復(fù)數(shù)四則運(yùn)算匯總

復(fù)數(shù)的四則混合運(yùn)算[本周教學(xué)內(nèi)容]：復(fù)數(shù)

[重點(diǎn)]：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的一些應(yīng)用三部分。

復(fù)數(shù)的概念：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，復(fù)數(shù)的模，輻角，共軛復(fù)數(shù)，規(guī)定了復(fù)數(shù)的加，減，乘，除運(yùn)算，利用復(fù)數(shù)的相等求平方根，一元二次方程求根，復(fù)數(shù)的幾何意義：點(diǎn)，向量與解析幾何的聯(lián)系。

[難點(diǎn)]：一元二次方程根的討論。

[例題講解]：

例1．m為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)零。

解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i

(1)當(dāng)m=1或m=2時(shí)，Z是實(shí)數(shù)。

(2)當(dāng)m≠1且m≠2時(shí)，Z是虛數(shù)。

(3)當(dāng)

即當(dāng)時(shí)，Z是純虛數(shù)。

(4)當(dāng)

即m=2時(shí)，Z是零。

例2．已知：，求實(shí)數(shù)x。

解：

即或x≥8。

例3．計(jì)算：

解：原式=

例4．求的平方根。

解：設(shè)的平方根為x+yi(x,y∈R)，

則

由復(fù)數(shù)相等的定義得

(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25

x2+y2=5(舍去負(fù)值)........(3)

(1)+(3)，x2=3,x=,

(3)-(1),y2=2,。

∵，∴或

∴的平方根為。

例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。

解：|Z-(-2+2i)|=1，幾何意義：Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集是以O(shè)＇(-2,2)為圓心，r=1的圓。

|Z|的幾何意義是⊙O＇上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；

，

∴,。

例6．說(shuō)明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲線。

解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，

幾何意義是Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z與F1(-1,0)，F(xiàn)2(2,0)距離之和等于2a的軌跡，|F1F2|=3。

(1)當(dāng)2a>3即時(shí)，Z的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)，2a為長(zhǎng)軸的橢圓。

(2)當(dāng)2a=3即時(shí)，Z的軌跡是線段F1，F(xiàn)2。

(3)當(dāng)2a<3即時(shí)，Z的軌跡不存在。

例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的兩根為a、b，求|a|+|b|。

解：∵a∈R，∴方程為實(shí)系數(shù)一元二次方程，可以用Δ來(lái)判定方程有無(wú)實(shí)根。

(1)當(dāng)Δ=4-4a≥0，即a≤1時(shí)，方程的根a、b為實(shí)數(shù)根。

由韋達(dá)定理

又∵|a|+|b|≥0，

∴

①當(dāng)0≤a≤1時(shí)，|a|+|b|=2,

②當(dāng)a<0時(shí)，|a|+|b|=。

(2)當(dāng)Δ=4-4a<0，即a>1時(shí)，方程的根a、b為虛根。

例8．已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。

解：。

方法(1)∵實(shí)系數(shù)一元二次方程虛根為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)，

∴也是該方程的根。

由韋達(dá)定理：

解得：a=1，。

方法(2)，∵是方根的根，代入原方程整理得：

。

由復(fù)數(shù)相等的定義得

解得a=1，。

[本周參考練習(xí)]

一、選擇題：

1．下面四個(gè)命題，正確的是（）。

A、|Z|2=Z2(Z∈C)B、(Z∈C)

C、|Z|<1-1<Z<1(Z∈C)D、|Z1-Z2|=0Z1=Z2(Z1,Z2∈C)

2．Z1，Z2∈C,則Z1+Z2∈R,且Z1·Z2∈R，是Z1與Z2共軛的（）。

A、充分但不必要條件B、必要但不充分條件

C、充要條件D、既不充分也不必要條件

3．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）。

A、3-4iB、3+4iC、D、

4．關(guān)于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一個(gè)實(shí)根，則m的取值范圍是（）。

A、B、

C、D、

5．在復(fù)平面內(nèi)，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4.則復(fù)數(shù)Z的對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）。

A、橢圓B、圓C、直線D、線段

6．設(shè)Z=x+yi(x,y∈R)，則滿足等式|Z+2|=-x的復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）。

