相似三角形知識點及典型例題

可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！相似三角形知識點及典型例題知識點歸納：1、三角形相似的判定方法(1)定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。(2)平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似。(3)判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似。(4)判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。(5)判定定理3：如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似。(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各種判定均適用。②如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。③直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似。#直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。TOC\o"1-5"\h\z每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 弁、如圖，Rt^ABC中，NBAC=90°,AD是斜邊BC上的高， / \則有射影定理如下： ” ：(1)(AD)2:BD?DC, (2)(AB)2:BD?BC,(3)(AC)2=CD?BC。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。即(AB)2+(AC)2=(BC)2。典型例題：例1如圖，已知等腰^ABC中，AB=AC,ADLBC于D,CGllAB,BG分別交AD,AC于E、F,求證：BE2=EF-EG證明：如圖，連結EC,VAB=AC,AD±BC,ZABC=ZACB,AD垂直平分BCTOC\o"1-5"\h\z.*.BE=EC,Z1=Z2,.*.ZABC-Z1=ZACB-Z2, /\ /即N3=N4,又CG〃AB,.*.ZG=Z3,.*.Z4=ZG I又.../CEG=NCEF,...△CEFs^GEC,??.￡G二 BDC.,.EO=EG?EF,故EB2=EF?EG【解題技巧點撥】 ￡<CA/本題必須綜合運用等腰三角形的三線合一的性質，線段的垂直平分線的任頌利和似二用形的基本圖形來得到證明.而其中利用線段的垂直平分線的性質得到BE二EC,把原來處在同一條直線上的三條線段BE,EF,EC轉換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關鍵。FBFD例2已知：如圖，AD是Rt^ABC斜BC上的高，E是AC的中點，ED與AB的延長線相交于F,求證：BA=AC證法一：如圖，在Rt^ABC中，?.?/BAC=RtN,AD±BC,??.N3=NC,又E是Rt^ADC的斜邊AC上的中點，1 A.??ED=2AC=EC,.'.N2=NC,又N1=N2,??.N1=N3, 產%"FBBD JrO.\ZDFB=ZAFD,AADFB^AAFD,AFD=AD(1) 口FBDBA又40是Rt^ABC的斜邊BC上的高，.?.Rt^ABDsRt^CAD,...AD=AC(2)FBBAFBFD由(1)(2)兩式得FD=AC,故BA=ACFBFD證法二：過點A作AG〃EF交CB延長線于點G,則BA=AG (1)?「E是AC的中點，ED〃AC,.D是GC的中點，又AD，GC,，AD是線段GC的垂直平分線，，AG=AC(2)FBFD由(1)(2)兩式得：BA=AC，證畢。【解題技巧點撥】BD本題證法中，通過連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應的比例式，然后通過中間比“AD”過渡，使問題得證，證法二中是運用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質使問題得證.一、如何證明三角形相似可復制、編制,期待你的好評與關注！可復制、編制,期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！例2、已知△ABC中，AB=AC,ZA=36°,BD是角平分線，求證：△ABCs^BCD例3：已知，如圖，D為^ABC內一點連結ED、AD,以BC為邊々4ABC外作ZCBE=ZABD,ZBCE=ZBAD求證：△DBEs^ABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB,E、F,是BC邊的三等分點，連結AE、AF、AC,請證明你的結論。ARA-Mb^GcB C;問圖中是否存在非全等的相似三角形？y^D例1、如圖：點G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點E、F,則4460。。B二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式例5、4ABC中，在AC上截取AD,在CB延長線上截取BE,使AD=BE,求證：例6：已知：如圖，在^ABC中，NBAC=90。