lecture9回歸和方差分析第九章

：：2 ysisofvariance, 3命(小時(shí)),現(xiàn)將從每種類型日光燈管中抽8個(gè)24個(gè)日光燈管進(jìn)行老化試個(gè)日光燈管的(小時(shí))，試判斷三種不同類型日光燈管的是不是有存在差異.4 529062105740500059306120608058405500598062506470599054707130666063406470758065607290 響,也使其 5)光燈管類型”即為因素.三個(gè)不同的類型,即為三個(gè)水平.6指標(biāo)的影響A有r個(gè)水平分別在i所得到的AA:N2A:N2A:N21122ss Xn1Xn2Xns7:Xij j ~N(0,2各 i1,2,,n，j1,2,,s 8 的差異,問題可歸結(jié)為比較這r個(gè)9

H0:12... 記 njj——總平均，其中njnj j j——水平Aj的效應(yīng),j12此時(shí)有n11n22... 模型為：Xijjij (0,2各 i1,2,,nj，j1,2,,s 0H0:12s

S部分A引起的差異即效應(yīng)平S A n ST

j i

X

njj1s

X

XnjX j nj

Xijj1i1

Xj：STSA

ST

XijXXij

XjXjXj1 j1

Xj

X

Xj1 j1 j1SA XijXjXjXX

XXijXjj1

s性質(zhì)2：ESns

s

n

j2ESEn2

2

Xijj1

X

E(X)

1 1

E(Xij j1s21EXij s212

nj(j)j1

nE(j1

n [j1

()2] 2 nnn2nn

2n2sn2n1s js

2E(SE)

EXij

Xjjs(nsj

jjE(S

)E(S S)

n

sjsSA與SE

~2(n

SA

~2(s1)當(dāng)H0為真時(shí)，F(xiàn)

SE (n

~F(s1,nSASA(ss-SSA AsSSEn-SSE Enn-：記TjXij j1,2,,

Tj1 nj

nj T X2nX2 j1 j1

2 n T T n

2nX

A

nj SESTSA 從使用藥物開始到痊愈所需時(shí)間，12345 34s5,n1n2n3n4n56,n nj1

2T145,T.230,T.326,T.4T.537,T..4

n

的估計(jì) (4)j的估計(jì)?

X H時(shí)，進(jìn)一步比較N(,2)和N(,2)的差異，可以作jk jk(j 因?yàn)镋

)

,D(

)211

k 且XjXk與?2 E

(XjXk)(jkSE(XjXk)(jkSE(1n1njkSE(1SE(1nj1nk

~t(n

Xkt2(n SE(1nj1nk)

得(jk)的水平j(luò) 求例中未知參數(shù)2,,(j1,2,3,4,5)的點(diǎn)估計(jì)jj

n

SE(1nj1nkSE(1nj1nk 拉式菜單中“加載宏”就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“加載宏”公司某一險(xiǎn)種在四個(gè)不同地區(qū)一年的索賠額情況記錄如表所示.試判斷在四個(gè)不同地區(qū)索賠額有無顯著的差異?析”就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“數(shù)據(jù)分析”的框. 點(diǎn)擊“確定”,出現(xiàn)“方差分析:單因素方差分析”框.F8FFr1nr值,給 域WFF(r1,nr),后根據(jù)由觀測值計(jì)算得出的F的值,判斷F的值是不是落 域內(nèi),給 或接受假在這個(gè)例子中 由觀測值計(jì)算F2.1658,所以沒有落在 域內(nèi), 因此接受假設(shè)H0, 獨(dú)立性.r個(gè)獨(dú)立總體的簡單隨機(jī)樣本

:

2

2

2 方差分析和其它統(tǒng)計(jì)推斷一樣樣本的獨(dú)立性對(duì)方差分析是非常重要的在實(shí)際應(yīng) 因此,在安排試驗(yàn)或 的,但方差分析卻依賴于正態(tài)性的假設(shè).但經(jīng)驗(yàn)可知,方差分析F. 是說,實(shí)際所得到的數(shù)據(jù),如果沒有異常值和偏性,或者說,數(shù)據(jù)顯示的分布比較對(duì)稱差的兩倍時(shí),方差分析F檢驗(yàn)結(jié)果近似正 變量與變量之間的關(guān)系當(dāng)自變量給定一個(gè)值時(shí)，就確定應(yīng)變量的值度h與下落時(shí)間t之間有函數(shù)關(guān)系：h1gt22變量之間的關(guān)系并不確定，而是表現(xiàn)為具有隨機(jī)性的一種“趨勢”。即對(duì)自變量x的同一值，在不同的觀測中，因變量Y可以取不同的值，而且取值是隨機(jī)的，但對(duì)應(yīng)x在一定范圍某戶人家打算安裝能熱水器.為了了解室外溫度與燃?xì)庀牡年P(guān)系記錄了16個(gè)月燃?xì)獾南牧?數(shù)據(jù)見下表.016440在回歸分析時(shí),我們稱“燃?xì)庀牧俊睘轫慩的變化是引起燃?xì)庀牧縔變量Y也起著影響,但這些因素是次要的.從數(shù)學(xué)形式來考慮,X的變化而引起燃?xì)庀牧縔變化的主要部分記為a+bXa,b是未知參數(shù)，另一部分是由其他隨機(jī)因素引起的記為即YabX Yabx

E()0,D()2Yiabxii,i1,2,...,

i2i)0,D(i)2ab(回歸系數(shù)2i~ii通常我們假定隨機(jī)誤差i是相互獨(dú)立的 服從正態(tài)N(0,2.顯然,i

也是相互獨(dú)立

2)

a,b的點(diǎn)估計(jì),分別記為??

