多項式矩陣理論

多項式矩陣理論第1頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四狀態(tài)空間表達式為數(shù)模，研究多輸入/多輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間理論，建立了系統(tǒng)能控能觀測的概念，提出了狀態(tài)反饋，狀態(tài)觀測器。與此同時，在線性系統(tǒng)狀態(tài)空間法影響下，以多項式矩陣理論為基礎(chǔ)的復(fù)頻域理論應(yīng)運而生，Kalman探討并提出最優(yōu)控制問題的頻域描述，H.H.Rosenbrock的“逆奈奎斯特陣列設(shè)計多變量系統(tǒng)”和W.A.Wolovich提出的特征軌跡設(shè)計法等開創(chuàng)了復(fù)頻域理論。該方法既可用于SISO系統(tǒng)又適應(yīng)MIMO系統(tǒng)；既可提供系統(tǒng)性能分析又可揭示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性；還可用于系統(tǒng)補償器綜合。第2頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第7章多項式矩陣理論7.1多項式矩陣——以多項式為元組成的矩陣其中，的S多項式第3頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.2奇異和非奇異方多項式矩陣Q(s)如果detQ(s)=0,則稱Q(s)為奇異多項式矩陣；如果detQ(s)=0,則稱Q(s)為非奇異多項式矩陣。Q(s)有逆的充分必要條件為Q(s)為非奇異的，且存在第4頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.3線性相關(guān)和線性無關(guān)多項式向量組為線性相關(guān)，當且僅當存在一組不全為零的多項式使成立第5頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四等價于第6頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四奇異與線性無關(guān)Q(s)非奇異方多項式矩陣等價于Q(s)行/列多項式向量線性無關(guān)。線性相關(guān)性/無關(guān)性對組合系數(shù)屬性的依賴性多項式向量組線性相關(guān)/無關(guān)不僅依賴于向量本身，而且同時依賴于標量組的取值的域（有理分式域或?qū)崝?shù)域

