復變函數(shù)與積分變換

復變函數(shù)與積分變換1第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四一、冪級數(shù)的概念1.復變函數(shù)項級數(shù)定義：其中各項在區(qū)域

D內有定義.表達式稱為復變函數(shù)項級數(shù),記作

稱為這級數(shù)的部分和.

級數(shù)最前面n項的和復變函數(shù)與積分變換2第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四如果級數(shù)在D內處處收斂,那么它的和一定s(z)稱為級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).復變函數(shù)與積分變換3第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四2.冪級數(shù)當或函數(shù)項級數(shù)的特殊情形或這種級數(shù)稱為冪級數(shù).復變函數(shù)與積分變換4第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四二、冪級數(shù)的斂散性1.收斂定理(阿貝爾Abel定理)復變函數(shù)與積分變換5第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四證明：由收斂的必要條件,有因而存在正數(shù)M,使對所有的n,而復變函數(shù)與積分變換6第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四由正項級數(shù)的比較判別法知:收斂.(2)

用反證法，復變函數(shù)與積分變換7第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四2.收斂圓與收斂半徑對于一個冪級數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對所有的正實數(shù)都收斂.由阿貝爾定理知:級數(shù)在復平面內處處絕對收斂。例如,級數(shù)對任意固定的z,從某個n開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.復變函數(shù)與積分變換8第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四(2)對所有的正實數(shù)除z=0外都發(fā)散.此時,級數(shù)在復平面內除原點外處處發(fā)散.(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實數(shù).例如,級數(shù)通項不趨于零,故級數(shù)發(fā)散.復變函數(shù)與積分變換9第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點為中心的圓域.如圖:復變函數(shù)與積分變換10第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四答案:

冪級數(shù)的收斂范圍是何區(qū)域?問題1:

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結論,要對具體級數(shù)進行具體分析.注意問題2:冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?復變函數(shù)與積分變換11第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四例1、求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解：級數(shù)的部分和為級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.復變函數(shù)與積分變換12第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四且有在此圓域內,級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為1,收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:復變函數(shù)與積分變換13第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四4.收斂半徑的求法方法1:比值法(定理二):證明:復變函數(shù)與積分變換14第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四復變函數(shù)與積分變換15第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四復變函數(shù)與積分變換16第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四解：例2、試求冪級數(shù)的收斂半徑該級數(shù)收斂該級數(shù)發(fā)散p=1p=2該級數(shù)在收斂圓上是否收斂取決于p的值。并討論收斂圓周上的情形.復變函數(shù)與積分變換17第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四方法2:根值法(定理三)例3、求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論時的情形)并討論收斂圓周上的情形并討論收斂圓周上的情形復變函數(shù)與積分變換18第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點,也有級數(shù)的發(fā)散點.原級數(shù)成為交錯級數(shù),收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調和級數(shù)，(1)解：復變函數(shù)與積分變換19第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四

綜上該級數(shù)發(fā)散。該級數(shù)收斂，復變函數(shù)與積分變換20第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四故該級數(shù)在復平面上是處處收斂的.復變函數(shù)與積分變換21第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四三、冪級數(shù)的運算和性質(1)冪級數(shù)的加、減運算(2)冪級數(shù)的乘法運算1、冪級數(shù)的運算復變函數(shù)與積分變換22第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四此代換運算常應用于將函數(shù)展開成冪級數(shù).(3)冪級數(shù)的代換(復合)運算復變函數(shù)與積分變換23第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四例4、把函數(shù)表成形如的冪級數(shù),其中是不相等的復常數(shù).解：把函數(shù)寫成如下的形式:代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出復變函數(shù)與積分變換24第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四級數(shù)收斂,且其和為復變函數(shù)與積分變換25第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四定理四設冪級數(shù)的收斂半徑為那么內的解析函數(shù)

.它的和函數(shù)是收斂圓(1)2、

復變冪級數(shù)在收斂圓內的性質(2)在收斂圓內的導數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導得到,復變函數(shù)與積分變換26第26頁，共27頁，2023年，2月