《線性回歸方程》教案(蘇教版必修3)

2.4線性回歸方程(1)教學目標(1)通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系；(2)在兩個變量具有線性相關關系時，會在散點較長中作出線性直線，會用線性回歸方程進行預測；(3)知道最小二乘法的含義，知道最小二乘法的思想 ，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程，了解(線性)相關系數的定義.教學重點散點圖的畫法，回歸直線方程的求解方法.教學難點回歸直線方程的求解方法.教學過程一、問題情境.情境：客觀事物是相互聯系的*過去研究的大多數是因果關系，但實際上更多存在的是一種非因果關系.比如說：某某同學的數學成績與物理成績，彼此是互相聯系的，但不能認為數學是“因”，物理是“果”，或者反過來說.事實上數學和物理成績都是“果”，而真正的“因”是學生的理科學習能力和努力程度.所以說，函數關系存在著一種確定性關系.但還存在著另一種非確定性關系一一相關關系..問題：某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關系， 隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數與當天氣溫的對照表：氣溫/0c2618131041杯數202434385064如果某天的氣溫是50C，你能根據這些數據預測這天小賣部賣出熱茶的杯數嗎?二、學生活動溫,為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關系，我們以橫坐標 x表示氣溫,縱坐標y表示熱茶銷量，建立直角坐標系，將表中數據構成的6個對所表示的點在坐標系內標出， 得到下圖，今后我們稱這樣的圖為點圖(scatterplot).從右圖可以看出.這些點散布在一條直線的附近 ，故可用一個線函數近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關系 ^選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關系 ？我們有多種思考方案：(1)選擇能反映直線變化的兩個點 ，例如取(4,50),(18,24)這兩點直線；(2)取一條直線，使得位于該直線一側和另一側的點的個數基本相(3)多取幾組點，確定幾條直線方程，再分別算出各條直線斜率、截距的平均值 ，作為所求直線的斜率、截距；怎樣的直線最好呢？三、建構數學.最小平方法：用方程為？bxa的直線擬合散點圖中的點，應使得該直線與散點圖中的點最接近。

那么，怎樣衡量直線?bxa與圖中六個點的接近程度呢？我們將表中給出的自變量 x的六個值帶入直線方程，得到相應的六個？的值：26ba,18ba,13ba,10ba,4ba,ba.這六個值與表中相應的實際值應該越接近越好.所以，我們用類似于估計平均數時的思想 ，考慮離差的平方和TOC\o"1-5"\h\z2 _2 _2 2\o"CurrentDocument"Q(a,b)(26ba20)2(18ba24)2(13ba34)2(10ba38)22 2\o"CurrentDocument"(4ba50)2(ba64)22 _21286b26a2140ab3820b460a10172Q(a,b)是直線？bxa與各散點在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和，可以用來衡量直線y?bxa與圖中六個點的接近程度，所以，設法取a,b的值，使Q(a,b)達到最小值.這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法).先把a看作常數，那么Q是關于b的二次函數.易知，當b140a3820時，Q取得21286最小值.同理，把b看作常數，那么Q是關于a的二次函數.當a140b460時，Q取得12b140a3820最小值.因此，當b21286時,Q取的最小值，由此解得b1.6477,a57.5568.140b460

a 12所求直線方程為? 1.6477x57.5568.當x5時，？66,故當氣溫為50C時，熱茶銷量約為66杯..線性相關關系：像能用直線方程?bxa近似表示的相關關系叫做線性相關關系..線性回歸方程：般地，設有n個觀察數據如下:xx1*2*3…xnyy1y2y3…yn2 2 2 當a,b使Q(y1bx〔a)(ybx?a)...(ynbxna)取得最小值時，就稱?bxa為擬合這n對數據的線性回D3方程，該方程所表示的直線稱為回歸直線上述式子展開后,的a,b的值.即上述式子展開后,的a,b的值.即是一個關于a,b的二次多項式,應用配方法，可求出使Q為最小值時1

y-yini1TOC\o"1-5"\h\znxy(x)( y。 _ 1

y-yini1b——一，(*)x-xinx2(x)2 ni11 i1aybx四、數學運用1.例題：例1.下表為某地近幾年機動車輛數與交通事故數的統(tǒng)計資料，請判斷機動車輛數與交通事故數之間是否有線性相關關系，如果具有線性相關關系，求出線性回歸方程；如果不具有線性相關關系，說明理由.機動車輛數x/千臺95110112120129135[150180交通事故數y/千件6.27.57.78.58.79.810.213解：在直角坐標系中畫出數據的散點圖，直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關關系.計算相應的數據之和：

