）常數(shù)分離法，轉(zhuǎn)化為有解，用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可；（2）即證在時(shí)恒成立，用導(dǎo)數(shù)求左邊函數(shù)的最小值;（3）確定是先減后增，要使有三根，要滿足，從而，可將表示為的函數(shù)，根據(jù)的范圍，求得的范圍.【小問1詳解】由題，在上有解，，所以有解令，則，而在上為增函數(shù)，所以，即成立，所以在嚴(yán)格遞增，因而，即.【小問2詳解】時(shí)，則，令，得，記，則在時(shí)嚴(yán)格增，因而，所以在時(shí)嚴(yán)格增，因而即在嚴(yán)格增，，即在恒成立.【小問3詳解】在定義域上遞增①當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)成立，且，所以，因而存在，使得，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以為極小值點(diǎn).，由，此時(shí)不可能有三個(gè)根.②當(dāng)時(shí)，因而存在，使得，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；所以為極小值點(diǎn)