2023年高考?jí)狠S題跟蹤演練數(shù)學(xué)系列（全6套）

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備戰(zhàn)2023高考數(shù)學(xué)――壓軸題跟蹤演練系列一

1．（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過點(diǎn)M?1,2?，它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).（Ⅰ）求這三條曲線的方程；

（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€l過點(diǎn)P?3,0?，交拋物線于A,B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線l?被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出l?的方程；若不存在，說明理由.

解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為y2?2px?p?0?，將M?1,2?代入方程得p?2

?拋物線方程為:y2?4x………………（1分）

由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為F??1,0?1,F2?1,0?,?c=1…（2分）對(duì)于橢圓，2a?MF1?MF2??1?1?2?22??1?1?2?4?2?22?a?1?2?a?1?22??2?3?22………………（4分）?b2?a2?c2?2?22?橢圓方程為：x23?22?y22?22?1對(duì)于雙曲線，2a??MF1?MF2?22?2?a??2?1?a?2?3?22?b?2?c?2?a?2?22?2?雙曲線方程為：x2?y2?1………………（6分）3?2222?2（Ⅱ）設(shè)AP的中點(diǎn)為C，l?的方程為：x?a，以AP為直徑的圓交l?于D,E兩點(diǎn)，DE中點(diǎn)為H

?x?3y1?,?………………（7分）令A(yù)?x1,y1?,?C?122??112?DC?AP??x1?3??y1222x1?31CH??a??x1?2a??3222112222??DH?DC?CH???x1?3??y12???x?2a?3????4?14???a-2?x1?a2?3a當(dāng)a?2時(shí),DH??4?6?2為定值;?DE?2DH?22為定值此時(shí)l?的方程為：x?22…………（12分）2．（14分）已知正項(xiàng)數(shù)列?an?中，a1?6，點(diǎn)Anan,an?1在拋物線y2?x?1上；數(shù)列?bn?中，點(diǎn)??Bn?n,bn?在過點(diǎn)?0,1?，以方向向量為?1,2?的直線上.（Ⅰ）求數(shù)列?an?,?bn?的通項(xiàng)公式；

??an,?n為奇數(shù)?（Ⅱ）若f?n???，問是否存在k?N，使f?k?27??4f?k?成立，若存在，求出k??bn,?n為偶數(shù)?值；若不存在，說明理由；

an?1an??0成立，求正數(shù)a的取值范圍.（Ⅲ）對(duì)任意正整數(shù)n，不等式

?n?2?an1??1??1??1???1????1???b1??b2??bn?

解：（Ⅰ）將點(diǎn)Anan,an?1代入y2?x?1中得

??an?1?an?1?an?1?an?d?1?an?a1??n?1??1?n?5直線l:y?2x?1,?bn?2n?1??n?5,?n為奇數(shù)?（Ⅱ）f?n???………………（5分）

2n?1,n為偶數(shù)????當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，k?27為奇數(shù)，?f?k?27??4f?k?…………（4分）

?k?27?5?4?2k?1?,?k?4當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，k?27為偶數(shù)，?2?k?27??1?4?k?5?,?k?35?舍去?2……（8分）綜上，存在唯一的k?4符合條件。an?1an??0（Ⅲ）由??????n?2?an111?1???1????1???b1??b2??bn?即a??1??1??1??1???1????1??2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1??1???1????1??2n?3?b1??b2??bn?1?1??1??1??1?1?1??1?1?????????2n?5?b1??b2??bn??bn?1?12n?3?1?2n?32n?42n?4??1?????2n?5?bn?1?2n?52n?32n?5?2n?3?1記f?n???f?n?1????f?n?1?f?n?2?4n2?16n?164n?16n?15?f?n?1??f?n?,即f?n?遞增，?f?n?min?f?1???0?a?4515………………（14分）3.（本小題總分值12分）將圓O:x2?y2?4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?橫坐標(biāo)不變),得到曲線C.(1)求C的方程;(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)F(3,0)的直線l與C交于A、B兩點(diǎn),N為線段AB的中點(diǎn),延長(zhǎng)線段ON交C于點(diǎn)E.求證:OE?2ON的充要條件是|AB|?3.解:(1)設(shè)點(diǎn)P(x?,y?),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意可知?22221445?,3155??x??x,………………(2分)

?y??2y,x2?y2?1.又x??y??4,∴x?4y?4?4x2?y2?1.………………(4分)所以,點(diǎn)M的軌跡C的方程為4(2)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x0,y0),

㈠當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),線段AB的中點(diǎn)N就是原點(diǎn)O,

