2023年第二十一屆華杯賽初賽高年級組講解

第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽初賽試卷（小學(xué)高年級組）一、選擇題（每小題10分，共60分，以下每題的四個選項中，僅有一個是正確的，請將表示正確答案的英文字母寫在每題的圓括號內(nèi)．）1.算式99999999的結(jié)果中含有（）個數(shù)字0．2023個2023個A.2023B.2023C.2023D.2023【考點】計算，多位數(shù)計算【難度】☆【答案】C【分析】(1020231)2(1020232)1020231999...998000...0012023個2023個已知A,B兩地相距300米．甲、乙兩人同時分別從A,B兩地出發(fā)，相向而行，在距A地140米處相遇；如果乙每秒多行1米，則兩人相遇處距B地180米．那么乙原來的速度是每秒（）米．A.23B.24C.3D.31555【考點】行程，比例方程解行程【難度】☆【答案】D【分析】設(shè)甲速v1乙速v2，有v1407v14v2300140815v13001802解得16v180325v21在一個七位整數(shù)中，任何三個連續(xù)排列的數(shù)字都構(gòu)成一個能被11或13整除的三位數(shù)，則這個七位數(shù)最大是（）A.9981733B.9884737C.9978137D.9871773【考點】數(shù)論，整除【難度】☆【答案】B【分析】注意到由于任意三個連續(xù)排列的數(shù)字都能構(gòu)成三位數(shù)，所以這個七位數(shù)的前五個數(shù)字不能是0，逐步極端分析，得9881376，8841368，8471177，4731143，73711674.將1，2，3，4，5，6，7，8這8個數(shù)排成一行，使得8的兩邊各數(shù)之和相等，那么共有（）種不同的排行．A.1152B.864C.576D.288【考點】計數(shù)，加乘原理與排列組合【難度】☆☆【答案】A【分析】123728，8的兩邊之和都是14研究有7的一邊，147617527437421數(shù)的兩側(cè)分法有4種，兩側(cè)可互換，每個分法都是一邊四個數(shù)另一邊三個數(shù)，兩邊內(nèi)部可互換（全排列），共42A44A331152種排法在等腰梯形ABCD中，AB平行于CD，AB6，CD14，AEC是直角，CECB，則AE2等于（）EABDCA.84B.80C.75D.64【考點】幾何，勾股定理【難度】☆☆【答案】A【分析】做出兩側(cè)的高，連結(jié)AC，有FGAB6，CF12(CDFG)4，CG10，令A(yù)GBFh，由勾股定理，AC2AG2CG2h2100CE2BC2BF2CF2h216AE2AC2CE284EABDGFC從自然數(shù)1，2，3，…，2023，2023中，任意取n個不同的數(shù)，要求總能在這n個不同的數(shù)中找到5個數(shù)，它們的數(shù)字和相等．那么n的最小值等于（）A.109B.110C.111D.112【考點】組合，最不利原則【難度】☆☆☆【答案】B【分析】1到2023中，數(shù)字和最大28。數(shù)字和28的數(shù)只有1999；數(shù)字和27的數(shù)有999、1899、1989、1998；數(shù)字和1的數(shù)有1、10、100、1000；數(shù)字和2~26的數(shù)都至少有5個最壞情況：取數(shù)字和1到27的數(shù)各4個，以及1999，共109個數(shù)。再多取一個數(shù)就保證有5個數(shù)字和相等，n110二、填空題（每小題10分，共40分）兩個正方形的面積之差為2023平方厘米，如果這樣的一對正方形的邊長都是整數(shù)厘米，那么滿足上述條件的所有正方形共有對．【考點】數(shù)論，因數(shù)個數(shù)定理【難度】☆☆【答案】12【分析】a2b2(ab)(ab)2023ab與ab奇偶性相同，乘積是偶數(shù)，必然都是偶數(shù)，且和大于差，2023450423327的因數(shù)有24個，即12組不同的分拆，故有12組解．如下圖，O,P,M是線段AB上的三個點，AO54AB，BP23AB,M是AB的中點，且OM2，那么PM長為．APMOB【考點】應(yīng)用題，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題【難度】☆【答案】109【分析】OMAOAM54AB12AB103AB，AB2103203PMBPMB23AB12AB16AB16203109設(shè)q是一個平方數(shù)．如果q2和q2都是質(zhì)數(shù)，就稱q為P型平方數(shù)，例如，9就是一個P型平方數(shù)，那么小于1000的最大P型平方數(shù)是．【考點】數(shù)論，同余【難度】☆☆☆【答案】441【分析】顯然，q是奇數(shù)，且q2和q2都不是3的倍數(shù)，而平方數(shù)除以3只能余0或1，若q除以3余1則q2是3的倍數(shù)，所以q只能除以3余0，即q是3的倍數(shù)，極端分析，3321000，27227311743，2122439，2122443都是質(zhì)數(shù)有一個等腰梯形的紙片，上底長度為2023，下底長度為2023，用該紙片剪出一些等腰梯形，要求剪出的梯形的兩個底邊分別在原來梯形的底邊上，剪出的梯形的兩個銳角等于原來梯形的銳角，則最多可以剪出個同樣的等腰梯形．【考點】組合，最值【難度】☆☆☆【答案】4029【分析】如圖，將大等腰梯形分成2n1個等腰梯形，由于底角相等，大小等腰梯形的上下底之差也相等（相差一個平行四邊形），設(shè)小