線代8第八次課

第八次課第三章n維向量

n維向量及其線性運算向量組的線性相關(guān)性

向量組的秩

n維向量的內(nèi)積正交性3.3

向量組的秩定義3.83.3.1向量組的極大線性無關(guān)組

設(shè)n維向量組(Ⅰ)：α1,α2,…,αm中有r(r≤m)個向量

αi1,α

i2,…,αir，滿足

(1)這r個向量線性無關(guān)

(2)(Ⅰ)中的任一個向量均可由這r個向量線性表示，

則稱向量組αi1,α

i2,…,αir為向量組

(Ⅰ)的一個極大線性無關(guān)組（簡稱極大無關(guān)組）。例3-5解設(shè)一組向量

α1=(1,0,1)T,α2=(1,2,-1)T,α3=(1,-2,3)T,α4=(2,4,-2)T,

試求其極大無關(guān)組。因α1與α2不成比例，故α1與α2線性無關(guān)，又因

α3=2α1-α2，α4=0α1+2α2

由定義3.8知，α1,α2

是向量組α1,α2,α3,α4的一個極大無關(guān)組。顯然，α1,α3也線性無關(guān)，且有

α2=2α1-α3，α4=4α1-2α3

故α1,α3也是該向量組的一個極大無關(guān)組。同理α1,α4

以及α2,α3和α3,α4

也分別是該向量組的極大無關(guān)組。

即一個向量組的極大無關(guān)組一般不唯一。例3-6證明證明：n維基本向量組e1,e2,…,en是全體n維向量集合Rn的一個極大無關(guān)組。n維基本向量組e1,e2,…,en是全體n維向量集合Rn的一個極大無關(guān)組。

在3.2節(jié)已證明e1,e2,…,en線性無關(guān)。又因為對Rn中的任一個向量α=(a1,a2,…,an

)T，均有

α=a1e1+a2e2+…+anen

即Rn中的任一向量均可由e1,e2,…,en線性表示，故

e1,e2,…,en是Rn的一個極大無關(guān)組。定理3.1證明如果向量組α1,α2,…,αs可由向量組β1,β2,…,βt線性表出，且s>t，則向量組α1,α2,…,αs必線性相關(guān)。設(shè)(3-6)(3-7)(3-8)(3-9)令x1α1+x2α2+…+xsαs

=0

將式(3-6)、式(3-7)分別寫成

(α1,α2,…,αs)=(β1,β2,…,βt)A

(α1,α2,…,αs)x=0因為A是t×s的矩陣，且s>t,由推論2.1知，齊次線性方程組Ax=0有非零解，設(shè)為x0=(k1,k2,…,ks)T≠0，滿足Ax0=0。其中

將式(3-8)代入式(3-9)，得(β1,β2,…,βt)Ax=0由式(3-9)得(α1,α2,…,αs)x0=0，即存在不全為零的數(shù)k1,k2,…,ks，使

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

所以α1,α2,…,αs線性相關(guān)。由定理3.1可得如下推論:推論3.4

任意(n+1)個n維向量必線性相關(guān)。（因為任意n+1個n維向量都可由基本單位向量組線性表出）推論3.3

一個向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是唯一的，即同一個向量組的任意兩個極大無關(guān)組所含向量個數(shù)相同。推論3.2

任意兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量個數(shù)相等。推論3.1

若向量組α1,α2,…,αs線性無關(guān)，且其每一個向量可由向量組β1,

β2,…,

βt線性表出，則必有

s≤

t。3.3.2向量組的秩定義3.9向量組(Ⅰ)的任一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)r稱為該向量組的秩，記作R(Ⅰ)=r如：例3-5中向量組的秩為2；Rn的秩為n。由定義3.9及定理3.3的推論可得以下結(jié)論：(2)若向量組(Ⅰ)可由向量組(Ⅱ)線性表出,則R(Ⅰ)≤R(Ⅱ)。(3)等價向量組的秩相等。(4)若向量組的秩為r，則其中任意r個線性無關(guān)的向量都是他的一個極大無關(guān)組。(1)向量組α1,α2,…,αm線性相關(guān)(線性無關(guān))的充要條件是它的秩小于m(等于m)。

一個m×n的矩陣A有n個m維的列向量，也有m個n維的行向量。稱矩陣A的行（列）向量組的秩為矩陣A的行秩（列秩）。3.3.3矩陣的秩和向量組的秩的關(guān)系定理3.4

矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。即有

矩陣的秩=行秩=列秩證明設(shè)矩陣A=(aij)m×n，A的秩R(A)=r，A的列秩為s先證r=s。只需證s≥r且s≤r即可。

用αj表示的第j列向量。由R(A)=r，則中至少有一個r階子式不為零，不妨設(shè)的左上角r階子式(r<m)用

表示此行列式對應(yīng)的r階方陣的各個列向量，則必線性無關(guān)。因為齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為零，根據(jù)克萊姆法則，方程組有唯一零解。故對應(yīng)的A的前r列線性無關(guān)，進而有A的列秩滿足s≥r。

