Chapter02結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)

本文格式為Word版，下載可任意編輯——Chapter02結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)18第2章結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)

里面的A點(diǎn)，這個(gè)body承受了某些loads，如圖2-7所示；你如何對(duì)外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢？也就是說(shuō)你的每單位表面積受到多少力。

圖2-7結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的某一點(diǎn)A的應(yīng)力

為了說(shuō)明，我們假設(shè)有一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)xyz可供參照，如下圖。假使這個(gè)body是一靜止的液體，你會(huì)受到周邊八方一致的壓力，所以只要一個(gè)量就可以完整地描述你承受的應(yīng)力。假設(shè)壓應(yīng)力大小是p（SI單位N/m2），那么你可以如此描述：「我感受到p的壓應(yīng)力」。當(dāng)我們感受力量向著自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為壓應(yīng)力；反之當(dāng)我們感受力量遠(yuǎn)離自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為張應(yīng)力。注意，當(dāng)圖中的body是靜止液體時(shí)，你永遠(yuǎn)會(huì)感受力量向著自己的，亦即永遠(yuǎn)是壓應(yīng)力，而且此壓應(yīng)力大小與方向無(wú)關(guān)。

當(dāng)圖中的body是固態(tài)實(shí)體時(shí)，你會(huì)在不同的方向感受到不同大小的力量，所以若要確切地描述所承受的力，必需先說(shuō)明在哪個(gè)方向，譬如：「我在某方向感受到p的應(yīng)力」。注意，p本身是一個(gè)向量，當(dāng)向著你自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為壓應(yīng)力；反之當(dāng)遠(yuǎn)離自己時(shí)，這個(gè)應(yīng)力稱為張應(yīng)力。

我們以圖2-8來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明上述這一句話（在某方向感受到p的應(yīng)力）的意義。圖2-8中，我們以圍繞在A點(diǎn)（圖2-7）的6個(gè)平面來(lái)分別代表+x、-x、+y、-y、+z及-z方向，譬如垂直于+x方向的平面稱為+x平面、垂直于-x方向的平面稱為-x平面、其它類同。假設(shè)你在+x方向感受到p的應(yīng)力（注意，其SI單位為N/m2），亦即有p的應(yīng)力作用在+x平面上。若將此應(yīng)力拆成三個(gè)分量，分別平行于x、y、及z方向——在圖2.8中我們以?x、?xy、?xz來(lái)表示，注意其中第一

個(gè)下標(biāo)x是指作用在+x平面上、其次個(gè)下標(biāo)是指應(yīng)力的方向。由于?x垂直于

第2.1節(jié)結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題定義19

圖2-8物體中某一點(diǎn)的應(yīng)力描述

+x平面，所以我們稱之為該平面上的正向應(yīng)力；而由于?xy、?xz相切于+x

平面，

所以我們稱之為該平面上的剪向應(yīng)力。圖2-9是與圖2-8是完全一樣的，只是轉(zhuǎn)個(gè)方向而已。

圖2-9物體中某一點(diǎn)的應(yīng)力描述（X-YPlaneView）

為了描述某一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力，只有描述一個(gè)方向（或平面）的應(yīng)力是不夠的；在3D的世界里，我們最少需要描述三個(gè)方向的應(yīng)力才能完整地描述某一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。其它方向的應(yīng)力可以從這三個(gè)方向的應(yīng)力來(lái)推算出來(lái)，但是這三個(gè)方向必需是獨(dú)立的，一般我們選擇+x、+y、及+z方向。如前面所探討的，我們以?x、?xy、

20第2章結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)

?xz

來(lái)表示+x方向的正應(yīng)力及平行于+y及+z方向的剪應(yīng)力；同樣的我們以?y、

yz來(lái)表示+yzy來(lái)表示+z

??yx、????zx、??方向的正應(yīng)力及平行于+x及+z方向的剪應(yīng)力；而以?z、方向的正應(yīng)力及平行于+x及+y方向的剪應(yīng)力。所以我們

可以用9個(gè)分量來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)：

??x???????yx???zx

?xy?xz???y?yz??zy?z??(2.2)

這9個(gè)應(yīng)力分量分別表示在圖2-8中的立方體上。事實(shí)上這9個(gè)分量也并不是完全的獨(dú)立的，我們可以證明

?xy??yx

?yz??zx?zx??xz(2.3)

也就是說(shuō)2.2式中的矩陣是對(duì)稱的。所以只要用6個(gè)分量就可以來(lái)描述，用向量的方式來(lái)表示，我們可以寫(xiě)成

?σ????x?y?z?xy?yz?zx?

