專題四 待定系數(shù)法的應(yīng)用

專題四

待定系數(shù)法的應(yīng)用

用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)y=kx+b的解析式的一般步驟是：

一代：將從已知條件中得到的x、y的對應(yīng)值代入y=kx+b中，建立關(guān)于k、b的二元一次方程組；

二解：解關(guān)于k、b的二元一次方程組；

三代：將所求出的k、b的值代入y=kx+b中；

四答：得出一次函數(shù)的解析式。

下面舉例談?wù)動么ㄏ禂?shù)法求一次函數(shù)解析式的常見類型，供同學(xué)們參考。一、已知一個一次函數(shù)的兩組對應(yīng)值，求函數(shù)的解析式

已知一次函數(shù)的兩組對應(yīng)值求一次函數(shù)的解析式，只需按照上面所說的四個步驟進(jìn)行求解即可。

例1.已知一個一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-2，-3），（1，3）兩點(diǎn)，求這個一次函數(shù)的解析式。

解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b，則根據(jù)題意得：

解這個二元一次方程組，得

故這個一次函數(shù)的解析式為

變式訓(xùn)練：已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（2，5）和（-1，-1）兩點(diǎn)，求這個一次函數(shù)的解析式。

提示：解法同例1，一次函數(shù)的解析式為

總結(jié)：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過某兩點(diǎn)，實(shí)際上就是告訴了我們這個一次函數(shù)的兩組對應(yīng)值。二、已知兩個一次函數(shù)的圖象相交，求函數(shù)的解析式

例2.已知直線l1與l2相交于點(diǎn)P，l1的解析式為，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-1，且l2交y軸于點(diǎn)A（0，1），求直線l2的解析式。

解：由l1的解析式和P點(diǎn)（在l1上）的橫坐標(biāo)可求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)。將x=-1代入中，得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，5）.

由題設(shè)可知，直線l2經(jīng)過P（-1，5）、A（0，1）兩點(diǎn)。故不妨設(shè)直線l2的解析式為，將、A（0，1）的坐標(biāo)分別代入，列方程組解得，故直線l2的解析式為。

變式訓(xùn)練：已知直線l與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，直線l與直線交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，求直線l的解析式。

提示：將代入中，得y=5；將y代入中，得。故直線l經(jīng)過點(diǎn)（2，5），（）。仿例2得直線l的解析式為。

總結(jié)：解例2的關(guān)鍵是求點(diǎn)P的坐標(biāo)。因?yàn)辄c(diǎn)P是直線l1與l2的交點(diǎn)，故點(diǎn)P也在直線l1上。將點(diǎn)P的橫坐標(biāo)代入直線l1的解析式中可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，由此將問題轉(zhuǎn)化為例1的形式。三、已知兩個一次函數(shù)的圖象互相平行，求函數(shù)的解析式

例3.已知關(guān)于x的一次函數(shù)y=kx+b的圖象平行于直線，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），求此一次函數(shù)的解析式。

解：因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象平行于直線

所以

所求一次函數(shù)為

將點(diǎn)（3，0）的坐標(biāo)代入中得，得b=9

一次函數(shù)的解析式為

變式訓(xùn)練：將一次函數(shù)的圖象平移，使它經(jīng)過點(diǎn)（，1），求平移后的圖象的解析式。

提示：平移前后的兩條直線互相平行，故可以設(shè)平移后圖象的解析式為，將（，1）代入中，解得，故平移后的圖象的解析式為。

總結(jié)：若一次函數(shù)與的圖象互相平行，則，。故求一次函數(shù)的解析式時，可先直接求出k的值，再找一個條件求出b的值即可?！白兪接?xùn)練”中的兩個圖象（直線）屬平移關(guān)系，它們互相平行。四、已知兩個一次函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)軸對稱，求函數(shù)的解析式

例4.已知關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱，求此一次函數(shù)的解析式。

解：容易求得一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)（-2，0）、（0，1）。它們關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，0）、（0，-1）。

∵一次函數(shù)與的圖象關(guān)于x軸對稱

∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），（0，-1）

代入可求得

故此一次函數(shù)的解析式為

變式訓(xùn)練：已知關(guān)于x的一次函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，求此一次函數(shù)的解析式。

提示：先求出一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：。再求出點(diǎn)，（0，1）關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，（0，1）。將，（0，1）代入，可得此一次函數(shù)的解析式為。

總結(jié)：已知兩個一次函數(shù)的圖象關(guān)于x軸或y軸對稱求一次函數(shù)的解析式時，一般可先求出已知的函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn)，再求出這些交點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式。實(shí)際上，若一次函數(shù)與的圖象關(guān)于x軸對稱，則；若一次函數(shù)與的圖象關(guān)于y軸對稱，則。五、已知兩變量（或兩代數(shù)式）成正比例，求函數(shù)的解析式

例5.已知y+1與x成正比例，且當(dāng)x=1時。求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

解：設(shè)，由x=1時，得

所以

故

即y與x的函數(shù)關(guān)系式為

變式訓(xùn)練：已知與x+n(m、n為常數(shù))成正比例，若x=3時y=5，x=5時y=11，求y與x的函數(shù)關(guān)系式。

提示：由已知可設(shè)y+m=k(x+n)，