Xi1031, yi71.6, Xi 137835, xyi9611.7,i1 i1 i1 i1將它們代入()式計算得b0.0774,a1.0241,所以，所求線性回歸方程為 $0.0774X1.0241..練習：(1)第75頁練習1、2B.正方形邊長和面積D.人的年齡和身高.B.正方形邊長和面積D.人的年齡和身高.A.角度和它的余弦值C.正n邊形的邊數和它的內角和故可得到87175730399.370007a399.34.75故可得到87175730399.370007a399.34.752302302574.75,(3)給出施化肥量對水稻產量影響的試驗數據:施化肥量x15202530354045水稻產量y3301345365405P4454504551(1)畫出上表的散點圖；(2)求出回歸直線并且畫出圖形解：(1)散點圖(略).(2)表中的數據進行具體計算，列成以下表格i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi495069009125121501557518000204757 7 7- — 2 2 . x 30,y 399.3,x2 7000,y2 1132725, 為丫1 87175i1 i1 i1從而得回歸直線方程是y4.75x257.(圖形略)五、回顧小結：1.對一組數據進行線性回歸分析時， 應先畫出其散點圖，看其是否呈直線形，再依系數a,b的計算公式，算出a,b.由于計算量較大，所以在計算時應借助技術手段，認真細致，謹防計算中產生錯誤.求線性回歸方程的步驟： 計算平均數X,y;計算xi與yi的積，求 xiyi；2 _ _ .計算為；將結果代入公式求a；用byax求b；寫出回歸方程*六、課外作業(yè)：課本第75頁習題2.4第1、2、3題.2.4線性回歸方程(2)教學目標(1)了解非確定性關系中兩個變量的統(tǒng)計方法；(2)掌握散點圖的畫法及在統(tǒng)計中的作用；(3)掌握回歸直線方程的求解方法.教學重點線性回歸方程的求解.教學難點回歸直線方程在現實生活與生產中的應用.教學過程

、復習練習1.三點3,10,(7,20),(11,24)的線性回歸方程是 (D)A?5.751.75xB?1.755.75xC?1.755.75xD?5.751.75x2.我們考慮兩個表示變量x與y之間的關系的模型，為誤差項，模型如下：模型1：y64x；模型2：y64xe.(1)如果x3,e1,分別求兩個模型中y的值;(2)分別說明以上兩個模型是確定性模型還是隨機模型.解：(1)模型1：y64x64318；模型2：y64xe643119(2)模型1中相同的x值一定得到相同的y值，所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因的不同，所得y值不一定相同，且 為誤差項是隨機的，所以模型2是隨機性模型.二、數學運用1.例題：例1.一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間.為此進行了 10次試驗，測得數據如下：零件個數x(個)102030405060708090100加工時間y(分)626875818995102108115122請判斷y與x是否具有線性相關關系，如果 y與x具有線性相關關系，求線性回歸方程.解：在直角坐標系中畫出數據的散點圖，直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關關系.由測得的數據表可知:_ _ 10一 —一?r _ _ 10一 —一?r 2x55,y91.7, xi110xiYi10xyi1 -10 金2 2x10xi1aYbx91.7$bxa0.668x10 10 2 38500, Yi87777, xiyi55950i1 i155950 10 5591.7 …0 2— 0.6683850010550.668 55 54.96 ,因此，所求線性回歸方程為54.96例2.已知10只狗的血球體積及紅血球數的測量值如下:x45424648423558403950y6.536.309.5217.50「6.995.909.496.206.598.72：x(血球體積，ml),y(紅血球數，百萬)(1)畫出上表的散點圖；(2)求出回歸直線度且畫出圖形.解：(1)圖略，一一1 - -(2)x—(45424648423558403950)44.5010

TOC\o"1-5"\h\z- 1y(6.536.309.527.506.995.909.496.206.558.72)=7.371010 Xiyii0xy _ _設回歸直線方程為ybxa,則b4 0.175,aybx=0.4182 2Xi10X1所以所求回歸直線的方程為 y0.175x0.148圖形：(略)點評：對一組數據進行線性回歸分析時，應先畫出其散點圖，看其是否呈直線形，再依系數a,b的計算公式，算出a,b.由于計算量較大，所以在計算時應借助技術手段， 認真細致,謹防計算中產生錯誤，求線性回歸方程的步驟：計算平均數 x,y；計算xi與yi的積，求2xiyi;計算 xi;將結果代入公式求b;用aybx求a；寫出回歸直線方程.例3.以下是收集到的新房屋銷售價格 y與房屋的大小x的數據:房屋大小x(m)80105110115135銷售價格y(力兀)18.42221.624.829.2(1)畫出數據的散點圖；(2)用最小二乘法估計求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線；(3)計算此時Q(a,b)和Q(2,0.2)的值，并作比較.解：(1)散點圖(略) 5b一5 廣0.1962,a23.20.19621091.8166所以，繚西0952程545y0.1962x1.8166.(2)b一5 廣0.1962,a23.20.19621091.8166所以，繚西0952程545y0.1962x1.8166.Q(1.8166,0.1962) 5.171,Q(2,0.2) 7.0,由此可知，求得的a1.8166,b0.9162是函數Q(a,b)取最小值的a,b值.五、回顧小結：1.求線性回歸