《線性回歸方程》教案(蘇教版必修3)

2.4線性回歸方程(1)教學(xué)目標(biāo)(1)通過收集現(xiàn)實(shí)問題中兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，并利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；(2)在兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，會(huì)在散點(diǎn)較長(zhǎng)中作出線性直線，會(huì)用線性回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；(3)知道最小二乘法的含義，知道最小二乘法的思想 ，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程，了解(線性)相關(guān)系數(shù)的定義.教學(xué)重點(diǎn)散點(diǎn)圖的畫法，回歸直線方程的求解方法.教學(xué)難點(diǎn)回歸直線方程的求解方法.教學(xué)過程一、問題情境.情境：客觀事物是相互聯(lián)系的*過去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系，但實(shí)際上更多存在的是一種非因果關(guān)系.比如說：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)，彼此是互相聯(lián)系的，但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因”，物理是“果”，或者反過來說.事實(shí)上數(shù)學(xué)和物理成績(jī)都是“果”，而真正的“因”是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度.所以說，函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系.但還存在著另一種非確定性關(guān)系一一相關(guān)關(guān)系..問題：某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系， 隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫/0c2618131041杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是50C，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?二、學(xué)生活動(dòng)溫,為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系，我們以橫坐標(biāo) x表示氣溫,縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量，建立直角坐標(biāo)系，將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個(gè)對(duì)所表示的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出， 得到下圖，今后我們稱這樣的圖為點(diǎn)圖(scatterplot).從右圖可以看出.這些點(diǎn)散布在一條直線的附近 ，故可用一個(gè)線函數(shù)近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系 ^選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系 ？我們有多種思考方案：(1)選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn) ，例如取(4,50),(18,24)這兩點(diǎn)直線；(2)取一條直線，使得位于該直線一側(cè)和另一側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相(3)多取幾組點(diǎn)，確定幾條直線方程，再分別算出各條直線斜率、截距的平均值 ，作為所求直線的斜率、截距；怎樣的直線最好呢？三、建構(gòu)數(shù)學(xué).最小平方法：用方程為？bxa的直線擬合散點(diǎn)圖中的點(diǎn)，應(yīng)使得該直線與散點(diǎn)圖中的點(diǎn)最接近。

那么，怎樣衡量直線?bxa與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度呢？我們將表中給出的自變量 x的六個(gè)值帶入直線方程，得到相應(yīng)的六個(gè)？的值：26ba,18ba,13ba,10ba,4ba,ba.這六個(gè)值與表中相應(yīng)的實(shí)際值應(yīng)該越接近越好.所以，我們用類似于估計(jì)平均數(shù)時(shí)的思想 ，考慮離差的平方和TOC\o"1-5"\h\z2 _2 _2 2\o"CurrentDocument"Q(a,b)(26ba20)2(18ba24)2(13ba34)2(10ba38)22 2\o"CurrentDocument"(4ba50)2(ba64)22 _21286b26a2140ab3820b460a10172Q(a,b)是直線？bxa與各散點(diǎn)在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和，可以用來衡量直線y?bxa與圖中六個(gè)點(diǎn)的接近程度，所以，設(shè)法取a,b的值，使Q(a,b)達(dá)到最小值.這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法).先把a(bǔ)看作常數(shù)，那么Q是關(guān)于b的二次函數(shù).易知，當(dāng)b140a3820時(shí)，Q取得21286最小值.同理，把b看作常數(shù)，那么Q是關(guān)于a的二次函數(shù).當(dāng)a140b460時(shí)，Q取得12b140a3820最小值.因此，當(dāng)b21286時(shí),Q取的最小值，由此解得b1.6477,a57.5568.140b460

a 12所求直線方程為? 1.6477x57.5568.當(dāng)x5時(shí)，？66,故當(dāng)氣溫為50C時(shí)，熱茶銷量約為66杯..線性相關(guān)關(guān)系：像能用直線方程?bxa近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系..線性回歸方程：般地，設(shè)有n個(gè)觀察數(shù)據(jù)如下:xx1*2*3…xnyy1y2y3…yn2 2 2 當(dāng)a,b使Q(y1bx〔a)(ybx?a)...(ynbxna)取得最小值時(shí)，就稱?bxa為擬合這n對(duì)數(shù)據(jù)的線性回D3方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線上述式子展開后,的a,b的值.即上述式子展開后,的a,b的值.即是一個(gè)關(guān)于a,b的二次多項(xiàng)式,應(yīng)用配方法，可求出使Q為最小值時(shí)1

y-yini1TOC\o"1-5"\h\znxy(x)( y。 _ 1

y-yini1b——一，(*)x-xinx2(x)2 ni11 i1aybx四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1.例題：例1.下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料，請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程；如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，說明理由.機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x/千臺(tái)95110112120129135[150180交通事故數(shù)y/千件6.27.57.78.58.79.810.213解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系.計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和：