A、橢圓B、雙曲線C、拋物線D、圓

7．若P、Q是復(fù)平面內(nèi)|Z|=2與直線的兩個(gè)交點(diǎn)，則P與Q之間的距離為（）。

A、B、C、D、

二、填空題

1．設(shè)復(fù)數(shù)Z1=2-i,Z2=1-3i,則復(fù)數(shù)的虛部等于________。

2．-5-12i的平方根是______。

3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2i，則x=______。

參考答案：

一、1.D2.C3.D4.A5.D6.C7.A

二、1.2.2-3i,-2+3i3.2,3-i在線測(cè)試選擇題

1．實(shí)數(shù)m≠-1時(shí)，復(fù)數(shù)(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i是（）。

A、實(shí)數(shù)B、虛數(shù)C、純虛數(shù)D、不能確定2．若x，y∈R，“x=0”是“x+yi”為純虛數(shù)的是（）。

A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3．下列式子或結(jié)論中正確的是（）。

A、|1-3i|>|3cosθ+i·3sinθ|B、|cosθ+isinθ|=

C、|5+2i|>|-1-6i|D、|cosθ+isinθ|的最大值是，最小值是零。4．如果z=x+yi(x，y∈R)，則有（）。

A、|z|≤|x|+|y|≤|z|B、|z|<|z|≤|x|+|y|

C、|z|≤|x|+|y|<|z|D、|z|<|z|<|x|+|y|5．設(shè)z1，z2∈C，z1=的一個(gè)必要不充分條件是（）。

A、|z1-z2|=0B、C、z1=z2D、|z1|=|z2|6．已知f(z)=1-，且z1=2+3i，z2=5-i，則的值是（）。

A、-3+4iB、3-4iC、4-4iD、4+4i7．若復(fù)數(shù)z滿足|z+3-4i|=2，則|z|的最小值和最大值分別是（）。

A、1和9B、3和7C、5和11D、4和108．(1+i)15-(1-i)15的值是（）。

A、-256iB、256iC、256D、-2569．若，則(z2-z)-1的值等于（）。

A、-2B、-1C、1D、±110．若x3-1=0有一個(gè)虛根，那么ω2n+ωn+1(n∈N)的值是（）。

A、0B、1C、3D、0或3答案與解析答案：1.D2.B3.A4.A5.D6.C7.B8.A9.B10.D

解析：略。數(shù)的由來(lái)和發(fā)展你是否看過(guò)雜技團(tuán)演出中“小狗做算術(shù)”這個(gè)節(jié)目？臺(tái)下觀眾出一道10以內(nèi)的加法題，比如“2+5”，由演員寫(xiě)到黑板上。小狗看到后就會(huì)“汪汪汪……”叫7聲。臺(tái)下觀眾會(huì)報(bào)以熱烈的掌聲，對(duì)這只狗中的“數(shù)學(xué)尖子”表示由衷的贊許，并常常驚嘆和懷疑狗怎么會(huì)這么聰明？因?yàn)樵谝话闳丝磥?lái)狗是不會(huì)有數(shù)量概念的。

人類是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物，最初也完全沒(méi)有數(shù)量的概念。但人類發(fā)達(dá)的大腦對(duì)客觀世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步。這樣，在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中，由于記事和分配生活用品等方面的需要，才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸，就用1塊石子代表，捕獲了3頭，就放3塊石子?！敖Y(jié)繩記事”也是地球上許多相隔很近的古代人類共同做過(guò)的事。我國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中有“結(jié)繩而治”的記載。傳說(shuō)古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來(lái)計(jì)算天數(shù)。用利器在樹(shù)皮上或獸皮上刻痕，或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了，就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào)。

數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開(kāi)始的，但是記數(shù)的符號(hào)卻大不相同。

古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步，現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。

實(shí)際上，羅馬數(shù)字的符號(hào)一共只有7個(gè)：I（代表1）、V（代表5）、X（代表10）、L（代表50）、C代表100）、D（代表500）、M（代表1,000）。這7個(gè)符號(hào)位置上不論怎樣變化，它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來(lái)，就能表示任何數(shù)：

1．重復(fù)次數(shù)：一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次，就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。如：“III”表示“3”；“XXX”表示“30”。

2．右加左減：一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字加小數(shù)字，如“VI”表示“6”，“DC”表示“600”。一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào)，就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目，如“IV”表示“4”，“XL”表示“40”，“VD”表示“495”。

3．上加橫線：在羅馬數(shù)字上加一橫線，表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。

我國(guó)古代也很重視記數(shù)符號(hào)，最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號(hào)，不過(guò)難寫(xiě)難認(rèn)，后人沒(méi)有沿用。到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，生產(chǎn)迅速發(fā)展，適應(yīng)這一需要，我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法--籌算。籌算用的算籌是竹制的小棍，也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長(zhǎng)短順序擺好，就可用來(lái)記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及，算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了。算籌擺法有橫縱兩式，都能表示同樣的數(shù)字。

