第4章 材料力學(xué)

第四章彎曲內(nèi)力§4.1彎曲的概念和實(shí)例§4.2受彎桿件的簡(jiǎn)化§4.3剪力和彎矩§4.4剪力方程和彎矩方向，剪力圖和彎矩圖§4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系§4.6靜定剛度及平面曲桿的彎曲內(nèi)力§4.1彎曲的概念和實(shí)例1.實(shí)例'G）橋式起重機(jī)大梁＜（2）火車輪軸＜（3）鏜刀刀桿 『（4）軋板機(jī)的軋輥 彎曲變形作用于桿件上的垂直于桿件的軸線，使原為直線的軸線變形后成為曲線，這種變形稱為彎曲變形。梁一一凡以彎曲變形為主的桿件，習(xí)慣上稱為梁對(duì)稱彎曲：'G）橫截面有一根對(duì)稱軸（2屋個(gè)桿件有一個(gè)包含對(duì)稱軸的縱向?qū)ΨQ面＜G浙有外力都作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)（4）彎曲變形后軸線成為縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的一條平面曲線

§4.2受彎桿件的簡(jiǎn)化根據(jù)支座及載荷簡(jiǎn)化，最后可以得出梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖。計(jì)算簡(jiǎn)圖以梁的軸線和支承來(lái)表示梁。由）簡(jiǎn)支梁梁的基本形式:{（梁的基本形式:{G）懸臂梁i稱為梁的跨度§4.3剪力和彎矩（1）求反力:EM=0 FEMa=0 FB（2）求內(nèi)力（截面法）般來(lái)說(shuō)截面上有剪力FS和彎矩M(為平衡)EF=0 Fa-七-F=0(a)(b)Fs=Fa-七EM0=Fs=Fa-七EM0=0 M+F](x-a)—七-x=0M=Fx-F(x-a)一般說(shuō)，在梁的截面上都有剪力FS和彎矩M,從式（a）式（b）可以看出，在數(shù)值上，剪力FS等于截面以左所有外力在梁軸線的垂線（y軸）上投影的代數(shù)和；彎矩M等于截面以左所有外力對(duì)截面形心取力矩的代數(shù)和，即：*FiT左＞M=1LMi

i=1 左J同理，取截面右側(cè)部分為研究對(duì)象：Tf|I

1=1 右.M=1LMi1=1右（4）剪力FS和彎矩M符號(hào)規(guī)定無(wú)論取左側(cè)，或者取右側(cè)，所得同一截面上的剪力FS和彎矩M，不但數(shù)值相同，而且符號(hào)也一致，符號(hào)規(guī)定如左圖示。Examplel試求圖示梁D截面的FS、MSolution：求反力￡M=0F-3a-(q-2a)?a=0F=2qaA—￡M=0F-3a-(q-2a)?(2a)=0F=4qaB3（2）求剪力和彎矩（設(shè)正法）將截面上的剪力FS和彎距M，按符號(hào)規(guī)定設(shè)為正的方向。