，M是BC的中點，DMLBC于點E,AE2ME求證：(1)MA2:MD?ME；(2) =——AD2MD例7：如圖4ABC中，ADg線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。E F CDF?AC=BC?FEAE.一一DB K C交BA的延長線于點D。B M C求證：AE：ED=2AF：FB。,4例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且EBAFABAD13。求證:NAEF:NFBD例9、在平行四邊形ABCD內，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線，求證：SQ〃AB,RP〃BC例10、已知人、例10、已知人、C、E和B、F、D分別是NO的兩邊上的點，且AB〃ED,BC〃FE,例11、直角三角形ABC中，NACB=90°,BCDE是正方形，AE交BC于F,FG〃AC交AB于G,求證：FC=FG例12、Rt^ABC銳角C的平分線交AB于E,交斜邊上的高AD于。，過。引BC的平行線交AB于F,求證：AE=BF課后作業(yè)一、填空題.已知：在AABC中，P是AB上一點，連結CP,當滿足條件NACP二或NAPC二AACP^AABC..兩個相似三角形周長之比為4：9,面積之和為291,則面積分別是.如圖，DEFG是Rt^ABC的內接正方形，若CF=8,DG=4^'2,則BE=.如圖，直角梯形ABCD中，ADllBC,ADXCD,人^48,已知40=4,BC=9,則AC=（.△ABC中，AB=15,AC=9,點D是AC上的點，且AD=3,E在AB上，△ADE與4ABC相似，則AE的長等于6.如圖，在正方形網格上畫有梯形ABCD,則NBDC的度數(shù)為。7.4ABC中，AB=AC,ZA=36°,BC=1,BD平分NABC交于D,則BD=,AD=，設AB=x,則關于x的方程是 ..如圖，已知0是等邊^(qū)ABC的BC邊上一點，把^ABC向下折疊，折痕為MN,使點A落在點D處，若BD：DC=2：3,則AM：MN=。、選擇題AD1.如圖，在正4ABC中，D、E分別在AC、AB上，且=-,AE=BE,則有（）AC3A.^AEDs^BED B.△AED^^CBD C.△AED^^ABD D.△BAD^^BCDTOC\o"1-5"\h\z.如圖，在^ABC中，D為AC邊上一點，NDBC=NA,BC='熬,AC=3,則CD的長為（ ）35A.1 B.一 C.2 D.一2 211.如圖，DABCD中，G是BC延長線上一點，AG與BD交于點E,與DC交于點F,則圖中相似三角形共有（ ）A.3對 B.4對 C.5對 D.6對.P是Rt^ABC的斜斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截^ABC,，使截得的三角形與4ABC相似，滿足這樣條件的直線共有（「‘）‘一 "一A.1條 B.2條 C.3條 D.4條.如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7,AD=2,BC=3,若在AB上取一點P,使以P、A、D為頂點的三角形和以P、B、C為頂點的三角形相似，這樣的P點有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個三、解答下列各題14.如圖，長方形ABCD中，AB=5,BC=10,點P從A點出發(fā)，沿AB作勻速運動，1分鐘可以到達B點，點Q從B點出發(fā)，沿BC作勻速直線運動，1分鐘可到C點，現(xiàn)在點P點Q同時分別從A點、B點出發(fā)，經過多少時間，線段PQ恰與線段BD垂直？第（14）題圖15.已知：如圖，正方形DEFG內接于Rt^ABC,EF在斜邊BC上，EHLAB于H.求證：（1）4ADG04HED；（2）EF2=BE?FC第（15）題圖（答案）例1分析：關鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應結合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產生的一系列相等的角。本例除公共角NG外，由BC〃AD可得N1=N2,所以△AGDs^EGC。再N1=N2（對頂角）,由AB〃DG可得N4=NG,所以△EGCs^EAB。可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！可復制、編制，期待你的好評與關注！例2分析：證明相似三角形應先找相等的角，顯然NC是公共角，而另一組相等的角則可以通過計算來求得。借助于計算也是一種常用的方法。證明：?.?NA=36°,4ABC是等腰三角形，.'.NABC=NC=72°又BD平分NABC,則NDBC=36°在4ABC和4BCD中，NC為公共角，NA=NDBC=36°???4ABCs^BCD例3分析：由已知條件NABD二NCBE.NDBC公用。所以NDBE二NABC,要證的4DBE和^ABC,有一對角相等，要證兩個三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個角的兩邊對應成比例。