(2.4)

2.3式的證明很簡(jiǎn)單，只要將圖2-8的立方體視為一個(gè)自由體（freebody），再取以下力平衡條件即可得到證明：

?M2.1.7應(yīng)變

x?0,?My?0,?Mz?0

圖2-10質(zhì)點(diǎn)A的應(yīng)變

第2.1節(jié)結(jié)構(gòu)分析問(wèn)題定義21

應(yīng)變是在描述某一質(zhì)點(diǎn)被拉申或壓縮的程度，它的單位是每單位長(zhǎng)度的拉伸長(zhǎng)度（SI單位m/m，所以相當(dāng)于無(wú)單位）。假使有一長(zhǎng)度L的物體被均勻拉長(zhǎng)?L，則我們說(shuō)沿著長(zhǎng)度方向有?L/L的應(yīng)變。在3D的狀況下，應(yīng)變比應(yīng)力更難理解。現(xiàn)在讓我們來(lái)思考一個(gè)body內(nèi)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)A及鄰近的點(diǎn)B和C，如圖2-10所示。注意，我們有意選擇三個(gè)點(diǎn)的位置使的AB和AC相互垂直。假設(shè)這個(gè)body變形以后ABC三個(gè)點(diǎn)變?yōu)锳’B’C’三個(gè)點(diǎn)。

為了要計(jì)算AB和AC這兩根纖維在變形后被拉伸了多少，我們先將變位前后的纖維迭合在一起做比較，亦即將變形后的纖維A’B’C’作一個(gè)旋轉(zhuǎn)變成A’B〞C〞，再作一個(gè)平移變成AB’’’C’’’。注意，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)及平移后并不影響其兩根纖維的相對(duì)關(guān)系（即長(zhǎng)度及夾角）?，F(xiàn)在可以很明白地看出原來(lái)的x方向的一條小纖維AB被拉伸成AB’’’，其總伸長(zhǎng)可以用向量BB’’’來(lái)表示。這個(gè)伸長(zhǎng)量BB’’’可拆成兩個(gè)分量：正向伸長(zhǎng)量BD及剪向伸長(zhǎng)量DB’’’，我們將它們除以原來(lái)的長(zhǎng)度AB就是正向應(yīng)變（用?x表示）及剪向應(yīng)變（用?：xy表示）

BDDB???,?xy?ABAB?x?注意我們使用了和應(yīng)力一樣的下標(biāo)，亦即第一個(gè)下標(biāo)x是指作用在+x平面上、其次個(gè)下標(biāo)是指應(yīng)變的方向。

以上的誘導(dǎo)主要是要讓讀者在觀念上理解到正向應(yīng)變及剪向應(yīng)變的涵義。根據(jù)上式，正向應(yīng)變（normalstrain）是很簡(jiǎn)單理解的：x平面上（有關(guān)x平面的定義請(qǐng)參照2.1.6小節(jié)）的正向應(yīng)變就是x方向的一條無(wú)窮小的纖維，它的伸長(zhǎng)量除以原來(lái)的長(zhǎng)度。而剪向應(yīng)變（shearstrain）則需進(jìn)一步思考，以下的探討我們假設(shè)變形是無(wú)窮小的。根據(jù)上式，x平面上向著y方向的剪應(yīng)變事實(shí)上就是夾角BAB’’’，亦即在無(wú)窮小的變位假設(shè)下

?xy?DB?????BAB????rad?ABxy表示

這個(gè)角度也就是兩根原來(lái)垂直的纖維其角度的變化。我們的結(jié)論是：?x平

面上y方向的剪應(yīng)變分量，它是xy平面上兩根原來(lái)垂直的纖維其角度的變化。注意此角度是以徑度量（radian）表示的，相當(dāng)于無(wú)單位（dimensionless）。

在3D的狀況下，x平面上除了正應(yīng)變??x外還有y方向的剪應(yīng)變分量?xy及

22第2章結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)

z方向的剪應(yīng)變分量?方向的剪應(yīng)變分量?向的剪應(yīng)變分量?應(yīng)變狀態(tài)

xz；y平面上則有正應(yīng)變?y、x方向的剪應(yīng)變分量?yx、及

z

yz；z平面上則有正應(yīng)變?z、x方向的剪應(yīng)變分量?zx、及

y方

zy。所以在

3D的狀況下，我們可以用9個(gè)分量來(lái)表示一個(gè)點(diǎn)的

??x?ε?????yx???zx?xy?y?zy?xz???yz??z??(2.5)

這9個(gè)應(yīng)變分量可以分別表示乘類似圖2-8的樣子（只要把?改為?就可以了）；圖2-11則是x-y平面的表示方式。

圖2-11質(zhì)點(diǎn)A的應(yīng)變描述

2.5式中的9個(gè)分量也并不是完全的獨(dú)立的，我們可以證明（程序有點(diǎn)繁雜，若有興趣可以參考任何材料力學(xué)課本，譬如Ref.24）；

?xy??yx

?yz??zx?zx??xz(2.6)

也就是說(shuō)2.5式中的矩陣是對(duì)稱的。所以只要用6個(gè)分量就可以來(lái)描述，用向量的方式來(lái)表示，我們可以寫(xiě)成

第2.3節(jié)解題方法：有限元素法33

就采用線性的內(nèi)插函數(shù)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)間的變位量的值；同理，假使假設(shè)節(jié)點(diǎn)間的變位場(chǎng)是二次的分布，那么就采用二次的內(nèi)插函數(shù)來(lái)表示節(jié)點(diǎn)間的變位量的值。在有限元素里面我們不把它叫內(nèi)插函數(shù)，而叫形狀函數(shù)（shapefunction）。數(shù)學(xué)上{u}和a9hhjp4間的關(guān)系可以用以下的方程式來(lái)表示

?u???N??d?

