北京實(shí)驗(yàn)版第十三章三角形復(fù)習(xí)學(xué)案邢進(jìn)文

【同步教育信息】一.本周教學(xué)內(nèi)容：北京實(shí)驗(yàn)版第十三章三角形復(fù)習(xí)學(xué)案第4小節(jié)全等三角形第5小節(jié)全等三角形的判定

【教學(xué)要求】1.理解全等三角形的概念，由全等三角形的定義知全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等，并會進(jìn)行全等三角形的表示。2.熟練掌握全等三角形的三個判定公理和一個判定定理，熟練掌握運(yùn)用全等三角形的知識去證明線段的相等和角的相等，進(jìn)一步證明垂直與平行的問題。

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：1.重點(diǎn)：全等三角形的判定。2.難點(diǎn)：應(yīng)用相關(guān)定理進(jìn)行證明。

三.教學(xué)過程（知識要點(diǎn)）：1.全等三角形的定義及性質(zhì)：（1）全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。例：同一底片沖洗出的兩張照片。（2）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。如上圖，△ABC和△A'B'C'能夠完全重合，即A點(diǎn)與A'點(diǎn)，B點(diǎn)與B'點(diǎn)，C點(diǎn)與C'點(diǎn)，AB與A'B'，BC與B'C'，CA與C'A'，∠A與∠A'，∠B與∠B'，∠C與∠C'分別重合，則△A'B'C'與△ABC叫做全等三角形。全等三角形用符號“≌”表示，上圖記作“△ABC≌△A'B'C'”。在全等三角形中，能夠重合的點(diǎn)、邊、角分別叫做全等三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊和對應(yīng)角，即：A點(diǎn)與A'點(diǎn)、B點(diǎn)與B'點(diǎn)、C點(diǎn)與C'點(diǎn)；AB與A'B'，BC與B'C'，CA與C'A'；∠A與∠A'，∠B與∠B'，∠C與∠C'分別為對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊和對應(yīng)角。對應(yīng)頂點(diǎn)、對應(yīng)邊、對應(yīng)角又叫全等三角形的對應(yīng)元素，在全等三角形表示和記出的過程中，對應(yīng)元素要寫在對應(yīng)的位置上。（3）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等。如上圖：△ABC≌△A'B'C'，則對應(yīng)邊相等，即AB＝A'B'，BC＝B'C'，CA＝C'A'；對應(yīng)角相等，即∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，∠C＝∠C'。2.三角形全等的判定：（1）邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡記為“邊角邊”或“SAS”）如圖：在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，由邊角邊公理可得△ABC≌△DEF。（2）角邊角公理：有兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡記為“角邊角”或“ASA”）如上圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，由角邊角公理可得△ABC≌△DEF。（3）邊邊邊公理：有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡記為“邊邊邊”或“SSS”）如上圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD，由邊邊邊公理可知△ABC≌△DEF。（4）角角邊定理：有兩個角及其中一個角所對的邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等。（簡記為“角角邊”或“AAS”）如上圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF，由角角邊定理可知△ABC≌△DEF。4.利用全等三角形的性質(zhì)和判定進(jìn)行推理證明。

【典型例題】例1.已知：如圖，點(diǎn)E、F在DC上，DF＝EC，AD＝BC，∠D＝∠C。求證：△AED≌△BFC分析：觀察圖，題目中的已知條件直接給出了AD＝BC，∠D＝∠C。因此，只需要再證出DE＝FC即可通過邊角邊公理證出。證明：∵DF＝EC（已知）（等量減等量，差相等）即DE＝CF在△DAE和△CBF中∴△AED≌△BCF（邊角邊）

例2.已知：如圖，∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB。求證：AB＝DC分析：欲證AB＝DC，只需證△ABC≌△DCB，分析可知，通過角邊角公理證明全等。證明：∵∠1＝∠2，∠ABC＝∠DCB（已知）（等量減等量，差相等）即∠DBC＝∠ACB在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（ASA）∴AB＝DC（全等三角形對應(yīng)邊相等）

例3.已知：如圖，BE＝CD，∠B＝∠C。求證：△AOE≌△AOD分析：此題欲證△AOE≌△AOD，從圖形條件看只有一個條件AO＝AO，由于這時可以選擇的搭配條件太多，因此不能確定選怎樣的搭配條件，經(jīng)過分析已知，不難發(fā)現(xiàn)，△OBE≌△OCD，從中得到OE＝OD，因此證△AOE和△AOD全等，便有兩組條件：OE＝OD，AO＝AO，因此只需證∠AOE＝∠AOD或證AE＝AD，到底選證哪一個呢？若選證∠AOE＝∠AOD，則一時看不出如何證，但選證AE＝AD，則從圖中看出可證△AEC≌△ADB，而這兩個三角形全等已具備條件：∠C＝∠B，∠EAC＝∠EAC。因此，只需再證一條邊相等，注意到由OE＝OD，OC＝OB，不難得到CE＝BD，進(jìn)而得△AEC≌△ADB。證明：在△OBE和△OCD中∴△OBE≌△OCD（AAS）（全等三角形對應(yīng)邊相等）（等量加等量和相等）即CE＝BD在△AEC和△ADB中∴△AEC≌△ADB（AAS）∴AE＝AD（全等三角形對應(yīng)邊相等）在△AOE和△AOD中∴△AOE≌△AOD（SSS）