￡F=0 FA-qa-F^=02qa qaF=F-qa=—^-qa=-—3-（負(fù)號(hào)說(shuō)明剪力FS所設(shè)方向與實(shí)際方向相反，截面上產(chǎn)生負(fù)剪力）?！闙°=0 M-Fa-2a+qa-2=0Mf2 2qa24qa2qa25qa2=a?a— —乙 6-（正號(hào)說(shuō)所設(shè)方向與實(shí)際方向一致，截面上產(chǎn)生正彎矩）。Exemple2試求圖示梁1-1，2-2截面上的剪力和彎矩Solution：①求反力:￡Mb=Solution：①求反力:￡Mb=0②求剪力和彎矩￡F=0M—F-a=0FbaM=F-a=—j—2-2截面￡F=0F-F-F￡F=0F=F-F=Fb-F=-FaS2A l l（負(fù)號(hào)說(shuō)明剪力方向與實(shí)際方向相反，在截面上剪力為負(fù)值）FbaM=F-a=—j—Example3試求圖示梁1-1、2-2截面上的剪力和彎矩Solution①求反力:EM①求反力:EM=0F-1-M=0MeFA￡M=0FB-￡M=0FB-1+M（負(fù)號(hào)說(shuō)明，所設(shè)反力方向與實(shí)際方向相反）②求剪力和彎矩1-1截面：設(shè)FS1，M1EF=0 F—F=0yA S1Mfs1=fa=7EM=0F-a-M=0，:廠 1MeM=Fa=-^-a2-2截面：設(shè)fs2,m2（設(shè)正法）EF=0F+F=0MF=-F=es2 B1EM=0M-F-b=0MeM2=F-b=-~j-b（所設(shè)方向與實(shí)際方向相反，為負(fù)彎矩）Example4試求梁1-1、2-2截面上的剪力和彎矩Solution:根據(jù)前面剪力和彎矩的求代數(shù)和的規(guī)則來(lái)求剪力和彎矩。

F2qaS2a qa2Mqaaqa_qa2 22 21截面:2截面:FS2qaqa2qa1截面:2截面:FS2qaqa2qaaqa2qa2MMqa—qa22e222Example5SolutionMe二時(shí)qF*七 2c17 o 「J a 1— 1試求梁1-1、2-2截面上的剪力和彎矩（取右側(cè)）1截面:2截面:FFqaqaqa2qaS1Ma3qaaqa——qa2122§4.4剪力方程和彎矩方向，剪力圖和彎矩圖1.-般情況下，梁橫截面上的剪力和彎矩隨截面位置不同而變化,

TOC\o"1-5"\h\z剪力和彎矩為截面位置坐標(biāo)X的函數(shù)。 fFS=FS,. "左上I正剪力由M=M\x)| +上面函數(shù)表達(dá)式稱為剪力方程和彎矩方程，根"左下I負(fù)剪力一據(jù)剪力方程和彎矩方程，可以描出剪力和彎矩隨截 A面位置變化規(guī)律的圖線稱為剪力圖和彎矩圖。 "左上D正彎距田2.列剪力方程和彎矩方程規(guī)則 ,——i——、 .{左下》負(fù)彎距9〕Fs=M1| 、片，M=3m[| 1左順D正彎距$i=1左」 ■截面左側(cè)向上的外力都在剪力代數(shù)和式 q'e中取正號(hào)，向下的外力都取負(fù)號(hào)。(左上取正，右u左逆|)負(fù)彎距一下為負(fù)) 匚截面左側(cè)向上的外力對(duì)截面形心產(chǎn)生的力矩都在彎矩代數(shù)和式中取正號(hào)。向下的外力對(duì)截面形心所在產(chǎn)生的力矩都在和式中取負(fù)號(hào)。截面左側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)的外力偶矩，在力矩總和式中取正號(hào)，負(fù)之取負(fù)號(hào)(順正、逆負(fù))。刈I‘-1右.M=1LM.i，=1右截面右側(cè)梁上向下的外力在剪力代數(shù)和式中取正號(hào)，向上的外力取負(fù)號(hào)。截面左側(cè)梁上向上的外力在彎矩代數(shù)和式中取正號(hào)，向下的外力之力矩取負(fù)號(hào)。?壬正彎距截面右側(cè)梁上逆時(shí)針外力偶矩在彎矩代數(shù)和式中取正號(hào)，順取負(fù)號(hào)。

?壬正彎距Examplel試作梁的梁剪力圖和彎矩圖Solution①求反力qlFSolution①求反力qlRA2F-qiRB2②列方程F②列方程Fs(x)-FA-qx——-qx(\ xqlM(x)—Fx一qx-———x一③繪圖F(x)^x的一次函數(shù)斜直線當(dāng)x=o時(shí)， f(x)-q當(dāng)x=l時(shí)，F(xiàn)(當(dāng)x=l時(shí)，M（x）為x的二次函數(shù)，是一拋物線，定數(shù)點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)，M(當(dāng)x=0時(shí)，M(x)=0當(dāng)x-L時(shí)，4M(x)-9ql232當(dāng)x-L時(shí)，2M(x)-竺8當(dāng)x-3-時(shí)，4M(x)-2ql232當(dāng)x=l時(shí)，M(x)=0④^Smax'g,ql2M-_max 8M圖Solution：

