高中數(shù)學(xué)選修系列2選修22《微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算》教案1

§5微積分學(xué)基本定理定積分計(jì)算（續(xù)）授課目的：嫻熟掌握微積分學(xué)基本定理及定積分的換元與分部積分法。重點(diǎn)難點(diǎn)：重點(diǎn)為微積分基本定理,難點(diǎn)為泰勒公式的積分型余項(xiàng)。授課方法：講練聯(lián)合。本節(jié)要在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必然存在原函數(shù).一變限積分與原函數(shù)的存在性設(shè)f在a,b上可積，依照定積分的性質(zhì)4，對(duì)任何xa,b，f在a,x上也可積.于xxtdt,xa,b（1）是，由fa定義了一個(gè)以積分上限為自變量的函數(shù)，稱為變上限的定積分.近似可定義變下限的定積xba,b.（2）分：xftdt,x與統(tǒng)稱為變限積分.注意，在變限積分（1）與（2）中，不可以再把積分變量x寫成xx相混雜.fxdx，免得與積分上、下限的abtdtbdt,所以下面只討論變上限變限積分所定義的函數(shù)有重視要的性質(zhì)．由于fftxx積分的狀況．定理9．9若f在a,b上可積，則由(1)式所定義的函數(shù)在a,b上連續(xù)．證對(duì)a,b上任一確定的點(diǎn)x，只需xxa,b，按定義式(1)有xxtdtxtdtxxtdt.affxfa因f在a,b上有界，可設(shè)ftM,ta,b．于是，當(dāng)x0時(shí)有xxtdtxxtdtMx;xfxf當(dāng)x0時(shí)則有Mx．由此獲得lim00,x即證得在點(diǎn)x連續(xù)．由x的隨意性，在a,b上各處連續(xù)．口定理9．10(原函數(shù)存在定理)若f在a,b上連續(xù)，則由(1)式所定義的函數(shù)在a,b上處處可導(dǎo)，且xdxftdtfx,xa,b.（3）dxa證對(duì)a,b上任一確定的x，當(dāng)x0且xxa,b時(shí)，按定義式（1）和積分第一中值定理，有1xxtdtxxfxfxx,01.由于f在點(diǎn)x連續(xù)，故有xlimxlimfxxfx.x0x0由x在a,b上的隨意性，證得是f在a,b上的一個(gè)原函數(shù)．口本定理交流了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)從表面看去似不有關(guān)的見解之間的內(nèi)在聯(lián)系；同時(shí)也證明了“連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù)”這一基本結(jié)論，并以積分形式給出了f的一個(gè)原函數(shù)．正由于定理9．10的重要作用而被譽(yù)為微積分學(xué)基本定理．其他，又因f的隨意兩個(gè)原函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)，所以當(dāng)f為連續(xù)函數(shù)時(shí)，它的任一原函數(shù)F必知足FxftdtC.xa若在此式中令xa，獲得CFaxF(x)F(a).再令xb,有，進(jìn)而有ftdtabtdtF(x)F(a).fa這是牛頓-萊布尼茨公式的又一證明.911(積分第二中值定理)設(shè)函數(shù)f在a,b上可積.定理．(ⅰ)若函數(shù)g在a,b上減,且gx0,則存在a,b,使bfxdxfxgxdxgaaa(ⅱ)若函數(shù)g在a,b上增,且gx0,則存在a,b,使bxgxdxgbbfxdxfa推論設(shè)函數(shù)f在a,b上可積,若函數(shù)g為單一函數(shù),則存在a,b,使bfxgxdxgabaafxgbfxdx積分第二中值定理以及它的推論是此后成立失態(tài)積分收斂鑒別法的工具．二換元積分法與分部積分法定理9．12(定積分換元積分法)若函數(shù)f在a,b上連續(xù)，在,上連續(xù)可微，且知足aa,bb,atb,t,，bxdxfttdt（9）則有定積分換元公式：fa證由于(9)式兩邊的被積函數(shù)都是連續(xù)函數(shù)，所以它們的原函數(shù)都存在．設(shè)F是f在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)微分法dtFttfttFdt可見Ft是ftt的一個(gè)原函數(shù)．依照牛頓一萊布尼茨公式，證得fttdtFFaFbFabxdxfa從以上證明看到，在用換元法計(jì)算定積分時(shí)，一旦獲得了用新變量表示的原函數(shù)后，不用作變量復(fù)原，而只需用新的積分限代人并求其差值就能夠了．這就是定積分換元積分法與不定積分換元積分法的差異，這一區(qū)其他原因在于不定積分所求的是被積函數(shù)的原函數(shù)，理應(yīng)保留與原來(lái)相同的自變量；而定積分的計(jì)算結(jié)果是一個(gè)確定的數(shù)，若是(9)式一邊的定積分計(jì)算出來(lái)了，那么另一邊的定積分自然也求得了.注若是在定理9．12的條件中只假設(shè)f為可積函數(shù)，但還要求是單一的，那么（9）式仍舊成立.（本節(jié)習(xí)題第14題）12例計(jì)算1.0xdx解令xsint，當(dāng)t由0變到時(shí)，x由0增到1，故取,0,.應(yīng)用公式(9)，22并注意到在第一象限中cost0，則有11x2dx21sin2tcostdt2cos2tdt000121cos2tdt1t1sin2t20224.例2計(jì)算2sintcos2tdt.0

