2023高中物理 第六章 萬有引力與航天 2 太陽與行星間的引力 3 萬

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3萬有引力定律

[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.知道太陽與行星間存在引力.2.能利用開普勒定律和牛頓第三定律推導(dǎo)出太陽與行星之間的引力表達(dá)式.3.理解萬有引力定律內(nèi)容、含義及適用條件.4.認(rèn)識萬有引力定律的普遍性，能應(yīng)用萬有引力定律解決實際問題.

一、太陽與行星間的引力

1.太陽對行星的引力：太陽對不同行星的引力，與行星的質(zhì)量成正比，與行星和太陽間距離的二次方成反比，即F∝2.2.行星對太陽的引力：太陽與行星的地位一致，因此行星對太陽的引力和太陽對行星的引力規(guī)律一致，即F′∝2.

3.太陽與行星間的引力：根據(jù)牛頓第三定律F＝F′，所以有F∝2，寫成等式就是F＝G2.二、月—地檢驗

1.猜想：維持月球繞地球運動的力與使得蘋果下落的力是同一種力，同樣遵從“平方反比〞的規(guī)律.

2.推理：根據(jù)牛頓其次定律，物體在月球軌道上運動時的加速度大約是它在地面附近下落時1的加速度的2.60

3.結(jié)論：地面物體所受的地球的引力、月球所受地球的引力，與太陽、行星間的引力遵從一致(填“一致〞或“不同〞)的規(guī)律.三、萬有引力定律

1.內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比.2.表達(dá)式：F＝GmrMrMmrMmrm1m2

.r2－11

3.引力常量G：由英國物理學(xué)家卡文迪許測量得出，常取G＝6.67×10

1.判斷以下說法的正誤.

N·m/kg.

22

1

(1)萬有引力不僅存在于天體之間，也存在于普通物體之間.(√)(2)引力常量是牛頓首先測出的.(×)

(3)物體間的萬有引力與它們間的距離成反比.(×)

(4)根據(jù)萬有引力定律表達(dá)式可知，質(zhì)量一定的兩個物體若距離無限靠近，它們間的萬有引力趨于無限大.(×)

2.兩個質(zhì)量都是1kg的物體(可看成質(zhì)點)，相距1m時，兩物體間的萬有引力F＝________N，一個物體的重力F′＝________N，萬有引力F與重力F′的比值為________.(已知引力常量

G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g＝10m/s2)

答案6.67×10

－11

106.67×10

－12

萬有引力大小的分析與計算質(zhì)點間引力的計算

一、對太陽與行星間引力的理解1.兩個理想化模型

(1)將行星繞太陽的橢圓運動看成勻速圓周運動.(2)將天體看成質(zhì)點，且質(zhì)量集中在球心上.2.推導(dǎo)過程

例1(多項選擇)根據(jù)開普勒關(guān)于行星運動的規(guī)律和圓周運動的知識知：太陽對行星的引力F∝2，行星對太陽的引力F′∝2，其中M、m、r分別為太陽質(zhì)量、行星質(zhì)量和太陽與行星間的距離，以下說法正確的是()A.由F′∝2和F∝2，得F∶F′＝m∶MB.F和F′大小相等，是作用力與反作用力C.F和F′大小相等，是同一個力

D.太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力

2

mrMrMrmr答案BD

解析F′和F大小相等、方向相反，是作用力和反作用力，太陽對行星的引力提供行星繞太陽做圓周運動的向心力，故正確答案為B、D.太陽與行星間引力的推導(dǎo)太陽與行星間引力的理解二、月—地檢驗月—地檢驗的推理與驗證

(1)月—地檢驗的目的：檢驗維持月球繞地球運動的力與使物體下落的力是否為同一種性質(zhì)的力，是否都遵從“平方反比〞的規(guī)律.

(2)推理：月心到地心的距離約為地球半徑的60倍，假使月球繞地球運動的力與地面上使物體下落的力是同一性質(zhì)的力，則月球繞地球做圓周運動的向心加速度應(yīng)當(dāng)大約是它在地面附1近下落時加速度的2.60

4π

(3)驗證：根據(jù)已知的月地距離r，月球繞地球運動的周期T，由a月＝2r，計算出的月球

2

T繞地球的向心加速度a月，近似等于2，則證明白地球表面的重力與地球吸引月球的力是相60同性質(zhì)的力.

例2“月－地檢驗〞的結(jié)果說明()

A.地面物體所受地球的引力與月球所受地球的引力是同一種性質(zhì)的力B.地面物體所受地球的引力與月球所受地球的引力不是同一種性質(zhì)的力C.地面物體所受地球的引力只與物體的質(zhì)量有關(guān)，即G＝mgD.月球所受地球的引力只與月球質(zhì)量有關(guān)答案A

解析地面上的物體所受地球的引力和月球所受地球的引力是同一種性質(zhì)的力.三、萬有引力定律

如圖1所示，天體是有質(zhì)量的，人是有質(zhì)量的，地球上的其他物體也是有質(zhì)量的.

g

圖1

(1)任意兩個物體之間都存在萬有引力嗎？為什么尋常兩個物體間感受不到萬有引力，而太陽對行星的引力可以使行星圍繞太陽運轉(zhuǎn)？

3

(2)地球?qū)θ说娜f有引力與人對地球的萬有引力大小相等嗎？

答案(1)任意兩個物體間都存在著萬有引力.但由于地球上物體的質(zhì)量一般很小(與天體質(zhì)量相比)，地球上兩個物體間的萬有引力遠(yuǎn)小于地面對物體的摩擦力，尋常感受不到，但天體質(zhì)量很大，天體間的引力很大，對天體的運動起決定作用.(2)相等.它們是一對相互作用力.