例4.已知：如圖，AD＝BC，AB＝DC，延長AD到E，延長CB到F，連結(jié)BE、DF，若DE＝BF。求證：∠E＝∠F分析：此題欲證∠E＝∠F，從圖形看可證明△ABE≌△CDF，不難發(fā)現(xiàn)已經(jīng)具備了AB＝CD，AE＝CF兩組條件，故只須證明∠A＝∠C，或證明BE＝DF，從現(xiàn)有圖形條件很難發(fā)現(xiàn)應(yīng)選證哪組條件，由條件AD＝BC，AB＝DC，發(fā)現(xiàn)只需作輔助線連結(jié)BD，便會得到△ABD≌△CDB，從中可得∠A＝∠C。證明：連結(jié)BD在△ABD和△CDB中∴△ABD≌△CDB（SSS）∴∠A＝∠C（全等三角形對應(yīng)角相等）∵AD＝CB，DE＝BF（已知）∴AD＋DE＝CB＋BF（等量加等量和相等）即AE＝CF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）∴∠E＝∠F（全等三角形對應(yīng)角相等）

【小結(jié)】全等三角形反映了兩個三角形的大小和形狀之間的關(guān)系，利用全等三角形的這一特殊關(guān)系研究邊、角關(guān)系是我們今后解題常用方法，也推動了幾何推理證明的發(fā)展，希望同學(xué)們重視全等三角形的有關(guān)內(nèi)容，并根據(jù)有關(guān)內(nèi)容熟練進(jìn)行推理證明，提高能力。

【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一.選擇題。1.若△ABC≌△DEF，AB＝6，DF＝5，EF＝7，則BC的長是（）A.5 B.6 C.7 D.無法確定2.下面命題中，正確的是（）A.有一角相等的兩個等腰三角形全等B.有兩角及一條邊分別相等的兩個三角形全等C.有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等的兩個三角形全等D.有兩角及第三個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等3.△ABC和中：（1），（2），（3）；（4），（5），（6），則下面條件中不能保證△ABC≌的是（）A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（5）C.（2）（4）（5） D.（1）（3）（5）4.如圖AD∥BC，AB∥DC，AC、BD交于O，EF過O分別交AB、DC于E、F，則圖中共有（）對全等三角形。A.3 B.4 C.5 D.6

二.填空題。1.如圖，△ABE和△ACD是全等三角形，若∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠C，則其他對應(yīng)角是______________，對應(yīng)邊是______________。2.△ABC中，D是BC上一點(diǎn)，若∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，則△ABD___________△ACD，理由是____________________________。3.△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠A交BC于D，若DC＝5，則D點(diǎn)到AB的距離是______________。4.如圖，AB＝DC，AD＝BC，E、F是BD上兩點(diǎn)，BE＝DF，若∠AEB＝100°，∠DBC＝30°，則∠BCF＝___________°。

三.證明題。1.已知：如圖，D是BC中點(diǎn)，DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F。求證：BF＝DE2.已知：如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求證：∠ADC＝∠BCD3.已知：如圖，AD∥BC，AD＝BC，兩向延長AC到E、F，若AF＝CE。求證：DE∥BF4.已知：如圖，∠BEC＝∠BDC，BE＝DC。求證：∠1＝∠2

【試題答案】一.選擇題。1.C 2.D 4.D二.填空題。1.∠BAE和∠CAD，∠AEB和∠ADC；AB和AC，AE和AD，BE和CD2.≌，ASA3.54.70°三.證明題。1.提示：證△BDF≌△DCE（ASA）2.提示：先證△ABD≌△BAC（ASA），再證△ADC≌△BCD（可用不同方法）。3.提示：證△DAE≌△BCF（SAS）4.提示：先證：△BOE≌△COD（AAS），再證△ABD≌△ACE（AAS）再證△AOE≌△AOD（SSS），從而得到∠1＝∠2（即為通過例3的方法證出△AOE≌△AOD，再利用全等三角形性質(zhì)得出）

【勵志故事】貢品曾經(jīng)有個小國的人到中國來，進(jìn)貢了三個一模一樣的金人，把皇帝高興壞了?？墒沁@小國的人不厚道，同時出一道題目：這三個金人哪個最有價值？皇帝想了許多辦法，請來珠寶匠檢查，稱重量，看做工，都是一模一樣的。怎么辦？使者還等著回去匯報呢。泱泱大國，不會連這個小