不合題意,舍去;………………(5分)㈡設(shè)直線l:x?my?3,

??x?my?3由?消去x,

22??x?4y?4得(m2?4)y2?23my?1?0………………①

3m,………………(6分)

m2?43m23m2?4343∴x0?my0?3??2,??22m?4m?4m?4433m∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,?2).………………(8分)m?4m?48323m①若OE?2ON,坐標(biāo)為,則點(diǎn)E的為(2,?2),由點(diǎn)E在曲線C上,m?4m?44812m24222得,即∴m?8(m??4舍去).??1m?4m?32?0,2222(m?4)(m?4)∴y0??12m2?4m2?164m2?1由方程①得|y1?y2|???1,m2?4m2?4又|x1?x2|?|my1?my2|?|m(y1?y2)|,∴|AB|?m2?1|y1?y2|?3.………………(10分)4(m2?1)2m?8.?3,②若|AB|?3,由①得∴2m?4362∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(,?),射線ON方程為:y??x(x?0),362?23?2x??x(x?0)?y???3∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(23,?6),由?解得?233?x2?4y2?4?y??6??3?∴OE?2ON.綜上,OE?2ON的充要條件是|AB|?3.………………(12分)1(x?R).x4?211(1)試證函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,)對(duì)稱;24n(2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an?f()(m?N?,n?1,2,?,m),求數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和mSm;11112(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足:b1?,bn?1?bn?bn.設(shè)Tn?.????3b1?1b2?1bn?1若(2)中的Sn滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)n,Sn?Tn恒成立,試求m的最大值.

11解:(1)設(shè)點(diǎn)P0(x0,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn),其關(guān)于點(diǎn)(,)的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,y).

244.（本小題總分值14分）已知函數(shù)f(x)?

?x?x01??x?1?x0,??2?2由?得?1y?y1y??y0.0???2??4?21所以,點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1?x0,?y0).………………(2分)

21由點(diǎn)P0(x0,y0)在函數(shù)f(x)的圖象上,得y0?x.

40?214x04x0∵f(1?x0)?1?x??,x0x004?24?2?42(4?2)11114x0?y0??x0?(1?x,?y0)在函數(shù)f(x)的圖象上.∴點(diǎn)P,0224?22(4x0?2)211∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,)對(duì)稱.………………(4分)241kk1(2)由(1)可知,f(x)?f(1?x)?,所以f()?f(1?)?(1?k?m?1),2mm2km?k11)?,?ak?am?k?,………………(6分)即f()?f(mm22由Sm?a1?a2?a3???am?1?am,………………①得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am,………………②由①＋②,得2Sm?(m?1)?∴Sm?1m?11m1?2am??2???,226261(3m?1).………………(8分)1212(3)∵b1?,bn?1?bn?bn?bn(bn?1),………………③3∴對(duì)任意的n?N?,bn?0.………………④1111111由③、④,得.???,即??bn?1bn(bn?1)bnbn?1bn?1bnbn?1111111111∴Tn?(?.……………(10分))?(?)???(?)???3?b1b2b2b3bnbn?1b1bn?1bn?1∵bn?1?bn?b2?bn?1?bn,∴數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列.n?0,∴Tn關(guān)于n遞增.當(dāng)n?2,且n?N?時(shí),Tn?T2.11144452,b2?(?1)?,b3?(?1)?,33399981175∴Tn?T2?3??.………………(12分)b152751752384,即(3m?1)?,∴m??6,∴m的最大值為6.……………(14分)∴Sm?5212523939225．（12分）E、F是橢圓x?2y?4的左、右焦點(diǎn)，l是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)P?l，過點(diǎn)E的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn).

（1）當(dāng)AE?AF時(shí)，求?AEF的面積；

y（2）當(dāng)AB?3時(shí)，求AF?BF的大??；（3）求?EPF的最大值.AP?m?n?41解：（1）?2?S?mn?2M?AEF2m?n?82?FExO∵b1?B

（2）因??AE?AF?4??AB?AF?BF?8，

BE?BF?4??則AF?BF?5.

（1）設(shè)P(22,t)(t?0)tan?EPF?tan(?EPM??FPM)

32232?222t223，?)?(1?)???22?1tttt?6t?6t33當(dāng)t?6時(shí)，tan?EPF???EPF?30?

3212Sn6．（14分）已知數(shù)列?an?中，a1?，當(dāng)n?2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足an?，32Sn?1a（2）求Sn的表達(dá)式及l(fā)imn的值；n??S2n?(（3）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（4）設(shè)bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求證：當(dāng)n?N且n?2時(shí)，an?bn.22Sn11解：（1）an?Sn?Sn?1??Sn?1?Sn?2SnSn?1???2(n?2)2Sn?1SnSn?1所以??1?1.?是等差數(shù)列.則Sn?S2n?1?n?liman22?lim???2.n??S2n??2S?12limSn?1nnn??（2）當(dāng)n?2時(shí)，an?Sn?Sn?1?11?2??2，2n?12n?14n?1?1n?1????3綜上，an??.?2?n?2???1?4n2111,b?（3）令a?，當(dāng)n?2時(shí)，有0?b?a?（1）2n?12n?131111???法1：等價(jià)于求證.332n?12n?1?2n?1??2n?1?當(dāng)n?