【課件】條件概率課件-2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第七章隨機(jī)變量及其分布

7.1

條件概率與全概率公式7.1.1條件概率1．理解條件概率的定義．2．掌握條件概率的兩種計(jì)算方法．3．利用條件概率公式解決一些簡單的實(shí)際問題．1.事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生的事件叫做A與B的和事件，記為(或

)；2.事件A與B都發(fā)生的事件叫做A與B的積事件,記為(或).我們知道當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有：下面我們從具體的問題入手？如果事件A與B不相互獨(dú)立，如何表示積事件AB的概率呢？相互獨(dú)立事件互斥事件對立事件判斷方法一個(gè)事件的發(fā)生與否對另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響.兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=.兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但必有其中一個(gè)發(fā)生，即

，.概率公式若事件A與B相互獨(dú)立，若事件A與B互斥，則

若事件A與B互為對立事件，則互斥、對立、獨(dú)立事件辨析問題1某個(gè)班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如表所示.團(tuán)員非團(tuán)員合計(jì)男生16925女生14620合計(jì)301545在班級里隨機(jī)選擇一人做代表.(1)選到男生的概率是多少？(2)如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？分析：隨機(jī)選擇一人做代表，則樣本空間

Ω包含45個(gè)等可能的樣本點(diǎn).用A表示事件“選到團(tuán)員”，B表示事件“選到男生”，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出

，

，.(1)根據(jù)古典概型知識可知，選到男生的概率(2)“在選到團(tuán)員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件

A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為.此時(shí)相當(dāng)于以A為樣本空間來考慮事件B發(fā)生的概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含的樣本點(diǎn)數(shù).根據(jù)古典概型知識可知，問題2假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個(gè)小孩的家庭.隨機(jī)選擇一個(gè)家庭，那么(1)該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已經(jīng)知道這個(gè)家庭有女孩，那么兩個(gè)小孩都是女孩的概率又是多大？分析：觀察兩個(gè)小孩的性別，用b表示男孩，用g表示女孩，則樣本空間Ω={bb，bg，gb，gg}，且所有樣本點(diǎn)都是等可能的.用A表示事件“選擇的家庭中有女孩，B表示事件“選擇的家庭中兩個(gè)小孩都是女孩”，則A={bg，gb，gg}，B={gg}.(1)根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個(gè)小孩都是女孩的概率(2)“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個(gè)小孩都是女孩”的概率就是“在事件

A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為.此時(shí)A成為樣本空間，事件B就是積事件AB.根據(jù)古典概型知識可知，

這個(gè)結(jié)論對于一般的古典概型仍然成立.事實(shí)上，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間.此時(shí)，事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)與A包含的樣本點(diǎn)數(shù)的比值，即

在上面兩個(gè)問題中，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是條件概率因?yàn)樗?，在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率還可以通過

來計(jì)算.

一般地，設(shè)A，B為兩個(gè)隨機(jī)事件，且

，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.對條件概率的理解1.概率

P(B|A)與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系P(AB)表示在樣本空間Ω中，計(jì)算

AB發(fā)生的概率，而

P(B|A)表示在縮小的樣本空間

A中，計(jì)算B發(fā)生的概率.若用古典概率公式表示，則2.概率

P(B|A)與P(B)的區(qū)別與聯(lián)系一般地，P(B|A)與P(B)與不一定相等，如果

P(B|A)與P(B)相等，那么A與B相互獨(dú)立.事實(shí)上，若事件A與B相互獨(dú)立，即

，且

，則3.概率的乘法公式由條件概率的定義，對任意兩個(gè)事件A與B，若

，則我們稱上式為概率的乘法公式.即只要知道其中兩個(gè)值就可以求得第三個(gè)值．例1.在一個(gè)壇子中裝有10個(gè)除顏色外完全相同的玻璃球，其中有2個(gè)紅球，8個(gè)黃球．現(xiàn)從中任取一球后(不放回)，再取一球．求：(1)第一個(gè)球?yàn)榧t球的概率；(2)第一個(gè)球?yàn)榧t球的概率且第二個(gè)球?yàn)辄S球的概率；(3)在第一個(gè)球?yàn)榧t球的概率下，第二個(gè)球?yàn)辄S球的概率.解：設(shè)

A=“第一次抽到紅球”，B=“第二次抽到黃球”，則“第一次抽到紅球且第二次抽到黃球”就是積事件

AB.(1)從壇子里每次不放回地隨機(jī)抽取2球，試驗(yàn)的樣本空間

Ω包含的樣本點(diǎn)

，事件A包含的樣本點(diǎn),所以.(2)因?yàn)?/p>

，所以.(3)法一：公式法：由條件概率公式，.法二：縮小樣本空間法：.法三：直接法：由題，在第一個(gè)球取得紅球的條件下，壇子中還有8個(gè)黃球，而壇子中此時(shí)共有9個(gè)球，故再取一球?yàn)辄S球的概率為

.計(jì)算條件概率的兩種方法(1)在縮小后的樣本空間

ΩA

中計(jì)算事件

B

發(fā)生的概率，即(2)在原樣本空間

Ω

中，先計(jì)算

P(AB)，P(A)，再按公式

計(jì)算求得

P(B|A)．1．在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.求：(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.條件概率的性質(zhì)

條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)

，則(1)；(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則

；(3)設(shè)

和

B互為對立事件，則.例2.在一個(gè)袋子中裝有10個(gè)球，設(shè)有1個(gè)紅球，2個(gè)黃球，3個(gè)黑球，4個(gè)白球，從中依次摸2個(gè)球，求在第一個(gè)球是紅色的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球的概率.解：設(shè)

A=“摸出第一個(gè)球?yàn)榧t球”，B=“摸出第二個(gè)球?yàn)辄S球”，C=“摸出第二個(gè)球?yàn)楹谇颉保瑒t“在第一個(gè)球是紅球的條件下，第二個(gè)球是黃球或黑球”的概率就是條件概率.法一：直接法：先求

，在第一個(gè)球取得紅球的條件下，壇子中還有9個(gè)球，而黃球有2個(gè)，故再取一球?yàn)辄S球的概率為

，同理可得，

，所以，.法二：縮小樣本空間法：因?yàn)?/p>

，

，

，所以法三：公式法：因?yàn)?/p>

，

，

，所以

，.故.應(yīng)用條件概率的性質(zhì)解題的方法在應(yīng)用條件概率公式求概率時(shí)，如果事件包含的情況較復(fù)雜，可將其分解為幾個(gè)互斥事件的和，然后根據(jù)條件概率的性質(zhì)求解，即若

B與

C互斥，那么

P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，此公式可推廣到多個(gè)事件互斥的情況．2.有五瓶墨水，其中紅色一瓶，藍(lán)色、黑色各兩瓶，某同學(xué)從中隨機(jī)任取兩瓶，若取得的兩瓶中有一瓶是藍(lán)色，則另一瓶是紅色或黑色的概率為________．3.已知隨機(jī)事件A，B的概率

，

，條件概率

，則________．1.已知

，

，則P(AB)等于()A.

B.

C.

D.D3．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的條件下，他在周六晚上值班的概率為________．2．在一個(gè)盒子中有大小相同的10個(gè)球，其中6個(gè)紅球，4個(gè)白球，兩人無放回地各取一個(gè)球，則在第一個(gè)人摸出紅球的條件下，第二個(gè)人也摸出紅球的概率是()A.

B.

C.

D.C4.5個(gè)乒乓球，其中3個(gè)新的，2個(gè)舊的，每次取一個(gè)，不放回的取兩次，求：(1)