Xi1031, yi71.6, Xi 137835, xyi9611.7,i1 i1 i1 i1將它們代入()式計(jì)算得b0.0774,a1.0241,所以，所求線性回歸方程為 $0.0774X1.0241..練習(xí)：(1)第75頁(yè)練習(xí)1、2B.正方形邊長(zhǎng)和面積D.人的年齡和身高.B.正方形邊長(zhǎng)和面積D.人的年齡和身高.A.角度和它的余弦值C.正n邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和故可得到87175730399.370007a399.34.75故可得到87175730399.370007a399.34.752302302574.75,(3)給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù):施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y3301345365405P4454504551(1)畫出上表的散點(diǎn)圖；(2)求出回歸直線并且畫出圖形解：(1)散點(diǎn)圖(略).(2)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行具體計(jì)算，列成以下表格i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi495069009125121501557518000204757 7 7- — 2 2 . x 30,y 399.3,x2 7000,y2 1132725, 為丫1 87175i1 i1 i1從而得回歸直線方程是y4.75x257.(圖形略)五、回顧小結(jié)：1.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)， 應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式，算出a,b.由于計(jì)算量較大，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段，認(rèn)真細(xì)致，謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤.求線性回歸方程的步驟： 計(jì)算平均數(shù)X,y;計(jì)算xi與yi的積，求 xiyi；2 _ _ .計(jì)算為；將結(jié)果代入公式求a；用byax求b；寫出回歸方程*六、課外作業(yè)：課本第75頁(yè)習(xí)題2.4第1、2、3題.2.4線性回歸方程(2)教學(xué)目標(biāo)(1)了解非確定性關(guān)系中兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)方法；(2)掌握散點(diǎn)圖的畫法及在統(tǒng)計(jì)中的作用；(3)掌握回歸直線方程的求解方法.教學(xué)重點(diǎn)線性回歸方程的求解.教學(xué)難點(diǎn)回歸直線方程在現(xiàn)實(shí)生活與生產(chǎn)中的應(yīng)用.教學(xué)過程

、復(fù)習(xí)練習(xí)1.三點(diǎn)3,10,(7,20),(11,24)的線性回歸方程是 (D)A?5.751.75xB?1.755.75xC?1.755.75xD?5.751.75x2.我們考慮兩個(gè)表示變量x與y之間的關(guān)系的模型，為誤差項(xiàng)，模型如下：模型1：y64x；模型2：y64xe.(1)如果x3,e1,分別求兩個(gè)模型中y的值;(2)分別說明以上兩個(gè)模型是確定性模型還是隨機(jī)模型.解：(1)模型1：y64x64318；模型2：y64xe643119(2)模型1中相同的x值一定得到相同的y值，所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因的不同，所得y值不一定相同，且 為誤差項(xiàng)是隨機(jī)的，所以模型2是隨機(jī)性模型.二、數(shù)學(xué)運(yùn)用1.例題：例1.一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間.為此進(jìn)行了 10次試驗(yàn)，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y(分)626875818995102108115122請(qǐng)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果 y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求線性回歸方程.解：在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系.由測(cè)得的數(shù)據(jù)表可知:_ _ 10一 —一?r _ _ 10一 —一?r 2x55,y91.7, xi110xiYi10xyi1 -10 金2 2x10xi1aYbx91.7$bxa0.668x10 10 2 38500, Yi87777, xiyi55950i1 i155950 10 5591.7 …0 2— 0.6683850010550.668 55 54.96 ,因此，所求線性回歸方程為54.96例2.已知10只狗的血球體積及紅血球數(shù)的測(cè)量值如下:x45424648423558403950y6.536.309.5217.50「6.995.909.496.206.598.72：x(血球體積，ml),y(紅血球數(shù)，百萬)(1)畫出上表的散點(diǎn)圖；(2)求出回歸直線度且畫出圖形.解：(1)圖略，一一1 - -(2)x—(45424648423558403950)44.5010

TOC\o"1-5"\h\z- 1y(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)=7.371010 Xiyii0xy _ _設(shè)回歸直線方程為ybxa,則b4 0.175,aybx=0.4182 2Xi10X1所以所求回歸直線的方程為 y0.175x0.148圖形：(略)點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖，看其是否呈直線形，再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式，算出a,b.由于計(jì)算量較大，所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段， 認(rèn)真細(xì)致,謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤，求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù) x,y；計(jì)算xi與yi的積，求2xiyi;計(jì)算 xi;將結(jié)果代入公式求b;用aybx求a；寫出回歸直線方程.例3.以下是收集到的新房屋銷售價(jià)格 y與房屋的大小x的數(shù)據(jù):房屋大小x(m)80105110115135銷售價(jià)格y(力兀)18.42221.624.829.2(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)用最小二乘法估計(jì)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；(3)計(jì)算此時(shí)Q(a,b)和Q(2,0.2)的值，并作比較.解：(1)散點(diǎn)圖(略) 5b一5 廣0.1962,a23.20.19621091.8166所以，繚西0952程545y0.1962x1.8166.(2)b一5 廣0.1962,a23.20.19621091.8166所以，繚西0952程545y0.1962x1.8166.Q(1.8166,0.1962) 5.171,Q(2,0.2) 7.0,由此可知，求得的a1.8166,b0.9162是函數(shù)Q(a,b)取最小值的a,b值.五、回顧小結(jié)：1.求線性回歸