從已知條件中可看到△CBEs^ABD,這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在4CBE和4ABD中，NCBE:NABD,ZBCE=ZBADA△CBE^^ABDABC=BE即：BC=ABABBDBEBD△DBE和^ABC中，NCBE二NABD,NDBC公用ANCBE+NDBC=NABD+NDBCANDBE:NABC且BC=ABA△DBE^^ABCBEBD例4分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形:(1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形⑵如圖：其中N1=N2,則AADEs^ABC稱為“相交線型”的相似三角形。⑶如圖：N1=N2,NB=ND,則△ADEs^ABC,⑶如圖：N1=N2,NB=ND,則△ADEs^ABC,稱為“旋轉型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及4EAF與4ECA解：設AB=a，則BE=EF=FC=3a,= AEEC丁由勾股定理可求得AE=42a,在4EAF與4ECA中，NAEF為公共角，且——二——=<2所以△EAF^^ECAEFAE例5分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC,再利用相似三角形或平行線性質進行證明:證明：過D點作DK〃AB,交BC于K,?「DK〃AB,ADF：FE=BK：BEXVAD=BE,ADF：FE=BK：AD,而BK：AD=BC：AC即DF：FE=BC：AC,ADF*AC=BC?FE例6證明：(1)：NBAC=9Oo,M是BC的中點，AMA=MC,N1=NC,VDM±BC,ANC=ND=9Oo-NB,AN1=ND,MAMEVN2=N2,A△MAE^^MDA,A= ,AMA2;MD?ME,MDMAAEMA(2)MMAEMMDA,AAEMA(2)MMAEMMDA,A——二——ADMDAEMEAE2MAMEME

= a = ? = ADMAAD2MDMAMD評注：命題1如圖，如果N1=N2,那么△ABDs^ACB,AB2;AD?AC。命題2如圖，如果AB2=AD?AC,那么△ABDs^ACB,N1=N2。例7分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構造相似形。怎樣作？觀察要證明的結論，緊緊扣住結論中“AE：ED”的特征，作DG〃BA交CF于G,要證明的結論，緊緊扣住結論中“AE：ED”的特征，作DG〃BA交CF于G,得△AEFs^DEG,AEAFDEDG。與結論AE2AFAFEDFB“—Bf21相比較，顯然問題轉化為證DG=fBB。2證明：過D點作DG〃AB交FC于G則△AEF^^DEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相似）AE形與原三角形相似）AE=AFDE-DG（1）⑵將(2)代入⑴得：AEAF2AF⑵將(2)代入⑴得：AEAF2AFDE1bffB2又/A=NFGB=90oMAEFMGBF??.ZAEF=ZFBDAFFG1AEBG2??.D為BC的中點，且DG//BFAG為FC的中點則DG為ACBF的中位線，—G=1bf2例8分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實現(xiàn)，本題要證的兩個角分別在兩個三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個角所在的三角形顯然不可能相似（一個在直角三角形中，另一個在斜三角形中），所以證明本題的關鍵是構造相似三角形，證明：作FGLBD,垂足為G。設AB=AD=3k則BE=AF=k,AE=DF=2k,BD=3v'2k:ZADB=45。，ZFGD=90oAZDFG=45oADG=FG=—=<2kABG=3<2k—<2k=2.2kA<2例9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關鍵的一點就是要明確目標，選擇適當?shù)谋壤€段。要證明SQ〃AB,只需證明AR：AS=BR：DS。證明：在AADS和AARB證明：在AADS和AARB中。1?「ZDAR=ZRAB=-NDAB,ZDCP=NPCB=一ZABCA△ADS^^ABRARBRASDSARBR但△ADS04CBQ,ADS=BQ,則u =,ASQ/AB,同理可證，RP/BCASBQ例10分析：要證明AF〃CD,已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進行正確的選擇。其實要證明AF〃CD,只要證明OAOF證明：:AB〃ED,BC〃FEAOCOD實要證明AF〃CD,只要證明OAOF證明：:AB〃ED,BC〃FEAOCODOA即可OBOEOD因此只要找出與這四條線段相關的比例式再稍加處理即可成功。OEOFOCOB???兩式相乘可得:OAOFOCOD例11分析：要證明FC=FG,從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來證明。要證明FC二FG,首先要找出與FC、FG相關的比例線段，圖中與FC、FG相關的比例式較多，則應選擇FC與FC與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過渡，最終必須得到—FG（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成。證明：???FG〃AC〃BE,.??4ABEs^AGF則有GFAFBEAE而FC〃DE.△AEDMAFC則有CFAFGFCFAFDEAEBEDEAE又???BE二DE（