若A的列秩為s，則A中至少有s個列向量線性無關(guān)(構(gòu)成A的極大無關(guān)組)，設(shè)A的前s個列向量α1,α2,…,αs線性無關(guān)，則必有s≤m,否則，若s>m，向量個數(shù)大于維數(shù)，α1,α2,…,αs必

線性相關(guān)，從而，齊次線性方程組

t1α1+t2α2+…+tsαs=0

只有零解。記其系數(shù)矩陣為B=(α1,α2,…,αs)，易證必有R(B)≥s。因為，若R(B)<s,由定理2.9的推論知，上述方程組必有非零解，出現(xiàn)矛盾。由矩陣秩的定義，B作為A的子陣，顯然有R(A)≥R(B)，從而r

≥

s。綜上所述，r=s，即

R(A)=A的列秩

且由R(AT)=R(A)得R(A)=R(AT)=AT的列秩=A的行秩。

顯然我們可通過求矩陣A=(α1,α2,…,αm)的秩來求向量組α1,α2,…,αm的秩或極大無關(guān)組。例3-6解

求向量組α1=(1,0,2,3,-4)T,α2=(6,4,1,9,2)T,

α3=(1,4,-9,-6,22)T,α4=(7,8,0,-1,3)T的秩，并求出一個極大無關(guān)組，將其余向量用該極大無關(guān)組線性表出。把α1,α2,α3,α4看作矩陣A的列向量，并對A施行初等行變換化為規(guī)范階梯形

從規(guī)范階梯形矩陣可以得到:

(1)向量組α1,α2,α3,α4

的秩為3；

(2)向量組α1,α2,α4

是其中一個極大無關(guān)組；

(3)其余向量α3=-5α1+α2+0α4。

關(guān)于矩陣的秩的一些結(jié)論：(1)設(shè)矩陣A、B都是mxn的，則有R(A+B)≤R(A)+R(B)。(2)若A是m行k列矩陣，B是k行n列矩陣，則

R(A)+R(B)-k≤R(AB)≤min{R(A),R(B)}小結(jié)向量組的秩的求法：(1)以該向量組為列向量構(gòu)造矩陣A;(2)對A施行初等行變換化規(guī)范階梯形；(3)每行的非零首項所在的列數(shù)對應(yīng)的列向量組即為一個極大無關(guān)組。定義3.10設(shè)Rn中的任意兩個n維向量

定義α與β的內(nèi)積為

[α,

β]=a1b1+a2b2+…+anbn

(3-15)3.4n維向量的內(nèi)積正交性3.4.1n維向量的內(nèi)積如α=(1,2,0,-4)T,β=(2,-2,0,-5)T的內(nèi)積為

[α,

β]=1×2+2×(-2)+0×0+(-4)×(-5)=18

根據(jù)矩陣的乘法，內(nèi)積也可寫為[α,

β]=αTβ設(shè)α,β,γ∈Rn，則可得內(nèi)積的性質(zhì)：

(1)[α,β]=[β,α]（交換律）

(2)[kα,β]=k[α,β]，k是實數(shù)

(3)[α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ]（分配律）

(4)[α,

α]≥0，當(dāng)且僅當(dāng)α=0時,[α,

α]=0。或設(shè)α

=(a1,a2,…,an)T∈Rn，則定義向量的模為：當(dāng)||α||=1時，稱α為n維單位向量。

若α

=(a1,a2,…,an)T≠0,β=(b1,b2,…,bn)T≠0,則定義α與β的夾角為

當(dāng)[α，β]=0時，稱α與β正交，記作α⊥β。3.4.2正交向量定義3.11設(shè)α1,α2,…,αm是n維非零向量，如果這m個向量兩兩正交，則稱該向量組為正交向量組；若這m個向量是兩兩正交的單位向量，則稱該向量組是標(biāo)準正交組。如：向量α1=(1,1,0)T,

α2

=(1,-1,0)T,α3=(0,0,2)T是一正交向量組

基本單位向量組

e1=(1,0,0,…,0)T,e2=(0,1,0,…,0)T,…,en=(0,0,0,…,1)T

是一標(biāo)準正交組。

正交向量組必線性無關(guān)。定理3.5證明設(shè)α1,α1,…,αm是正交向量組，令由正交性，有

[αj,αi]=0(i≠j;i,j=1,2,…,m)

故有

因為αj是非零向量，所以||αj||≠0，故kj=0(j=1,2,…,m)

即α1,α2,…,αm線性無關(guān)。推論3.5

Rn中的正交向量組至多含n個n維向量。稱Rn中的標(biāo)準正交向量組e1,e2,…,en為Rn中的一組標(biāo)準正交基。它是Rn中的一個極大無關(guān)組，即Rn中的任一向量都可被其唯一線性表示。如對向量有施密特正交化方法：令

Rn中任意一個線性無關(guān)的向量組α1,α2,…,αm都可