20解逆向使用公式(9)，令xcost,dxsintdt,當(dāng)t由0變到時(shí)，x由1減到0，則2有2sintcos2tdt02dx11.xx2dx01031ln1xdx.例3計(jì)算J1x20解令xtant，當(dāng)t從0變到時(shí)，x從0增到1.于是由公式（9）及dtdx2得1x4到J4ln1tantdt4lncostsintdt00cost2cost44dtln0cost4ln2dt4lncostdt4lncostdt.0040對(duì)最末第二個(gè)定積分作變換ut，有44lncostdt0du4lncosudu,lncosu0440它與上面第三個(gè)定積分相消．故得J4ln2dt8ln2.0事實(shí)上，例3中的被積函數(shù)的原函數(shù)誠(chéng)然存在，但難以用初等函數(shù)來(lái)表示，所以無(wú)法直接使用牛頓一萊布尼茨公式．但是像上面那樣，利用定積分的性質(zhì)和換元公式(9)，消去了其中無(wú)法求出原函數(shù)的部分，最后得出這個(gè)定積分的值．換元積分法還可用來(lái)證明一些特其他積分性質(zhì)，如本節(jié)習(xí)題中的第5，6，7等題．定理9.13(定積分分部積分法)若ux,vx為a,b上的連續(xù)可微函數(shù)，則有定積分分部積分公式：bbbauxvxdxuxvxaauxvxdx.（10）證由于uv是uvuv在a,b上的一個(gè)原函數(shù)，所以有bbuxvxdxbuxvxuxvxdxuxvxdx+aaauxvxab.移項(xiàng)后即為(10)式．為方便起見，公式(10)贊同寫成buxvxbbuxdvxaaa

vxdux.（10）例4計(jì)算e2ln.xxdx1ex2lnxdx1e313ee2dx解3lnxdxxlnx1x113111x3e1e32e31.3319例5計(jì)算2sinnxdx和2cosnxdx,n1,2,.00解當(dāng)n2時(shí)，用分部積分求得Jn2sinnxdxsinn1xcosx2n12sinn2xcos2xdx000n12sinn2xdxn12sinnxdx00n1Jn2n1Jn.移項(xiàng)整理后獲得遞推公式：Jnnn1Jn2,n2.由于J2dx,J2sinxdx1,0010重復(fù)應(yīng)用遞推式(11)便得2m12m312m1!!,J2m2m2222m!!22m12J2m12m2m2212m!!.2m12m132m1!!令xt，可得202cosnxdx0cosn2tdt02sinnxdx.2所以這兩個(gè)定積分是等值的．由例5結(jié)論(12)可導(dǎo)出出名的沃利斯公式：2m!!21lim.1322m1!!2mm1事實(shí)上，由02sin2n1xdx0cosntdt02sin2m1xdx,22把(12)代人，獲得2m!!2m1!!2m2!!,2m1!!2m!!22m1!!2m!!2121由此又得Am2m!!2m1!!2m122m1!!Bm.2m2m!!211由于oBmAm0m,2m1!!2m2m12m2所以limBmAm0.而AmBmAm,故得limAm（即13式）.m2m2三泰勒公式的積分型余項(xiàng)若在a,b上ux、vx有n1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，則有abuxvn1xdx[uxvnxuxvn1xnxvx]ab1n11unabun1xvxdxn1,2,.14這是實(shí)行的分部積分公式，讀者不難用數(shù)學(xué)概括法加以證明．下面應(yīng)用公式14導(dǎo)出泰勒公式的積分型余項(xiàng).設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某鄰域Ux0內(nèi)有n1階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)．令xUx0，utxtn，vtft，tx0,x（或x,,x0）．利用(14)式得xx0xtnfn1tdt[xtnfntnxtn1fn1tn!ft]xx0xx00ftdtn!fxn![fx0fx0xx0fnx0xx0n]n!n!Rnx，其中Rnx即為泰勒公式的n階余項(xiàng)．由此求得Rnx

xx0fn1txtndt，15n!這就是泰勒公式的積分型余項(xiàng)．由于fn1t連續(xù)，n在x0,x或x,x0xt上保持同號(hào)，所以由實(shí)行的積分第一中值定理，可將15式寫作1Rnxfn!1fn1!

n1xx0xtndtn1xx0n1，其中x0xx0,01．這就是從前所熟悉的拉格朗日型余項(xiàng)．若是直接用積分第一中值定理于(15)，則得Rnx1fn1xn!

nxx0，