。第7頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第8頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.4秩定義：如果至少存在一個子式不恒等于零，而所有等于和大于的子式恒等于零，則稱多項式矩陣Q(s)的秩為r.即rankQ(s)=r1)秩的取值范圍：對一多項式矩陣Q(s)第9頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四2)滿秩與降秩3）秩和線性無關(guān)性rankQ(s)=rQ(s)中有且僅有r個線性無關(guān)的列/行向量4）秩和奇異性Q(s)非奇異rankQ(s)=n第10頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四秩的性質(zhì)：1）對任意非零多項式矩陣Q(s),任取非奇異陣P(s)和陣R(s),則必有rankQ(s)=rankP(s)Q(s)=rankQ(s)R(s)2)Q(s)為，R(s)為多項式矩陣，則必成立第11頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.5單模矩陣(unimodularmatrices)定義：方多項式矩陣Q(s)為單模矩陣，當且僅當行列式detQ(s)=c為獨立于s的非零常數(shù)。性質(zhì)：1.一個方多項式矩陣為單模矩陣，當僅當其逆陣也為多項式且是單模的；2.單模矩陣具有非奇異多項式矩陣的基本屬性，但反命題不成立；第12頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四3.任意兩個同維單模矩陣的乘積也為單模矩陣；4.單模陣的逆也為單模陣；5.奇異，非奇異，單模矩陣第13頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.6初等變換第一種初等變換（行初等變換或列初等變換）：功能：任意交換多項式矩陣的兩行或兩列。實現(xiàn)：初等矩陣的生成第14頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四對Q(s)作行2和行5的交換：第15頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第二種初等變換功能：用非零常數(shù)c乘于多項式矩陣Q(s)的某行或某列。實現(xiàn)：初等矩陣的生成：第16頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第三種初等變換功能：將非零多項式d(s)乘于多項矩陣Q(s)的某行/某列所得結(jié)果加于另某行/另某列。實現(xiàn)：初等矩陣的生成：第17頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第18頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四初等矩陣的性質(zhì)：1）初等矩陣均是可逆的；2）初等矩陣均為單模矩陣。單模變換和初等變換定義：對的多項式矩陣Q(s)，設(shè)的多項式矩陣R(s)和的多項式矩陣T(s)為任意單模矩陣，則稱R(s)Q(s),Q(s)T(s),R(s)Q(s)T(s)為Q(s)的單模變換。第19頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四推論1：初等矩陣的乘積陣為單模陣，對矩陣Q(s)作行初等變換等價于Q(s)左乘相應(yīng)的單模陣，即相應(yīng)于左單模變換；對矩陣Q(s)作列初等變換等價于Q(s)右乘相應(yīng)的單模陣，即相應(yīng)于右單模變換。推論2：對矩陣Q(s)左乘單模陣，即左單模變換，可等價的化為對Q(s)的相應(yīng)一系列行初等變換；對矩陣Q(s)右乘單模陣，即右單模變換，可等價的化為對Q(s)的相應(yīng)一系列列初等變換。第20頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四推論：對給定單模陣Q(s),設(shè)“使Q(s)按列初等變換化為單位陣I”的各初等矩陣依次為，其逆為，則單模陣Q(s)的初等矩陣乘積表達式為第21頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四推論：對給定單模陣Q(s),設(shè)“使Q(s)按行初等變換化為單位陣I”的各初等矩陣依次為，其逆為，則單模陣Q(s)的初等矩陣乘積表達式為初等矩陣乘積表達式不唯一。第22頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四推論3：單模變換與初等變換的關(guān)系R(s)Q(s)對Q(s)作等價一系列行初等變換Q(s)T(s)對Q(s)作等價一系列列初等變換R(s)Q(s)T(s)對Q(s)同時作等價一系列行和列初等變換。推論4：如果Q(s)經(jīng)有限次初等變換變成B(s）則稱Q(s)與B(s)是等價的，且rankQ(s)=rankB(s)第23頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.7埃爾米特形埃爾米特（Hermite)形是多項式矩陣的一種規(guī)范形。行埃爾米特形：設(shè)多項式矩陣Q(s),rankQ(s)=r<min(m,n)，則行埃爾米特形QHr(s)第24頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四列埃爾米特形設(shè)多項式矩陣Q(s),rankQ(s)=r<min(m,n)，則列埃爾米特形QHc(s)的形式對偶于行埃爾米特形QHr(s)對于多項式矩陣Q(s)，其行埃爾米特形可由單模陣V(s)左乘Q(s)得到，其列埃爾米特形可由單模陣U(s)右乘Q(s)得到，即第25頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例：采用初等變換法，化Q(s)為行埃爾米特形第26頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四變換陣第27頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.8公因子和最大公因子第28頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四最大公因子的定義：最大右公因子gcrd:第29頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四最大右公因子gcrd:公因子和最大公因子是不唯一的。第30頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四最大公因子的構(gòu)造定理首先，任意兩個列數(shù)相同的多項式矩陣D(s),N(s)的最大右公因子總是存在的。第31頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.11gcrd構(gòu)造定理對列數(shù)相同的兩個多項式矩陣D(s),N(s)，如果可找到的一個單模陣U(s),使成立則導(dǎo)出的多項式矩陣R(s)就為{D(s),N(s)}的一個最大右公因子。第33頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四證明：（1）R(s)為{D(s),N(s)}的右公因子。單模陣U(s)的逆為V(s),第34頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四(2)證明{D(s),N(s)}的任一其它右公因子均為R(s)的右乘因子。R(s)就為{D(s),N(s)}的一個最大右公因子。第35頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四具體求取方法：例：第36頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第37頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四再利用gcrd不唯一屬性，任取于R(s)同維的一個單模陣則導(dǎo)出給定{D(s),N(s)}的另一個gcrd第38頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.12gcld構(gòu)造定理對行數(shù)相同的兩個多項式矩陣DL(s),NL(s)，如果可找到的一個單模陣U(s),使成立則導(dǎo)出的多項式矩陣RL(s)就為{DL(s),NL(s)}的一個最大左公因子。第39頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四最大公因子的性質(zhì)1）最大公因子的不唯一性結(jié)論7.13令多項式矩陣R(s)為具有相同列數(shù)p的多項式矩陣對的一個gcrd，則對任意單模矩陣W(s)R(s)也必是的gcrd.證明：gcrd構(gòu)造定理，第40頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四U(s)為單模陣，現(xiàn)構(gòu)造另一個單模陣第41頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.14令多項式矩陣R1(s)和R2(s)為具有相同列數(shù)p的多項式矩陣對的任意兩個gcrd，則有2)最大公因子在非奇異性和單模性上的唯一性第42頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四3）最大公因子非奇異的條件結(jié)論7.15對于具有相同列數(shù)p的多項式矩陣對，當且僅當?shù)?3頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.16令多項式矩陣R