(2.14)

Eq.2.14中的[N]就是所謂的形狀函數(shù)矩陣；以圖2-13的周邊體元素為例，由于{u}是3×1的向量，hb5gf0y是12×1的向量，所以[N]是3×12的矩陣，其形式如下所示

?Ni?N????0?0?0Ni000NiNj000Nj000NjNk000Nk000NkNl000Nl00??0?(2.15)Nl??

其中Ni、Nj、Nk、Nl稱為形狀函數(shù)。注意，形狀函數(shù)是位置的函數(shù)。一般而言一個(gè)元素假使有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的話就會(huì)有n個(gè)獨(dú)立的形狀函數(shù)；當(dāng)形狀函數(shù)是線性時(shí)，表示變位場(chǎng)被假設(shè)為片段線性函數(shù)，而當(dāng)形狀函數(shù)是二次時(shí)，表示變位場(chǎng)被假設(shè)為片段二次函數(shù)。

2.3.5OrderofElement

一個(gè)元素的order是指它的形狀函數(shù)是一次還是二次；假使其形狀函數(shù)是一次的，這個(gè)元素就稱為線性元素（linearelement）；假使其形狀函數(shù)是二次的，這個(gè)元素就稱為二階元素（quadraticelement）。一般來(lái)說(shuō)判斷一個(gè)元素是linearelementc或quadraticelement是很簡(jiǎn)單的，你可以從它的節(jié)點(diǎn)的排列來(lái)判斷：假使一個(gè)元素只有在頂點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)，那么它必定是linearelement，就像圖2-13的元素；假使一個(gè)元素除了在頂點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)外，每個(gè)邊上中點(diǎn)也有節(jié)點(diǎn)時(shí)，那么它是quadraticelement，如圖2-14的元素。

那么一個(gè)元素的order有何重要性呢？一般來(lái)講，使用越高order的元素，其解答的精度越高，但是解題時(shí)間會(huì)增加。但是有限元素軟件為了減少元素的種類，尋常不發(fā)展三階或以上的元素；假使要提高解答的精度，最便利的方法是將整個(gè)body切割成更多、更細(xì)的元素。

34第2章結(jié)構(gòu)力學(xué)總復(fù)習(xí)

圖2-14QuadraticElement

2.3.6StiffnessMatrix

在2.3.2小節(jié)中，我們談過(guò)有限元素法的基本設(shè)想是將一個(gè)body切割成好多的元素，每一個(gè)元素可以建立它的力平衡方程式。元素的力平衡方程式型式如下：

?k??d???f?

(2.16)

其中9ggoduk是元素節(jié)點(diǎn)上的自由度，以圖2-13的元素而言，sshvp0a是一個(gè)12×1的向量，所以{f}必然也是12×1的向量，而[k]必然是12×12的矩陣。{f}的物理意義是作用在節(jié)點(diǎn)上面的力，那么[k]的物理意義則是每單位的變位量所需要的力量，這就是剛度（stiffness）的定義，所以[k]稱為元素的剛度矩陣（stiffnessmatrix）。

每一個(gè)元素都有像Eq.2.16的方程式，把所有元素的力平衡方程式聯(lián)立起來(lái)為整體結(jié)構(gòu)的力平衡方程式時(shí)，其形式可以寫(xiě)成

?K??D???F?

(2.17)

這里的{D}就是整體結(jié)構(gòu)所有節(jié)點(diǎn)上的自由度，{F}就是作用在節(jié)點(diǎn)上的力量，而[K]稱為整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣（structuralglobalstiffness）。Eq.2.17事實(shí)上是一組線性方程式，藉助計(jì)算機(jī)可以很簡(jiǎn)單解出{D}。[K]有一些特點(diǎn)：它都是對(duì)稱的，而且只有靠近中間的值才是非零值，其余大部分都是零，這些特點(diǎn)造成了這個(gè)方程式更簡(jiǎn)單解。

第2.3節(jié)解題方法：有限元素法35

有限元素法的成功原因之一是將一組十分繁雜的偏微分方程式轉(zhuǎn)換成一組很簡(jiǎn)單的線性方程式。不過(guò)這是對(duì)一個(gè)線性的結(jié)構(gòu)而言的，若是一個(gè)非線性的結(jié)構(gòu)，在觀念上我們可以視為解大量段的線性問(wèn)題。

在熱分析的狀況，熱平衡方程式的形式也是宛如Eqs.2.16及2.17一樣，在此自由度0vlwlqp或{D}是溫度，右邊的{f}或{F}是熱流量（heatflow），而[k]或[K]稱為熱傳導(dǎo)矩陣（conductivitymatrix）。

2.3.7FEMSummary

最終我們把有