稱??回歸函數(shù)(x)abx； 22nQa,bni

abxi求估計(jì)?使

?, min

ab Q (yabx) iQ (yabx)x yy? x2 xnnana(xi)byinnii(inx)ain2nixi)bixyii

xxyy, 將正規(guī)方程整理得：?x?y Sxx?Sxyaa,?,?為了給出另一個(gè)參數(shù)eiyi?i,稱ei為殘差。殘差可以看成是不可觀測的誤差i的估計(jì)。n2采用殘差平方和yi?in2

作為

n y

2s

為

n

在誤差為正態(tài)分布假定下，最小二乘估nn

yia

2

2n2

1n

yi?i11 y y a?35.9768,???9.4.1在模型的假設(shè)下 ?

Sxx

x （2）?~Na,

2 xx 因?yàn)?S S1xx i E(?) bS1xxxbS1xx2 i

in(xix) n2222?]2

Sxx

2

SxxH0H0:b0,H1:b22

SST(yiy1,y2,yn之間的總的差異大小，把SSTyiy2yi?i

y?iySSE

?i

SSR(? y)

SSTSSR可以證明，SSE~2(ni SSRy)22(xi

=222

?222

~F SSR/1SSE/n

?2 xx~F,ns2FSSSR xyfR1F SSRSSEnfEnnftn記號(hào)：y

1y,x x, xx2 n xxyy, yy2i i

H0:b0,H1:bH0為真時(shí)，即b0?2F xx~F(1,n2)s2對(duì)于給定的顯著水平F檢驗(yàn) 域?yàn)閃{FF(1,n2)}.H0為真時(shí)，即b0it Sxx ~t(ni

n s2n ，，

? s 2的無偏估計(jì)對(duì)于給定的顯著水 t檢驗(yàn) 域?yàn)閃{|t|t/2(n2)}?0.4646，Sxx

171.6，s

假設(shè)H0：b0的檢 域?yàn)閠

Sxx

t

171.614.1 ?? ~t(nsb的置信水平1?

SxxSxx

0.389, 1（續(xù))前面我們已經(jīng)分析了室外溫度與燃?xì)庀牧恐g的關(guān)系,認(rèn)為兩者具有較好的線性關(guān)系,外溫度(解釋變量)之間的回歸方程采用Excel中的“數(shù)據(jù)分析”模塊.擊下拉式菜單中“數(shù)據(jù)分析就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)“數(shù)據(jù)分析的框，點(diǎn)擊菜單中“回歸”，點(diǎn)擊“確定”,出現(xiàn)“回歸”框.變量數(shù)據(jù)的位置(注意:數(shù)據(jù)安“列”輸輸出結(jié)果,例1的輸出結(jié)果如下所示,FSignificance11

t

P

Lower95%UpperIntercept

1.729E-

方差分析中,給出了假設(shè)檢驗(yàn)H0:b=0的F檢驗(yàn).方似值得注意的是,方差分析表中``MS“列中相應(yīng)于``誤差”行的值即為模型誤碼差方差的估計(jì),即s2估計(jì),即?=1.089,對(duì)應(yīng)于X行的值為b的估計(jì) ?=0.189.``tStat"列中,對(duì)應(yīng)于``X" 驗(yàn)H0:b=0的t統(tǒng)計(jì)量的值, s查表可得 t0.025(14)2.510,因此 假設(shè)認(rèn)為``室外溫度"對(duì) 消耗量"有顯著影響“Lower95%” 和“Upper95%”中,對(duì)應(yīng)于“Intercept”行0.7911.387分別是由ta區(qū)間估計(jì)的下限和上限 對(duì)應(yīng)于“X”行所的值0.178Xx0時(shí),求相應(yīng)響應(yīng)變量平均值即Ey0 在例1中的意義是:求某個(gè)室 當(dāng)給定Xx0時(shí) 1中的意義是: 某個(gè)月的室外平均溫度為 所謂預(yù)測的精度是希望求出一個(gè)P(|y0? |)101(?0,? ?0y0?0~N(0,(11/n(x0x)

s2作為20

?獨(dú)立，0

y0?

11(x011(x0x)2nSxx11(x011(x0x)2nSxx2x1x2xn不能太集中。Ey0? ?x也是 01x0的無 1(x0x)2nSxx偏估計(jì)故?0 1(x0x)2nSxx0t12(n2)s1(續(xù))Excel的輸出結(jié)果,計(jì)算x05Ey0y0?

1.0890.18952.034；x22.3132x0x299.723； (14)2Sxx

4719.438；s例合金鋼的強(qiáng)度y與鋼材中碳的含量x有密切關(guān)系。其中x：碳含量（％）y：鋼的強(qiáng)度（kg/mm2）數(shù)據(jù)xy yi449,xi x20.1338,xy ?y,?y,?Sxy/Sxxa?35.4506,???(計(jì)算得：

y220443, Sxy2.757?SSE所以，2s

e0 e0

檢驗(yàn)假設(shè)H0b0,H1bt 0.0297667.8629,? ?036.407,x1x2xt的線性函?t1Ixy123445678?1.82s r???yxx2 y

i

,i1,2,,?10.0280.16424x x i對(duì)線性回歸模型，要診斷i

22H0:2

22

2nn常用的對(duì)誤差方差的診斷通常用的方法?

1flns2(m1)lns2c ic i其中：f (mi1)，s2(mi1)s2/fei mi1 c 01 :01

2nn12分布，2n對(duì)給定的顯著水平