(s)為具有相同列數(shù)p的多項式矩陣對的一個gcrd，則必存在多項式矩陣X(s)和Y(s)，有R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)證明：由gcrd構(gòu)造定理，得R(s)=U11(s)D(s)+U12(s)N(s)令U11(s)=X(s),U12(s)=Y(s)4)最大公因子的基于矩陣對表達式第44頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.17對多項式對{d(s),n(s)}，其gcrdr(s)的次數(shù)必小于d(s)和n(s)的次數(shù)。

對相同列數(shù)p的多項式矩陣對其最大公因子gcrd，則必存在多項式矩陣R(s)的元多項式次數(shù)可能大于D(s)和N(s)的元多項式次數(shù)。5)最大公因子在次數(shù)上的特點第45頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例：第46頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四若取單模陣根據(jù)gcrd的不唯一性，知W(s)R(s)也是{D(s),N(s)}的gcrd.R1(s)中元的次數(shù)顯然大于D(s),N(s)中元多項式的次數(shù)。第47頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

7.9互質(zhì)性（co-primeness)定義：7.13[右互質(zhì)]列數(shù)相同的多項式矩陣為右互質(zhì)，如果其最大右公因子gcrd為單模陣。定義：7.14[左互質(zhì)]行數(shù)相同的多項式矩陣為左互質(zhì)，如果其最大左公因子gcld為單模陣。互質(zhì)性的常有判據(jù)1）貝佐特(bezout)等式判據(jù)第48頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.18列數(shù)相同的多項式矩陣D(s)和N(s)為右互質(zhì)，當且僅當存在多項式矩陣X(s),Y(s)，是貝佐特等式成立：X(s)D(s)+Y(s)N(s)=Ip結(jié)論7.19行數(shù)相同的多項式矩陣DL(s)和NL(s)為左互質(zhì)，當且僅當存在多項式矩陣X(s),Y(s)，是貝佐特等式成立：DL(s)X(s)+NL(s)Y(s)=Iq第49頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四證明（1）必要性。即已知D(s)和N(s)為右互質(zhì)，證明貝佐特等式成立。第50頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（1）充分性。即已知貝佐特等式成立，證明D(s)和N(s)為右互質(zhì)。第51頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四秩判據(jù)結(jié)論7.20[右互質(zhì)秩判據(jù)]對列數(shù)相同多項式矩陣D(s),N(s)，其中D(s)為非奇異，則有推論：第52頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.21[左互質(zhì)秩判據(jù)]對行數(shù)相同多項式矩陣DL(s),NL(s)，其中DL(s)為非奇異，則有推論：第53頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四不存在使判別式全部多項式矩陣同時降秩的s值，D(s),N(s)為右互質(zhì)第54頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四3）行列式次數(shù)判據(jù)結(jié)論7.22[右互質(zhì)行列式次數(shù)判據(jù)]對列數(shù)相同多項式矩陣D(s),N(s)，其中D(s)為非奇異，則D(s)和N(s)為右互質(zhì)，當且僅當存在多項式矩陣A(s)和B(s)，使同時成立：第55頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.23[左互質(zhì)行列式次數(shù)判據(jù)]對行數(shù)相同多項式矩陣DL(s),NL(s)，其中DL(s)為非奇異，則DL(s)和NL(s)為左互質(zhì)，當且僅當存在多項式矩陣A(s)和B(s)，使同時成立：第56頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四所以，D(s),N(s)非右互質(zhì)。第57頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四所以，D(s),N(s)非右互質(zhì)。第58頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四所以，D(s),N(s)非右互質(zhì)。第59頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四左互質(zhì)性所以，D(s),N(s)左互質(zhì)。第60頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四不存在使[D(s),N(s)]同時降秩的s，所以D(s)和N(s)左互質(zhì)。第61頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四所以，D(s),N(s)左互質(zhì)。第62頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四最大公因子構(gòu)造關(guān)系式性質(zhì)的進一步討論gcrd構(gòu)造關(guān)系式D(s)為非奇異多項式矩陣，N(s)為多項式矩陣，矩陣U(s)為單模陣，U11(s)為陣，U12(s)為陣，U21(s)為陣，U22(s)為陣。第63頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四推論7.10