1.萬有引力定律表達(dá)式F＝Gm1m2－1122

式中G為引力常量.G＝6.67×10N·m/kg，由英國物理2，r學(xué)家卡文迪許在試驗室中比較確鑿地測出.

測定G值的意義：(1)證明白萬有引力定律的存在；(2)使萬有引力定律有了真正的實用價值.2.萬有引力定律的適用條件

嚴(yán)格地說，萬有引力定律適用于計算質(zhì)點間的相互作用的引力大小.常見狀況如下：①適用于計算兩個質(zhì)量分布均勻的球體間的萬有引力，其中r是兩個球體球心間的距離.②計算一個均勻球體與球外一個質(zhì)點間的萬有引力，其中r為球心與質(zhì)點間的距離.③當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，公式也近似適用，其中r為兩物體質(zhì)心間的距離.

3.萬有引力的特點：

(1)萬有引力的普遍性.萬有引力不僅存在于星球間，任何客觀存在的有質(zhì)量的物體之間都存在著這種相互吸引力.

(2)萬有引力的相互性.兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，它們大小相等，方向相反，分別作用于兩個物體上.

(3)萬有引力的宏觀性.在尋常狀況下，萬有引力十分小，只是在質(zhì)量巨大的星球間或天體與天體附近的物體間，它的存在才有實際的物理意義.

例3(多項選擇)對于質(zhì)量分別為m1和m2的兩個物體間的萬有引力的表達(dá)式F＝G法中正確的是()

A.公式中的G是引力常量，它是由試驗得出的，而不是人為規(guī)定的B.當(dāng)兩個物體間的距離r趨于零時，萬有引力趨于無窮大C.m1和m2所受引力大小總是相等的D.質(zhì)量大的物體受到的引力大答案AC

解析引力常量G的值是由英國物理學(xué)家卡文迪許通過試驗測定出來的，A正確.兩個物體之間的萬有引力是一對作用力與反作用力，它們總是大小相等、方向相反，分別作用在兩個

4

m1m2

，以下說r2

物體上，C正確，D錯誤.當(dāng)r趨于零時，這兩個物體不能看成質(zhì)點，萬有引力公式不再適用，B錯誤.

萬有引力定律的理解萬有引力定律的理解

對于兩個不能看成質(zhì)點的物體間的萬有引力，不能直接用萬有引力公式求解，切不可依據(jù)F＝Gm1m2

得出r→0時F→∞的結(jié)論而違背公式的物理含義.由于，此時由于r→0，物體已不再r2能看成質(zhì)點，萬有引力公式已不再適用.

例4如圖2所示，兩球間的距離為r，兩球的質(zhì)量分布均勻，質(zhì)量大小分別為m1、m2，半徑大小分別為r1、r2，則兩球間的萬有引力大小為()

圖2

A.Gm1m2

r2

m1m2

B.Gm1m2

r12

m1m2

C.G2?r1＋r2?答案D

D.G2?r1＋r2＋r?

解析兩球質(zhì)量分布均勻，可認(rèn)為質(zhì)量集中于球心，由萬有引力公式可知兩球間的萬有引力應(yīng)為G2，應(yīng)選D.

?r1＋r2＋r?

萬有引力大小的分析與計算質(zhì)量分布均勻的球體間引力的計算四、重力和萬有引力的關(guān)系

1.物體在地球表面上所受引力與重力的關(guān)系

地球在不停地自轉(zhuǎn)，地球上的物體隨著地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動，做圓周運動需要一個向心力，所以重力不直接等于萬有引力而是近似等于萬有引力，如圖3，萬有引力為F引，重力為G，自轉(zhuǎn)向心力為F′.當(dāng)然，真實狀況不會有這么大偏差.

m1m2

5

圖3

(1)物體在一般位置時

F′＝mrω2，F(xiàn)′、F引、G不在一條直線上，重力G與萬有引力F引方向有偏差，重力大小Mmmg距月球球心的距離為r′時，地球?qū)λ囊Φ扔谠虑驅(qū)λ囊Γ瑒tG所以

mm081mm0

＝G，r′2?r－r′?2

r－r′

＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，應(yīng)選項C正確.r′

萬有引力大小的分析與計算萬有引力大小的分析與計算

7.如圖1所示，一個質(zhì)量均勻分布的半徑為R的球體對球外質(zhì)點P(圖中未畫出)的萬有引力為F.假使在球體中央挖去半徑為r的一部分球體，且r＝，則原球體剩余部分對質(zhì)點P的

2萬有引力變?yōu)?)

R

圖1

A.27FC.8答案C

解析利用填補法來分析此題.原來物體間的萬有引力為F，挖去的半徑為的球體的質(zhì)量為21F7

原來球體質(zhì)量的，其他條件不變，故剩余部分對質(zhì)點P的萬有引力為F－＝F.

888萬有引力大小的分析與計算填補法計算引力

8.(多項選擇)如圖2所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，以下說法正確的是()

FB.8D.4

FFR

圖2

A.地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為2?r－R?

GMm11

B.一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為

GMmr2

Gm2

C.兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為23r3GMmD.三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為2r答案BC

解析地球與一顆衛(wèi)星間的引力大小為

GMm，A錯誤，B正確.由幾何關(guān)系可知兩衛(wèi)星之間的r2

GmmGm2

距離為3r，兩衛(wèi)星之間的引力為＝2，C正確.三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為零，2

3r?3r?

D錯誤.

萬有引力大小的分析與計算萬有引力大小的分析與計算考點三重力加速度的計算

9.地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，若高空中某處的重力加速度為，則該處距地

2球表面的高度為()A.(2－1)RC.2R答案A

解析萬有引力近似等于重力，設(shè)地球的質(zhì)量為M，物體質(zhì)量為m，物體距地面的高度為h，分別列式