可以求反力，也可以不求反力列方程Fs(x)=F (0<x<l)M(x)=-F(l-x) (0<xWl)繪圖Fs(x)為常數(shù)，為水平線當(dāng)x=0時(shí)當(dāng)x=l時(shí)定二點(diǎn)當(dāng)x=0時(shí)當(dāng)x=l時(shí)定二點(diǎn)M(x)=-FlM(x)=0④FSmax=F|M| =FlExample3齒輪軸計(jì)算簡(jiǎn)圖，作Fs、M圖Solution求反力? 八 ，，八 Fb￡Mb=0 Fa-1-Fb=0 Fa=-j-一一 一一 FaYM=0 FBI-Fa=0 Fb=-^列Fs、M方程，集中力F作用，分段列方程(AC)Fs1G1)=FA=岑 (0<x1<a)(0<x2<l)M1G1)=Fr-x1=牛x1(0Wx1Wa)(CB)Fs2(x2)=Fa-F=(0<x2<l)M(x)=Fx-F(x-a)=^~x-F(x-a)(°WxWl)2 2A2 2 l2 2 2繪圖(AC)F(x)=牛常數(shù)為水平線

M1(氣)為氣的一次函數(shù)，斜直線，定二點(diǎn)當(dāng)x1=0時(shí)，M1(x1)=0, ■ 、Fha當(dāng)x1=a時(shí)，M1(x1)=i(CB)F(x)=-早為水平Fha

~TM(代)為x的一次函數(shù)，斜直線，定=點(diǎn)當(dāng)x2=a時(shí)，M2(x2)當(dāng)x2=l時(shí)，M2(x2)=0Fha

~TF| =竺(若a>h)^④ smaxlpahM =_—maxlExample4試作FS、M圖Solution求反力￡Mb=0 Fa-1+M=0 Fa=*￡M=0Fl—M=0F=廣列方程，分段列方程(AC)FS1G1)=Fa=—M (0<x1Wa)M(x)=F-x=M^x(0Wx<a)1 1A1l1 1(CB)Fs2(x2)=Fa=—M (aWx2<l(CB)M(x)=Fx+M=—M^x+M(a<xWl)2 2A2e l2e 2③繪圖F1c｝常數(shù)、水平線S2 2J(X1)為X一次函數(shù)，斜直線當(dāng)x1=0時(shí)，M1(X1)=0當(dāng)x=a時(shí)，M(x)=-竺a1 1 1lX2=a時(shí)，M2(X2)=(x2)為XX2=a時(shí)，M2(X2)=l當(dāng)X當(dāng)X2=l時(shí)，M2(%)=0§4.5載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系引言分段列方程十分麻煩。q(x)、Fs(x)、M(x)之間存在普遍的導(dǎo)數(shù)關(guān)系。利用《導(dǎo)數(shù)關(guān)系》直接由載荷判定Fs、M圖形，繪制Fs、M圖。檢驗(yàn)Fs、M圖正確與否很方便。2.證明q(x)、Fs(x)、M(x)間的關(guān)系=qG) ]dxM^Ed2M(x)_dF$(x)_J)dx2 dx^,證:取坐標(biāo)系如圖，x以向右為正。取微段(微段上不能受集中力與集中力偶，只受分布載荷)。微段上的載荷集度q(x)視為均布，且規(guī)定q(x)f為正Q，q(x)I為負(fù)°。(4)微段兩側(cè)橫截面上的Fs(x)，M(x)均設(shè)為正方向。