從算籌數(shù)碼中沒(méi)有“10”這個(gè)數(shù)可以清楚地看出，籌算從一開(kāi)始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百，放在萬(wàn)位上就是幾萬(wàn)。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開(kāi)始沒(méi)有“零”，遇到“零”就空位。比如“6708”，就可以表示為“┴╥”。數(shù)字中沒(méi)有“零”，是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來(lái)有人把銅錢(qián)擺在空位上，以免弄錯(cuò)，這或許與“零”的出現(xiàn)有關(guān)。不過(guò)多數(shù)人認(rèn)為，“0”這一數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)（·）表示零，后來(lái)逐漸變成了“0”。

說(shuō)起“0”的出現(xiàn)，應(yīng)該指出，我國(guó)古代文字中，“零”字出現(xiàn)很早。不過(guò)那時(shí)它不表示“空無(wú)所有”，而只表示“零碎”、“不多”的意思。如“零頭”、“零星”、“零丁”。“一百零五”的意思是：在一百之外，還有一個(gè)零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)。“105”恰恰讀作“一百零五”，“零”字與“0”恰好對(duì)應(yīng)，“零”也就具有了“0”的含義。

如果你細(xì)心觀察的話，會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒(méi)有“0”。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí)，“0”已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何人使用“0”。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用“0”的一些好處和說(shuō)明，就被教皇召去，施行了拶（zǎn）刑，使他再也不能握筆寫(xiě)字。

但“0”的出現(xiàn)，誰(shuí)也阻擋不住?，F(xiàn)在，“0”已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)。“0”可以表示沒(méi)有，也可以表示有。如：氣溫，并不是說(shuō)沒(méi)有氣溫；“0”是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù)；任何數(shù)（0除外）的0次冪等于1；0！=1（零的階乘等于1）。

除了十進(jìn)制以外，在數(shù)學(xué)萌芽的早期，還出現(xiàn)過(guò)五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法。在長(zhǎng)期實(shí)際生活的應(yīng)用中，十進(jìn)制最終占了上風(fēng)。

現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，人們稱之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的。后來(lái)阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去，又把這一簡(jiǎn)便易寫(xiě)的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲，逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。

數(shù)的概念、數(shù)碼的寫(xiě)法和十進(jìn)制的形成都是人類長(zhǎng)期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果。

隨著生產(chǎn)、生活的需要，人們發(fā)現(xiàn)，僅僅能表示自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。如果分配獵獲物時(shí)，5個(gè)人分4件東西，每個(gè)人人該得多少呢？于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年！自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零，通稱為算術(shù)數(shù)。自然數(shù)也稱為正整數(shù)。

隨著社會(huì)的發(fā)展，人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義，比如增加和減少、前進(jìn)和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量，又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零，統(tǒng)稱為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)，就統(tǒng)稱為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法，人們計(jì)算起來(lái)感到方便多了。

但是，在數(shù)字的發(fā)展過(guò)程中，一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大約2500年前的希臘，那里有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體。他們認(rèn)為“數(shù)”是萬(wàn)物的本源，支配整個(gè)自然界和人類社會(huì)。因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例，這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說(shuō)的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，使“數(shù)”不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比，所以他們的信仰沒(méi)有動(dòng)搖。但是學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)能用整數(shù)比例寫(xiě)成的數(shù)可以表示它。如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X，顯然，推導(dǎo)的結(jié)果是。他畫(huà)了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，設(shè)對(duì)角線為x，根據(jù)勾股定理，可見(jiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度即是所要找的那個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)肯定是存在的?？伤嵌嗌伲坑衷撛鯓颖硎舅?？希帕索斯等人百思不得其解，最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的新數(shù)。這個(gè)新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚，動(dòng)搖了他們哲學(xué)思想的核心。為了保持支撐世界的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌，他們規(guī)定對(duì)新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個(gè)秘密泄露了出去。據(jù)說(shuō)他后來(lái)被扔進(jìn)大海喂了鯊魚(yú)。然而真理是藏不住的。人們后來(lái)又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫(xiě)出來(lái)的數(shù)，如圓周率π就是最重要的一個(gè)。人們把它們稱為無(wú)理數(shù)。

有理數(shù)和無(wú)理數(shù)一起統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)各種數(shù)的研究使數(shù)學(xué)理論達(dá)到了相當(dāng)高深和豐富的程度。這時(shí)人類的歷史已進(jìn)入19世紀(jì)。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)成就已經(jīng)登峰造極，