行數(shù)相同的多項式矩陣U22(s)和U21(s)為左互質(zhì)推論7.11

多項式矩陣U22(s)為非奇異，且成立：推論7.12D(s)和N(s)為右互質(zhì)，當且僅當?shù)?4頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四證明：U(s)為單模陣，其逆一定存在，設(shè)第65頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第66頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第67頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第68頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四

7.10列次數(shù)和行次數(shù)定義7.15[多項式向量的次數(shù)]對列或行多項式向量其次數(shù)定義為組成向量的元多項式次數(shù)的最大值，即第69頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四定義7.16[列次數(shù)和行次數(shù)]對多項式矩陣：M(s)的列次數(shù)定義為其列向量mj(s),j=1,2…p的次數(shù)，M(s)的行次數(shù)定義為其行向量mj(s),j=1,2…p的次數(shù)，即第70頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四列次表達式和行次表達式結(jié)論7.24[列次表達式]對多項式矩陣M(s),令列次數(shù)為，再表第71頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四則可表M(s)為列次表達式：第72頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例：第73頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第74頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.11既約性（reducedproperty)既約性反應(yīng)多項式矩陣在次數(shù)上的不可簡約。定義7.17[方陣的既約性]給定方非奇異多項式矩陣M(s)，為列次數(shù)和行次數(shù)，則稱第75頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四定義7.18[非方陣的既約性]給定非方多項式矩陣M(s)，第76頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四例：M(s)為列既約但非行既約第77頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四既約性判據(jù)（1）列次/行次系數(shù)矩陣判據(jù)結(jié)論7.26[方多項式矩陣情形]給定方多項式矩陣M(s)，令Mhc和Mhr為列次系數(shù)和行次系數(shù)矩陣，kci和kri為列次數(shù)和行次數(shù)，i=1,2,….p.則M(s)列既約列次系數(shù)矩陣Mhc非奇異M(s)行既約行次系數(shù)矩陣Mhr非奇異第78頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四結(jié)論7.27[非方多項式矩陣情形]給定非方滿秩多項式矩陣M(s)，令Mhc和Mhr為列次系數(shù)和行次系數(shù)矩陣，kcj和kri為列次數(shù)和行次數(shù)，i=1,2,….q.j=1,2,….p則M(s)列既約且rankMhc=pM(s)行既約且rankMhr=q例：第79頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（2）多項式向量判據(jù)結(jié)論7.28[方多項式矩陣情形]給定方多項式矩陣M(s)，kci和kri為列次數(shù)和行次數(shù)，i=1,2,….p.則1）M(s)列既約當且僅當對所有多項式向量使如下構(gòu)成的多項式向量滿足關(guān)系式第80頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四（2）M(s)行既約當且僅當對所有多項式向量使如下構(gòu)成的多項式向量滿足關(guān)系式結(jié)論7.29[既約矩陣的屬性]在一定限制下（列次數(shù)/行次數(shù)序列滿足非降性），列既約矩陣的列次數(shù)和行既約矩陣的行次數(shù)在單模變換下保持不變。第81頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四非既約矩陣的既約化結(jié)論7.30[非既約矩陣的集約化]給定非既約矩陣非奇異陣M(s)則必可找到一對單模陣U(s)和V(s)，使M(s)U(s)和V(s)M(s)為列既約或行既約。第82頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第83頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四7.12史密斯形（Smith)Smith標準形式多項式矩陣的一種重要規(guī)范形，常用來分析多項式矩陣的零點，求最大公因子，判斷互質(zhì)性等等。定義7.19給定多項式矩陣：其史密斯形為通過相應(yīng)維數(shù)單模矩陣對{V(s),U(s)}變換，導(dǎo)出的如下的多項式矩陣：第84頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四史密斯形構(gòu)成的算法：參見p417第85頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第86頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四第87頁，共99頁，2023年，2月20日，星期四史密斯形的特性（1）不變多項式結(jié)論7.31給定