（5）討論微段平衡￡F=0￡M=0略去高階微量F(x)-F(x)+dF(xU+q（5）討論微段平衡￡F=0￡M=0略去高階微量S S S些-q(x)dxM(x)-Im(x)+dM(x)]+F(x)dx+q(x)dxSq圖Fs圖M圖q=0（一段）水平線（一段）斜直線（或水平線）q<0!水平線斜直線二次拋物線 上凸q>01水平線斜直線二次拋物線 下凸!q=q(x)斜直線二次拋物線三次拋物線FS=0(一段)水平線FS=0（一點(diǎn)）有極值集中力作用截面突變集中力偶作用截面突變噤=FS(x)d2M(x)dF(x)_()dx qdx23.利用導(dǎo)數(shù)關(guān)系繪制F、M圖或者檢驗(yàn)s4.作F、M圖程序procedure「⑴一判：判斷Fs、M圖線形狀j⑵二算：算出控制截面Fs、一⑶三連線5.Example試用導(dǎo)數(shù)關(guān)系作圖示外伸梁的Fs、M圖Solution求反力FA=3kNFB=7kNM數(shù)值￡2KN/jL_^M1OKN.mF=2KNFrEFsaKNferTTrrn^_in啊M數(shù)值￡2KN/jL_^M1OKN.mF=2KNFrEFsaKNferTTrrn^_in啊iiii雷7KN確定E截面位置3-qx=0x=—=1.5m2Me=3x1.5-2x1.5x號(hào)=2.25kN-mMC右=3x4-2x4x2=-4kN-m§4.6靜定剛度及平面曲桿的彎曲內(nèi)力1.靜定剛架（1） 舉例：某些機(jī)器的機(jī)身或者機(jī)架的軸線是由幾段直線組成的折線，如液壓機(jī)機(jī)身、鉆床確床架、軋鋼機(jī)機(jī)架等。（2） 剛節(jié)點(diǎn)：為上述的機(jī)架的每?jī)刹糠衷谶B接處夾角不變，即兩部分在連接處不能有相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣連接稱為剛節(jié)點(diǎn)。（3） 剛架：各部分由剛節(jié)點(diǎn)連接的框架結(jié)構(gòu)稱為剛架。（4） 靜定剛架：外力和內(nèi)力均可由平衡方程確定的剛架稱為靜定剛架。（5） 超靜定剛架：外力或內(nèi)力不能由靜力平衡方程全部確定下來(lái)的剛架，稱為超靜定剛架。（6） 剛架的內(nèi)力一般有軸力％、剪力FS和彎矩M。（7） 靜定剛架彎矩圖的繪制。彎矩圖約定畫(huà)在桿件受壓一側(cè)，即受壓彎曲后的凹側(cè)。受壓受拉直接制定。Example1鉆床床架計(jì)算簡(jiǎn)圖，試作M圖Solution求反力列方程

(AC)M1(x1)=Fx1 (0^x1^a)(CB)M2(x2)=Fa (0Wx2W2a)作圖Example2試作圖示剛架的彎矩圖Solution①求反力￡Ma=0 F?2a-Fa=0FF￡Fx=0FF￡Fx=0F-Fa=0￡F=0FAx”F+F=0yA^ CyFF =—F =——Ay cy 2Cy2平面曲桿（平面曲梁）（1） 平面曲桿：某些構(gòu)件為活塞環(huán)、鏈環(huán)、拱等一般桿件都有一個(gè)縱對(duì)稱面，其軸線為一平面曲線稱為平面曲桿。（2） 平面彎曲：當(dāng)載荷作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時(shí)，曲桿將發(fā)生彎曲變形。（3） 內(nèi)力一般有彎矩M,軸力Fn，剪力FS（4） 內(nèi)力符號(hào)的規(guī)定軸力fn拉為正、壓為負(fù)。對(duì)考慮的一段曲桿內(nèi)任一點(diǎn)，F(xiàn)S產(chǎn)生順時(shí)針力矩為正、反之FS為負(fù)。

彎矩